Юный симметризатор - Young symmetrizer

В математике , A Молодой симметризатора является элементом групповой алгебры из симметрической группы , построен таким образом , что, для гомоморфизма групповой алгебры к эндоморфизмам векторного пространства , полученного от действия на перестановке индексов, образ эндоморфизма, определяемый этим элементом, соответствует неприводимому представлению симметрической группы над комплексными числами . Подобная конструкция работает над любым полем, и полученные представления называются модулями Шпехта . Симметризатор Юнга назван в честь британского математика Альфреда Янга . ${\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}$${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}$

Определение

Дана конечная симметрическая группа S _n и конкретная таблица Юнга λ, соответствующая пронумерованному разбиению n , и рассмотрим действие данной путем перестановки ящиков . Определить две перестановки подгруппы и из S _п следующим образом : ${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle P _ {\ lambda}}$${\ displaystyle Q _ {\ lambda}}$

${\ displaystyle P _ {\ lambda} = \ {g \ in S_ {n}: g {\ text {сохраняет каждую строку}} \ lambda \}}$

и

${\ displaystyle Q _ {\ lambda} = \ {g \ in S_ {n}: g {\ text {сохраняет каждый столбец}} \ lambda \}.}$

В соответствии с этими двумя подгруппами, определите два вектора в групповой алгебре как ${\ Displaystyle \ mathbb {C} S_ {п}}$

${\ displaystyle a _ {\ lambda} = \ sum _ {g \ in P _ {\ lambda}} e_ {g}}$

и

${\ displaystyle b _ {\ lambda} = \ sum _ {g \ in Q _ {\ lambda}} \ operatorname {sgn} (g) e_ {g}}$

где - единичный вектор, соответствующий g , и - знак перестановки. Продукт ${\ displaystyle e_ {g}}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (g)}$

${\ displaystyle c _ {\ lambda}: = a _ {\ lambda} b _ {\ lambda} = \ sum _ {g \ in P _ {\ lambda}, h \ in Q _ {\ lambda}} \ operatorname {sgn} (h ) e_ {gh}}$

- симметризатор Юнга, соответствующий таблице Юнга λ. Каждый симметризатор Юнга соответствует неприводимому представлению симметрической группы, и каждое неприводимое представление может быть получено из соответствующего симметризатора Юнга. (Если мы заменим комплексные числа более общими полями, соответствующие представления, вообще говоря, не будут неприводимыми.)

Строительство

Пусть V - любое векторное пространство над комплексными числами . Рассмотрим затем векторное пространство тензорного произведения ( n раз). Пусть S _n действует на этом пространстве тензорного произведения, переставляя индексы. Тогда есть естественное представление групповой алгебры на . ${\ displaystyle V ^ {\ otimes n} = V \ otimes V \ otimes \ cdots \ otimes V}$${\ displaystyle \ mathbb {C} S_ {n} \ to \ operatorname {End} (V ^ {\ otimes n})}$${\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}$

Учитывая разбиение λ из п , так что , то изображение из IS ${\ displaystyle n = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ cdots + \ lambda _ {j}}$${\ displaystyle a _ {\ lambda}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} (a _ {\ lambda}): = a _ {\ lambda} V ^ {\ otimes n} \ cong \ operatorname {Sym} ^ {\ lambda _ {1}} V \ otimes \ operatorname {Sym} ^ {\ lambda _ {2}} V \ otimes \ cdots \ otimes \ operatorname {Sym} ^ {\ lambda _ {j}} V.}$

Например, if и с канонической таблицей Юнга . Тогда соответствующее дается выражением ${\ displaystyle n = 4}$${\ displaystyle \ lambda = (2,2)}$${\ Displaystyle \ {\ {1,2 \}, \ {3,4 \} \}}$${\ displaystyle a _ {\ lambda}}$

${\ displaystyle a _ {\ lambda} = e _ {\ text {id}} + e _ {(1,2)} + e _ {(3,4)} + e _ {(1,2) (3,4)}. }$

Тогда для любого вектора произведения мы имеем ${\ displaystyle v_ {1,2,3,4}: = v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes v_ {3} \ otimes v_ {4}}$${\ displaystyle V ^ {\ otimes 4}}$

${\ displaystyle a _ {\ lambda} v_ {1,2,3,4} = v_ {1,2,3,4} + v_ {2,1,3,4} + v_ {1,2,4,3 } + v_ {2,1,4,3} = (v_ {1} \ otimes v_ {2} + v_ {2} \ otimes v_ {1}) \ otimes (v_ {3} \ otimes v_ {4} + v_ {4} \ otimes v_ {3}).}$

Таким образом, промежуток всех явно промежутков, и поскольку промежуток мы получаем , где мы написали неофициально . ${\ displaystyle v_ {1,2,3,4}}$${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {2} V \ otimes \ operatorname {Sym} ^ {2} V}$${\ displaystyle v_ {1,2,3,4}}$${\ displaystyle V ^ {\ otimes 4}}$${\ displaystyle a _ {\ lambda} V ^ {\ otimes 4} = \ operatorname {Sym} ^ {2} V \ otimes \ operatorname {Sym} ^ {2} V}$${\ displaystyle a _ {\ lambda} V ^ {\ otimes 4} \ Equiv \ operatorname {Im} (a _ {\ lambda})}$

Обратите также внимание на то, как эту конструкцию можно свести к конструкции для . Позвольте быть тождественным оператором и оператором обмена, определенным , таким образом, и . У нас есть это ${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle \ mathbb {1} \ in \ operatorname {End} (V ^ {\ otimes 2})}$${\ displaystyle S \ in \ operatorname {End} (V ^ {\ otimes 2})}$${\ Displaystyle S (v \ otimes w) = w \ otimes v}$${\ Displaystyle \ mathbb {1} = е _ {\ текст {id}}}$${\ Displaystyle S = е _ {(1,2)}}$

${\ Displaystyle е _ {\ текст {id}} + е _ {(1,2)} = \ mathbb {1} + S}$

отображается в , точнее ${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {2} V}$

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {2}} (\ mathbb {1} + S)}$

включен проектор . потом ${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {2} V}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} a _ {\ lambda} = {\ frac {1} {4}} (e _ {\ text {id}} + e _ {(1,2)} + e_ { (3,4)} + e _ {(1,2) (3,4)}) = {\ frac {1} {4}} (\ mathbb {1} \ otimes \ mathbb {1} + S \ otimes \ mathbb {1} + \ mathbb {1} \ otimes S + S \ otimes S) = {\ frac {1} {2}} (\ mathbb {1} + S) \ otimes {\ frac {1} {2} } (\ mathbb {1} + S)}$

на который находится проектор . ${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {2} V \ otimes \ operatorname {Sym} ^ {2} V}$

Изображение IS ${\ displaystyle b _ {\ lambda}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} (b _ {\ lambda}) \ cong \ bigwedge ^ {\ mu _ {1}} V \ otimes \ bigwedge ^ {\ mu _ {2}} V \ otimes \ cdots \ otimes \ bigwedge ^ {\ mu _ {k}} V}$

где μ - разбиение, сопряженное с λ. Здесь и - симметричное и чередующееся тензорное произведение пространств . ${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {i} V}$${\ displaystyle \ bigwedge ^ {j} V}$

Изображения из ин является неприводимым представлением S _п , называется модулем Шпехта . Мы пишем ${\ displaystyle \ mathbb {C} S_ {n} c _ {\ lambda}}$${\ displaystyle c _ {\ lambda} = a _ {\ lambda} \ cdot b _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} S_ {п}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} (c _ {\ lambda}) = V _ {\ lambda}}$

для неприводимого представления.

Некоторое скалярное кратное идемпотентно, то есть для некоторого рационального числа. В частности, можно найти . В частности, это означает, что представления симметрической группы могут быть определены над рациональными числами; то есть над рациональной групповой алгеброй . ${\ displaystyle c _ {\ lambda}}$${\ displaystyle c _ {\ lambda} ^ {2} = \ alpha _ {\ lambda} c _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ alpha _ {\ lambda} \ in \ mathbb {Q}.}$${\ displaystyle \ alpha _ {\ lambda} = n! / \ dim V _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} S_ {п}}$

Рассмотрим, например, S ₃ и разбиение (2,1). Тогда есть

${\ displaystyle c _ {(2,1)} = e_ {123} + e_ {213} -e_ {321} -e_ {312}.}$

Если V - комплексное векторное пространство, то образы на пространствах обеспечивают по существу все конечномерные неприводимые представления GL (V). ${\ displaystyle c _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle V ^ {\ otimes d}}$

Смотрите также

• Теория представлений симметрической группы

Примечания

Рекомендации

• Уильям Фултон. Таблицы Юнга с приложениями к теории представлений и геометрии . Издательство Кембриджского университета, 1997.
• Лекция 4 Фултона, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN   978-0-387-97495-8 . Руководство по ремонту   1153249 . OCLC   246650103 .
• Брюс Э. Саган . Симметричная группа . Спрингер, 2001.