Индуцированное представительство - Induced representation

В теории групп , то индуцированное представление является представлением группы , $G$ , который построен с использованием известного представления подгруппы $H$ . Принимая во внимание представление $Н$ , индуцированное представление, в некотором смысле, «наиболее общее» представление $G$ , который проходит данный один. Поскольку часто легче найти представления меньшей группы $H,$ чем $G$ , операция формирования индуцированных представлений является важным инструментом для построения новых представлений .

Индуцированные представления были изначально определены Фробениусом , для линейных представлений о конечных группах . Идея никоим образом не ограничивается случаем конечных групп, но теория в этом случае особенно хороша.

Конструкции

Алгебраический

Пусть $G$ конечная группа и $H$ любой подгруппы $G$ . Пусть , далее , $(π, V)$ является представлением $H$ . Пусть $п = [G : H]$ является индексом из $H$ в $G$ , и пусть $г 1, ..., г п$ будет полный набор представителей в $G$ из левых смежных классов в $G / H$ . Индуцированное представление $Ind G H π$ можно рассматривать как действующее в следующем пространстве:

{\ displaystyle W = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} V.}

Здесь каждый $г я V$ является изоморфной копией векторного пространства V , элементы которого записывается в виде $г я V$ с $об \in V$ . Для каждого g в $G$ и каждого g _i существует h _i в $H$ и j ( i ) в {1, ..., n } такие, что $g g i = g j (i) h i$ . (Это просто еще один способ сказать, что $g 1, ..., g n$ - полный набор представителей.) Через индуцированное представление $G$ действует на $W$ следующим образом:

{\ displaystyle g \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} v_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {j (i)} \ pi (h_ {i}) v_ {i}}

где для каждого i . ${\ displaystyle v_ {i} \ in V}$

В качестве альтернативы можно построить индуцированные представления, используя тензорное произведение : любое K- линейное представление группы H можно рассматривать как модуль V над групповым кольцом K [ H ]. Затем мы можем определить ${\ displaystyle \ pi}$

{\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} \ pi = K [G] \ otimes _ {K [H]} V.}

Эту последнюю формулу также можно использовать для определения $Ind G H π$ для любой группы $G$ и подгруппы $H$ , не требуя какой-либо конечности.

Примеры

Для любой группы, индуцированное представление тривиального представления о тривиальной подгруппе является правильным регулярным представлением . В более общем смысле индуцированное представление тривиального представления любой подгруппы - это представление перестановки на смежных классах этой подгруппы.

Индуцированное представление одномерного представления называется мономиальным представлением , потому что оно может быть представлено в виде мономиальных матриц . Некоторые группы обладают тем свойством, что все их неприводимые представления мономиальны, так называемые мономиальные группы .

Характеристики

Если $H$ - подгруппа группы $G$ , то любое $K-$ линейное представление $ρ$ группы $G$ можно рассматривать как $K-$ линейное представление группы $H$ ; это известно как ограничение на $р$ к $H$ и обозначается $Res (р)$ . В случае конечных групп и конечномерных представлений теорема взаимности Фробениуса утверждает, что при заданных представлениях $σ$ группы $H$ и $ρ$ группы $G$ пространство $H$ - эквивариантных линейных отображений из $σ$ в $Res (ρ)$ имеет ту же размерность над K как у $G$ -эквивариантных линейных отображений из $Ind (σ)$ в $ρ$ .

Универсальное свойство индуцированного представления, которое справедливо и для бесконечных групп, эквивалентно примыкание утверждается в теореме взаимности. Если - представление группы H и представление группы G, индуцированное посредством , то существует $H$ -эквивариантное линейное отображение со следующим свойством: для любого представления $(ρ,$ $W$ $)$ группы $G$ и $H$ -эквивариантного линейного отображения существует единственное $G$ -эквивариантное линейное отображение с . Другими словами, это уникальная карта, которая коммутирует следующую диаграмму : ${\ Displaystyle (\ sigma, V)}$ ${\ displaystyle (\ Operatorname {Ind} (\ sigma), {\ hat {V}})}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle j: V \ to {\ hat {V}}}$ ${\ displaystyle f: V \ to W}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}: {\ hat {V}} \ to W}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}} j = f}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$

Формула Фробениуса утверждает, что если $χ$ - характер представления $σ$ , задаваемый формулой $χ (h) = Tr σ (h)$ , то характер $ψ$ индуцированного представления задается формулой

{\ displaystyle \ psi (g) = \ sum _ {x \ in G / H} {\ widehat {\ chi}} \ left (x ^ {- 1} gx \ right),}

где сумма берется по системе представителей левых классов смежности $H$ в $G$ и

{\ displaystyle {\ widehat {\ chi}} (k) = {\ begin {case} \ chi (k) & {\ text {if}} k \ in H \\ 0 & {\ text {else}} \ end {случаи}}}

Аналитический

Если $G$ - локально компактная топологическая группа (возможно, бесконечная), а $H$ - замкнутая подгруппа, то существует общая аналитическая конструкция индуцированного представления. Пусть $(π, V)$ является непрерывной унитарное представление $Н$ в пространстве Гильберта V . Затем мы можем позволить:

{\ Displaystyle \ OperatorName {Ind} _ {H} ^ {G} \ pi = \ left \ {\ phi \ двоеточие G \ to V \: \ \ phi (gh ^ {- 1}) = \ pi (h) \ phi (g) {\ text {для всех}} h \ in H, \; g \ in G {\ text {and}} \ \ phi \ in L ^ {2} (G / H) \ right \} .}

Здесь $φ\in L 2 (G / H)$ означает: пространство G / H несет подходящую инвариантную меру, и поскольку норма $φ (g)$ постоянна на каждом левом смежном классе H , мы можем проинтегрировать квадрат этих норм по G / H и получим конечный результат. Группа $G$ действует на индуцированном пространстве представления $сдвигом$ , то есть $(g .φ) (x) = φ (g -1 x)$ для g, x ∈ G и $φ\inInd G H π$ .

Эту конструкцию часто модифицируют различными способами, чтобы она соответствовала нужным приложениям. Обычная версия называется нормализованной индукцией и обычно использует те же обозначения. Определение пространства представления следующее:

{\ Displaystyle \ OperatorName {Ind} _ {H} ^ {G} \ pi = \ left \ {\ phi \ двоеточие G \ to V \: \ \ phi (gh ^ {- 1}) = \ Delta _ {G } ^ {- {\ frac {1} {2}}} (h) \ Delta _ {H} ^ {\ frac {1} {2}} (h) \ pi (h) \ phi (g) {\ текст {и}} \ phi \ in L ^ {2} (G / H) \ right \}.}

Здесь $Δ G, Δ H$ - модулярные функции групп $G$ и $H$ соответственно. С добавлением нормирующих множителей этот индукционный функтор переводит унитарные представления в унитарные представления.

Еще один вариант индукции называется компактной индукцией . Это просто стандартная индукция, ограниченная функциями с компактным носителем . Формально он обозначается ind и определяется как:

{\ Displaystyle \ OperatorName {ind} _ {H} ^ {G} \ pi = \ left \ {\ phi \ двоеточие G \ to V \: \ \ phi (gh ^ {- 1}) = \ pi (h) \ phi (g) {\ text {and}} \ phi {\ text {имеет компактный модуль поддержки}} H \ right \}.}

Заметим, что если $G / H$ компактна, то Ind и ind - один и тот же функтор.

Геометрический

Пусть $G$ является топологической группой и $Н$ является замкнутой подгруппой в $G$ . Кроме того , предположим , что $π$ является представлением $H$ над векторным пространством $V$ . Тогда $G$ действует на произведение $G \times V$ следующим образом:

{\ displaystyle g. (g ', x) = (gg', x)}

где $г$ и $г'$ являются элементами $G$ и $х$ является элементом $V$ .

Определим на $G \times V$ отношение эквивалентности

{\ displaystyle (g, x) \ sim (gh, \ pi (h ^ {- 1}) (x)) {\ text {для всех}} h \ in H.}

Обозначим класс эквивалентности через . Отметим, что это отношение эквивалентности инвариантно относительно действия группы $G$ ; следовательно, $G$ действует на $($ $G$ $\times$ $V$ $) / ~$ . Последний представляет собой векторное расслоение над фактор - пространство $G$ $/$ $H$ с $H$ в качестве структурной группы и $V$ , как волокна. Пусть $W$ - пространство сечений этого векторного расслоения. Это векторное пространство, лежащее в основе индуцированного представления $Ind$ ${\ Displaystyle (г, х)}$ ${\ Displaystyle [г, х]}$ ${\ Displaystyle \ phi: G / H \ к (G \ times V) / \! \ sim}$ $G H π$ . Группа $G$ действует в секции, заданной следующим образом: ${\ displaystyle \ phi: G / H \ to {\ mathcal {L}} _ {W}}$ ${\ displaystyle gH \ mapsto [g, \ phi _ {g}]}$