Молодая картина - Young tableau

В математике , А таблица Юнга ( / т æ б л oʊ , т æ б л oʊ / ; множественное число: Tableaux ) представляет собой комбинаторный объект , полезным в теории представлений и Шуберта исчислении . Это обеспечивает удобный способ для описания представлений групп из симметричных и общих линейных групп и изучить их свойство. Таблицы Юнга были представлены Альфредом Янгом , математиком из Кембриджского университета , в 1900 году. Затем они были применены к изучению симметрической группы Георгом Фробениусом в 1903 году. Их теория получила дальнейшее развитие многими математиками, в том числе Перси МакМахоном , В.В.Д. Ходжем , Г. де Б. Робинсон , Джан-Карло Рота , Ален Ласку , Марсель-Поль Шютценбергер и Ричард П. Стэнли .

Определения

Примечание: в этой статье используется английское соглашение для отображения диаграмм и таблиц Юнга .

Диаграммы

Диаграмма Юнга формы (5, 4, 1), английские обозначения

Диаграмма Юнга формы (5, 4, 1), французская нотация

Диаграмма Юнга (также называется диаграммой , Феррерс , в частности , когда представлена с использованием точек) представляет собой конечный набор коробка, или клетки, расположенный в левом выравнивании строк, с длинами строк в невозрастающем порядке. Перечисление количества ящиков в каждой строке дает раздел $λ$ неотрицательного целого числа $n$ , общее количество ящиков диаграммы. Диаграмма Юнга имеет форму $λ$ и несет ту же информацию, что и это разбиение. Включение одной диаграммы Юнга в другую определяет частичный порядок на множестве всех разбиений, который на самом деле представляет собой решетчатую структуру, известную как решетка Юнга . Перечисление количества блоков диаграммы Юнга в каждом столбце дает другое разделение, сопряженное или транспонированное разделение $λ$ ; диаграмму Юнга этой формы можно получить, отразив исходную диаграмму вдоль ее главной диагонали.

Практически все согласны с тем, что при маркировке прямоугольников диаграмм Юнга парами целых чисел первый индекс выбирает строку диаграммы, а второй индекс выбирает прямоугольник внутри строки. Тем не менее, существуют два различных соглашения для отображения этих диаграмм и, следовательно, таблиц: первое помещает каждую строку ниже предыдущей, второе кладет каждую строку поверх предыдущей. Поскольку первое соглашение в основном используется англоязычными, тогда как второе часто предпочитается франкофонами , принято называть эти соглашения, соответственно, английской и французской нотацией ; например, в своей книге о симметрических функциях , Макдональд советует читателям предпочитающих французскую конвенцию «читать эту книгу с ног на голову в зеркале» (Macdonald , 1979, стр. 2). Эта номенклатура, вероятно, изначально была шутливой. Английская нотация соответствует той, которая повсеместно используется для матриц, в то время как французская нотация ближе к соглашению о декартовых координатах ; однако французское обозначение отличается от этого соглашения тем, что сначала ставится вертикальная координата. На рисунке справа в английских обозначениях показана диаграмма Юнга, соответствующая разбиению (5, 4, 1) числа 10. Сопряженное разбиение, измеряющее длины столбцов, равно (3, 2, 2, 2, 1).

Длина руки и ноги

Во многих приложениях, например при определении функций Джека , удобно определять длину плеча a _λ ( s ) ящика s как количество ящиков справа от s на диаграмме λ в английской нотации. Аналогично, длина участка l _λ ( s ) - это количество ящиков под s . Длина крючка ящика s - это количество ящиков справа от s или ниже s в английской записи, включая сам ящик s ; Другими словами, длина крючок _λ ( s ) + л _λ ( s ) + 1.

Tableaux

Стандартная таблица Юнга формы (5, 4, 1)

Юнга получают путем заполнения в коробках диаграммы Юнга с символами , взятых из некоторого алфавита , которые, как правило , требуется , чтобы быть полностью упорядоченное множество . Первоначально этот алфавит был набором индексированных переменных $x 1$ , $x 2$ , $x 3$ ..., но теперь для краткости обычно используется набор чисел. В их первоначальном приложении к представлениям симметрической группы таблицы Юнга имеют $n$ различных элементов, произвольно назначенных блокам диаграммы. Таблица называется стандартной, если количество записей в каждой строке и каждом столбце увеличивается. Количество различных стандартных таблиц Юнга на $n$ элементах задается числами инволюции

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (последовательность A000085 в OEIS ).

В других приложениях естественно разрешить одному и тому же числу появляться в таблице более одного раза (или не появляться вовсе). Таблица называется полустандартной или строгой по столбцу , если элементы слабо растут вдоль каждой строки и строго растут вниз по каждому столбцу. Запись того, сколько раз каждое число появляется в таблице, дает последовательность, известную как вес таблицы. Таким образом, стандартные таблицы Юнга - это в точности полустандартные таблицы веса (1,1, ..., 1), которые требуют, чтобы каждое целое число до $n$ встречалось ровно один раз.

Вариации

Есть несколько вариантов этого определения: например, в таблице со строгими требованиями к строкам записи строго увеличиваются по строкам и слабо увеличиваются по столбцам. Также, таблицы с убывающими элементами рассматривались, в частности, в теории плоских разбиений . Существуют также обобщения, такие как таблицы домино или ленточные таблицы, в которых несколько блоков могут быть сгруппированы вместе перед назначением им записей.

Наклонные таблицы

Косая таблица формы (5, 4, 2, 2) / (2, 1), английская нотация

Перекос форма представляет собой пару перегородок ( $Х$ , $μ$ ) таким образом, что диаграмма Юнга $Х$ содержит диаграммы Юнга $ц$ ; он обозначается $λ / μ$ . Если $λ = (λ 1, λ 2, ...)$ и $μ = (μ 1, μ 2, ...)$ , то включение диаграмм означает, что $μ i \leq λ i$ для всех $i$ . Перекос диаграмма косой формы $λ / мкм$ является теоретико-множественной разностью из диаграмм Юнги $Х$ и $ц$ : множество квадратов , которые принадлежат к схеме $Х$ , но не к тому , что из $ц$ . Перекос таблица формы $λ / μ$ получается путем заполнения квадратов соответствующей косой диаграммы; такая таблица является полустандартной, если элементы растут слабо вдоль каждой строки и растут строго вниз по каждому столбцу, и стандартна, если, кроме того, все числа от 1 до числа квадратов косой диаграммы встречаются ровно один раз. В то время как отображение разделов на их диаграммы Юнга является инъективным, это не относится к карте от перекосов к наклонным диаграммам; поэтому форму косой диаграммы не всегда можно определить только по набору закрашенных квадратов. Хотя многие свойства наклонных таблиц зависят только от заполненных квадратов, некоторые операции, определенные для них, действительно требуют явного знания $λ$ и $μ$ , поэтому важно, чтобы наклонные таблицы действительно записывали эту информацию: две различные наклонные таблицы могут отличаться только своей формой, при этом они занимают один и тот же набор квадратов, каждый из которых заполнен одними и теми же записями. Таблицы Юнга можно отождествить с косыми таблицами, в которых $μ$ - пустое разбиение (0) (единственное разбиение 0).

Любая косая полустандартная таблица $T$ формы $λ / μ$ с положительными целыми элементами порождает последовательность разбиений (или диаграмм Юнга), начиная с $μ$ и взяв за разбиение $i,$ помещая далее в последовательность ту, диаграмма которой получена из что для $μ$ путем добавления всех ящиков, которые содержат значение ≤ $i$ в $T$ ; это разбиение со временем становится равным $λ$ . Любая пара последовательных фигур в такой последовательности представляет собой скошенную фигуру, диаграмма которой содержит не более одного прямоугольника в каждом столбце; такие формы называются горизонтальными полосами . Эта последовательность разбиений полностью определяет $T$ , и на самом деле можно определить (перекосить) полустандартные таблицы как такие последовательности, как это сделал Макдональд (Macdonald 1979, p. 4). Это определение включает разделы $λ$ и $μ$ в данных, составляющих наклонную таблицу.

Обзор приложений

Таблицы Юнга имеют множество приложений в комбинаторике , теории представлений и алгебраической геометрии . Были исследованы различные способы подсчета таблиц Юнга, которые привели к определению и тождествам функций Шура .

Известно много комбинаторных алгоритмов на таблицах, включая jeu de taquin Шютценбергера и соответствие Робинсона – Шенстеда – Кнута . Ласку и Шютценбергер изучили ассоциативное произведение на множестве всех полустандартных таблиц Юнга, придав ему структуру, названную пластическим моноидом (французское: le monoïde plaxique ).

В теории представлений стандартные таблицы Юнга размера $k$ описывают базисы в неприводимых представлениях симметрической группы на $k$ буквах. Стандарт мономиальный базис в конечномерном неприводимом представлении от общей линейной группы $GL п$ параметризованные множества полустандартных Юнга фиксированной формы в алфавите {1, 2, ..., $п$ }. Это имеет важные последствия для теории инвариантов , начиная с работы Ходж на однородное координатное кольцо из грассманиане и дальнейшего изучения Джан-Карло Рота с сотрудниками, де Кончини и Прочези и Эйзенбуда . Правило Литтлвуда-Ричардсон , описывающее (среди прочего) разложение тензорных произведений неприводимых представлений $GL п$ на неприводимые компоненты формулируются в терминах определенных перекоса полустандартных таблиц.

Приложения к алгебраической геометрии сосредоточены вокруг исчисления Шуберта на грассманианах и многообразиях флагов . Некоторые важные классы когомологий могут быть представлены полиномами Шуберта и описаны в терминах таблиц Юнга.

Приложения в теории представлений

Диаграммы Юнга находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми представлениями о симметрической группы над комплексными числами . Они обеспечивают удобный способ задания симметризаторов Юнга, из которых строятся неприводимые представления . Многие факты о представлении можно вывести из соответствующей диаграммы. Ниже мы описываем два примера: определение размерности представления и ограниченные представления. В обоих случаях мы увидим, что некоторые свойства представления можно определить, используя только его диаграмму.

Диаграммы Юнга также параметризуют неприводимые полиномиальные представления общей линейной группы $GL n$ (когда они имеют не более $n$ непустых строк) или неприводимые представления специальной линейной группы $SL n$ (когда они имеют не более $n - 1$ непустых строк), или неприводимые комплексные представления специальной унитарной группы $SU n$ (опять же, когда они имеют не более $n - 1$ непустых строк). В этих случаях центральную роль играют полустандартные таблицы с элементами до $n$ , а не стандартные таблицы; в частности, количество этих таблиц определяет размерность представления.

Размерность представления

Длины крючков ящиков для перегородки 10 = 5 + 4 + 1

Размерность неприводимого представления $π λ$ симметрической группы $S n,$ соответствующего разбиению $λ$ числа $n$ , равна количеству различных стандартных таблиц Юнга, которые могут быть получены из диаграммы представления. Это число можно рассчитать по формуле длины крючка .

Длина крюка $крюк (х)$ из коробки $х$ в диаграмме Юнга $Y (Х)$ формы $Х$ является количество коробок , которые находятся в той же строке, справа от него плюс этих коробок в том же столбце под ним, плюс один ( для самой коробки). По формуле длины крючка размерность неприводимого представления равна $n!$ деленное на произведение длин крючков всех ящиков на схеме изображения:

{\ displaystyle \ dim \ pi _ {\ lambda} = {\ frac {n!} {\ prod _ {x \ in Y (\ lambda)} \ operatorname {hook} (x)}}.}

На рисунке справа показаны длины крючков для всех ящиков на схеме перегородки 10 = 5 + 4 + 1. Таким образом,

{\ displaystyle \ dim \ pi _ {\ lambda} = {\ frac {10!} {7 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 1 \ cdot 5 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 \ cdot 1} } = 288.}

Аналогично, размерность неприводимого представления $W (λ)$ группы $GL r,$ соответствующего разбиению λ числа n (не более чем с r частями), равна количеству полустандартных таблиц Юнга формы λ (содержащих только элементы от 1 до r ), который определяется формулой длины крючка:

{\ displaystyle \ dim W (\ lambda) = \ prod _ {(i, j) \ in Y (\ lambda)} {\ frac {r + ji} {\ operatorname {hook} (i, j)}}, }

где индекс i обозначает строку, а j - столбец коробки. Например, для разбиения (5,4,1) мы получаем как размерность соответствующего неприводимого представления $GL 7$ (обход полей по строкам):

{\ Displaystyle \ тусклый W (\ лямбда) = {\ гидроразрыва {7 \ CDOT 8 \ CDOT 9 \ CDOT 10 \ CDOT 11 \ CDOT 6 \ CDOT 7 \ CDOT 8 \ CDOT 9 \ CDOT 5} {7 \ CDOT 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 1 \ cdot 5 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 \ cdot 1}} = 66528.}

Запрещенные представления

Представление симметрической группы на $n$ элементах, $S n$ также является представлением симметрической группы на $n - 1$ элементах, $S n -1$ . Однако неприводимое представление $S n$ может быть неприводимым для $S n -1$ . Вместо этого это может быть прямая сумма нескольких представлений, неприводимых для $S n -1$ . Эти представления тогда называются факторами ограниченного представления (см. Также индуцированное представление ).

На вопрос об определении этого разложения ограниченного представления данного неприводимого представления S _n , соответствующего разбиению $λ$ числа $n$ , дается следующий ответ. Один формирует набор всех диаграмм Юнга, которые могут быть получены из диаграммы формы $λ$ , удаляя только один прямоугольник (который должен быть в конце как его строки, так и его столбца); ограниченное представление затем разлагается как прямая сумма неприводимых представлений $S n -1,$ соответствующих этим диаграммам, каждое из которых встречается в сумме ровно один раз.

Смотрите также

Ноты

использованная литература

Уильям Фултон . Таблицы Юнга с приложениями к теории представлений и геометрии . Издательство Кембриджского университета, 1997, ISBN 0-521-56724-6 .
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 . Лекция 4
Ховард Джорджи, Алгебры Ли в физике элементарных частиц, 2-е издание - Westview
Макдональд, И. Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Оксфордские математические монографии. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii + 180 стр. ISBN 0-19-853530-9 MR 553598
Лоран Манивель. Симметричные функции, многочлены Шуберта и локусы вырождения . Американское математическое общество.
Жан-Кристоф Новелли, Игорь Пак , Александр В. Стояновский, " Прямое биективное доказательство формулы длины крюка ", Дискретная математика и теоретическая информатика 1 (1997), стр. 53–67.
Брюс Э. Саган . Симметричная группа . Springer, 2001, ISBN 0-387-95067-2
Винберг, Е.Б. (2001) [1994], "Таблица Юнга" , Энциклопедия математики , EMS Press
Йонг, Александр (февраль 2007 г.). "Что такое ... молодая картина?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 54 (2): 240–241 . Проверено 16 января 2008 .
Предраг Цвитанович , Теория групп: следы птиц, ложь и исключительные группы . Издательство Принстонского университета, 2008.

внешние ссылки

Эрик В. Вайсштейн. « Диаграмма Феррерса ». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
Эрик В. Вайсштейн. " Юная таблица ". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
Запись полустандартных таблиц в базе данных FindStat
Запись стандартных таблиц в базе данных FindStat

Languages

In other projects