Исчисление Шуберта - Schubert calculus

В математике , Шуберт исчисление является ветвью алгебраической геометрии , введенной в девятнадцатом веке Герман Шуберт , для решения различных задач подсчета проективной геометрии (часть перечислительной геометрии ). Он был предшественником нескольких более современных теорий, например характеристических классов , и, в частности, его алгоритмические аспекты все еще актуальны. Фраза «исчисление Шуберта» иногда используется для обозначения перечислительной геометрии линейных подпространств, примерно эквивалентной описанию кольца когомологий грассманианов, а иногда используется для обозначения более общей перечислительной геометрии нелинейных многообразий. В более общем смысле, «исчисление Шуберта» часто понимают как охватывающее изучение аналогичных вопросов в обобщенных теориях когомологий .

Объекты, введенные Шубертом, - это клетки Шуберта , которые представляют собой локально замкнутые множества в грассманиане, определяемые условиями инцидентности линейного подпространства в проективном пространстве с заданным флагом . Подробнее см. Разнообразие Шуберта .

Теория пересечений этих ячеек, которую можно рассматривать как структуру произведения в кольце когомологий грассманиана ассоциированных классов когомологий , в принципе позволяет предсказывать случаи, когда пересечение ячеек приводит к конечному набору точек, которые потенциально являются конкретные ответы на перечислительные вопросы. Подтверждающим теоретическим результатом является то, что клетки Шуберта (или, скорее, их классы) охватывают все кольцо когомологий.

В подробных расчетах комбинаторные аспекты входят, как только ячейки должны быть проиндексированы. Поднятые с грассманиана , который является однородным пространством , на общую линейную группу, которая действует на нем, аналогичные вопросы включены в разложение Брюа и классификацию параболических подгрупп (по блочной матрице ).

Построение строгой основы системы Шуберта - пятнадцатая проблема Гильберта .

Строительство

Шуберта исчисление может быть построено с использованием Chow кольца из грассманиана , где циклы генерации представлены в виде геометрический значимыми данными. Обозначим грассманиан -плоскостей в фиксированном -мерном векторном пространстве и его кольцо Чжоу; обратите внимание, что иногда грассманиан обозначается так, как будто векторное пространство явно не задано. Связано с произвольным полным флагом ${\ Displaystyle G (к, В)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle А ^ {*} (G (к, V))}$${\ Displaystyle G (к, п)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$

${\ displaystyle 0 \ subset V_ {1} \ subset \ cdots \ subset V_ {n-1} \ subset V_ {n} = V}$

и убывающий набор целых чисел, где ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, \ ldots, a_ {k})}$

${\ Displaystyle нк \ geq a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {k} \ geq 0}$

существуют циклы Шуберта (которые называются клетками Шуберта при рассмотрении клеточных гомологий вместо кольца Чжоу), определяемые как ${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ mathbf {a}} ({\ mathcal {V}}) \ подмножество G (k, V)}$

${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ mathbf {a}} ({\ mathcal {V}}) = \ {\ Lambda \ in G (k, V): \ dim (V_ {n-k + i-a_ {i }} \ cap \ Lambda) \ geq i {\ text {для всех}} i \ geq 1 \}}$

Поскольку класс не зависит от флага завершения, его можно записать как ${\ Displaystyle [\ Sigma _ {\ mathbb {a}} ({\ mathcal {V}})] \ в A ^ {*} (G (k, V))}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathbb {a}}: = [\ Sigma _ {\ mathbb {a}}] \ in A ^ {*} (G (k, V))}$

которые называются классами Шуберта . Можно показать, что эти классы порождают кольцо Чоу, и соответствующая теория пересечений называется исчислением Шуберта . Обратите внимание, что для данной последовательности класс Шуберта обычно обозначается как just . Кроме того, классы Шуберта, заданные одним целым числом, называются специальными классами . Используя формулу Джамбели ниже, все классы Шуберта могут быть сгенерированы из этих специальных классов. ${\ displaystyle \ mathbb {a} = (a_ {1}, \ ldots, a_ {j}, 0, \ ldots, 0)}$${\ displaystyle \ sigma _ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {j}, 0, \ ldots, 0)}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {(а_ {1}, \ ldots, а_ {j})}}$${\ displaystyle \ sigma _ {a_ {1}}}$

Объяснение

Чтобы объяснить определение, рассмотрим общую плоскость : она будет иметь только нулевое пересечение с for , тогда как for . Например, в , a -плоскость - это пространство решений системы пяти независимых однородных линейных уравнений. Эти уравнения в общем случае будут охватывать подпространство с , и в этом случае пространство решений (пересечение с ) будет состоять только из нулевого вектора. Однако однажды , тогда и обязательно будет ненулевое пересечение. Например, ожидаемый размер пересечения и есть , пересечение и ожидаемый размер и так далее. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ Lambda \ subset V}$${\ displaystyle V_ {j}}$${\ displaystyle j \ leq nk}$${\ Displaystyle \ тусклый (V_ {j} \ cap \ Lambda) = i}$${\ Displaystyle J = N-K + I \ GEQ NK}$${\ Displaystyle G (4,9)}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle V_ {j}}$${\ displaystyle j = \ dim V_ {j} \ leq 5 = 9-4}$${\ displaystyle V_ {j}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle \ тусклый (V_ {j}) + \ тусклый (\ Лямбда)> п = 9}$${\ displaystyle V_ {j}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle V_ {6}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle V_ {7}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle 2}$

Определение цикла Шуберта гласит, что первое значение with обычно меньше, чем ожидаемое значение параметра . В -плоскостях даваемых этих ограничений затем определяют специальные подмногообразии . ${\ displaystyle j}$${\ Displaystyle \ тусклый (V_ {j} \ cap \ Lambda) \ geq i}$${\ Displaystyle п-к + я}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ Lambda \ subset V}$${\ Displaystyle G (к, п)}$

Характеристики

Включение

Есть частичное упорядочение для всех кортежей, где если для каждого . Это дает включение циклов Шуберта ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {а} \ geq \ mathbb {b}}$${\ displaystyle a_ {i} \ geq b_ {i}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ Sigma _ {\ mathbb {a}} \ subset \ Sigma _ {\ mathbb {b}} \ iff a \ geq b}$

рост показателей соответствует еще большей специализации подмногообразий.

Формула коразмерности

Цикл Шуберта имеет коразмерность ${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ mathbb {а}}}$

${\ displaystyle \ sum a_ {i}}$

которое устойчиво относительно включений грассманианов. То есть включение

${\ Displaystyle я: G (к, п) \ hookrightarrow G (к + 1, п + 1)}$

заданный добавлением дополнительного базового элемента к каждой -плоскости, давая -плоскость, имеет свойство ${\ displaystyle e_ {n + 1}}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle (к + 1)}$

${\ Displaystyle я ^ {*} (\ sigma _ {\ mathbb {a}}) = \ sigma _ {\ mathbb {a}}}$

Также включение

${\ Displaystyle J: G (к, п) \ hookrightarrow G (k, n + 1)}$

заданный включением плоскости имеет такое же свойство отката. ${\ displaystyle k}$

Продукт пересечения

Произведение пересечения было впервые установлено с использованием формул Пиери и Джамбелли.

Формула Пиери

В частном случае существует явная формула произведения с произвольным классом Шуберта, заданная формулой ${\ displaystyle \ mathbb {b} = (b, 0, \ ldots, 0)}$${\ displaystyle \ sigma _ {b}}$${\ displaystyle \ sigma _ {a_ {1}, \ ldots, a_ {k}}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {b} \ cdot \ sigma _ {a_ {1}, \ ldots, a_ {k}} = \ sum _ {\ begin {matrix} | c | = | a | + b \\ a_ {i} \ leq c_ {i} \ leq a_ {i-1} \ end {matrix}} \ sigma _ {\ mathbb {c}}}$

Примечание . Эта формула называется формулой Пиери и может использоваться для определения произведения пересечений любых двух классов Шуберта в сочетании с формулой Джамбелли. Например ${\ displaystyle | \ mathbb {a} | = a_ {1} + \ cdots + a_ {k}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {1} \ cdot \ sigma _ {4,2,1} = \ sigma _ {5,2,1} + \ sigma _ {4,3,1} + \ sigma _ {4, 2,1,1}}$

а также

${\ displaystyle \ sigma _ {2} \ cdot \ sigma _ {4,3} = \ sigma _ {4,3,2} + \ sigma _ {4,4,1} + \ sigma _ {5,3, 1} + \ sigma _ {5,4} + \ sigma _ {6,3}}$

Формула Джамбелли

Классы Шуберта с кортежами длины два или более могут быть описаны как детерминированное уравнение, использующее классы только одного кортежа. Формула Джамбелли читается как уравнение

${\ displaystyle \ sigma _ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {k})} = {\ begin {vmatrix} \ sigma _ {a_ {1}} & \ sigma _ {a_ {1} +1} & \ sigma _ {a_ {1} +2} & \ cdots & \ sigma _ {a_ {1} + k-1} \\\ sigma _ {a_ {2} -1} & \ sigma _ {a_ {2 }} & \ sigma _ {a_ {2} +1} & \ cdots & \ sigma _ {a_ {2} + k-2} \\\ sigma _ {a_ {3} -2} & \ sigma _ {a_ {3} -1} & \ sigma _ {a_ {3}} & \ cdots & \ sigma _ {a_ {3} + k-3} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \\ sigma _ {a_ {k} -k + 1} & \ sigma _ {a_ {k} -k + 2} & \ sigma _ {a_ {k} -k + 3} & \ cdots & \ sigma _ { а_ {к}} \ конец {vmatrix}}}$

задается определителем a -матрицы. Например, ${\ Displaystyle (к, к)}$

${\ displaystyle \ sigma _ {2,2} = {\ begin {vmatrix} \ sigma _ {2} & \ sigma _ {3} \\\ sigma _ {1} & \ sigma _ {2} \ end {vmatrix }} = \ sigma _ {2} ^ {2} - \ sigma _ {1} \ cdot \ sigma _ {3}}$

а также

${\ displaystyle \ sigma _ {2,1,1} = {\ begin {vmatrix} \ sigma _ {2} & \ sigma _ {3} & \ sigma _ {4} \\\ sigma _ {0} & \ сигма _ {1} & \ sigma _ {2} \\ 0 & \ sigma _ {0} & \ sigma _ {1} \ end {vmatrix}}}$

Связь с классами Черна

Существует простое описание кольца когомологий, или кольца Чоу, грассманиана с использованием классов Черна двух естественных векторных расслоений над грассманианом . Имеется последовательность векторных расслоений ${\ Displaystyle G (к, п)}$

${\ displaystyle 0 \ to T \ to {\ underline {V}} \ to Q \ to 0}$

где - тривиальное векторное расслоение ранга , слой over - это подпространство и - факторное векторное расслоение (которое существует, поскольку ранг постоянен на каждом из слоев). Классы Черна этих двух связанных расслоений равны ${\ displaystyle {\ underline {V}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ Лямбда \ в G (к, п)}$${\ displaystyle \ Lambda \ subset V}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle c_ {i} (T) = (- 1) ^ {i} \ sigma _ {(1, \ ldots, 1)}}$

где - кортеж и ${\ Displaystyle (1, \ ldots, 1)}$${\ displaystyle i}$

${\ Displaystyle c_ {я} (Q) = \ sigma _ {я}}$

Затем тавтологическая последовательность дает представление о ринге Чау в виде

${\ displaystyle A ^ {*} (G (k, n)) = {\ frac {\ mathbb {Z} [c_ {1} (T), \ ldots, c_ {k} (T), c_ {1} (Q), \ ldots, c_ {nk} (Q)]} {(c (T) c (Q) -1)}}}$

G (2,4)

Один из классических проанализированных примеров - это грассманиан, поскольку он параметризует линии в . Исчисление Шуберта можно использовать для определения количества линий на кубической поверхности . ${\ Displaystyle G (2,4)}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$

Кольцо для чау-чау

У ринга Чау есть презентация

${\ Displaystyle A ^ {*} (G (2,4)) = {\ frac {\ mathbb {Z} [\ sigma _ {1}, \ sigma _ {1,1}, \ sigma _ {2}] } {((1- \ sigma _ {1} + \ sigma _ {1,1}) (1+ \ sigma _ {1} + \ sigma _ {2}) - 1)}}}$

и как градуированная абелева группа дается формулой

${\ Displaystyle {\ begin {align} A ^ {0} (G (2,4)) & = \ mathbb {Z} \ cdot 1 \\ A ^ {2} (G (2,4)) & = \ mathbb {Z} \ cdot \ sigma _ {1} \\ A ^ {4} (G (2,4)) & = \ mathbb {Z} \ cdot \ sigma _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} \ cdot \ sigma _ {1,1} \\ A ^ {6} (G (2,4)) & = \ mathbb {Z} \ cdot \ sigma _ {2,1} \\ A ^ {8} (G (2,4)) & = \ mathbb {Z} \ cdot \ sigma _ {2,2} \\\ конец {выровнено}}}$

Линии на кубической поверхности

Это кольцо Чоу можно использовать для вычисления количества линий на кубической поверхности. Напомним , линия в дает размерность два подпространства , следовательно . Кроме того, уравнение линии может быть задано как сечение . Поскольку кубическая поверхность задается как общий однородный кубический многочлен, она задается как общее сечение . Тогда линия является подмногообразием тогда и только тогда, когда сечение обращается в нуль . Таким образом, класс Эйлера из можно интегрировать по , чтобы получить число точек , в которых общий раздел обращается в нуль на . Чтобы получить класс Эйлера, необходимо вычислить общий класс Черна , который задается как ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} (1,3) \ cong G (2,4)}$${\ Displaystyle \ Gamma (\ mathbb {G} (1,3), T ^ {*})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (\ mathbb {G} (1,3), {\ text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*}))}$${\ Displaystyle L \ подмножество \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle [L] \ в \ mathbb {G} (1,3)}$${\ displaystyle {\ text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} (1,3)}$${\ Displaystyle \ mathbb {G} (1,3)}$${\ displaystyle T ^ {*}}$

${\ displaystyle c (T ^ {*}) = 1+ \ sigma _ {1} + \ sigma _ {1,1}}$

Тогда формула расщепления читается как формальное уравнение

${\ displaystyle {\ begin {align} c (T ^ {*}) & = (1+ \ alpha) (1+ \ beta) \\ & = 1+ \ alpha + \ beta + \ alpha \ cdot \ beta \ конец {выровнен}}}$

где и для формальных линейных пучков . Уравнение расщепления дает соотношения ${\ Displaystyle с ({\ mathcal {L}}) = 1+ \ альфа}$${\ Displaystyle с ({\ mathcal {M}}) = 1+ \ бета}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = \ альфа + \ бета}$ и . ${\ Displaystyle \ sigma _ {1,1} = \ альфа \ cdot \ beta}$

Поскольку может быть прочитана как прямая сумма формальных векторных расслоений ${\ displaystyle {\ text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})}$

${\ displaystyle {\ text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*}) = {\ mathcal {L}} ^ {\ otimes 3} \ oplus ({\ mathcal {L}} ^ {\ otimes 2 } \ otimes {\ mathcal {M}}) \ oplus ({\ mathcal {L}} \ otimes {\ mathcal {M}} ^ {\ otimes 2}) \ oplus {\ mathcal {M}} ^ {\ otimes 3}}$

чей полный класс Черна

${\ displaystyle c ({\ text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})) = (1 + 3 \ alpha) (1 + 2 \ alpha + \ beta) (1+ \ alpha +2 \ бета) (1 + 3 \ бета)}$

следовательно

${\ displaystyle {\ begin {align} c_ {4} ({\ text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})) & = 3 \ alpha (2 \ alpha + \ beta) (\ alpha + 2 \ beta) 3 \ beta \\ & = 9 \ alpha \ beta (2 (\ alpha + \ beta) ^ {2} + \ alpha \ beta) \\ & = 9 \ sigma _ {1,1} (2 \ sigma _ {1} ^ {2} + \ sigma _ {1,1}) \\ & = 27 \ sigma _ {2,2} \ end {выровнено}}}$

используя факт

${\ Displaystyle \ sigma _ {1,1} \ cdot \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2,1} \ sigma _ {1} = \ sigma _ {2,2}}$ а также ${\ Displaystyle \ sigma _ {1,1} \ cdot \ sigma _ {1,1} = \ sigma _ {2,2}}$

Тогда интеграл равен

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {G} (1,3)} 27 \ sigma _ {2,2} = 27}$

так как это высший класс. Следовательно, на кубической поверхности есть линии. ${\ displaystyle \ sigma _ {2,2}}$${\ displaystyle 27}$

Смотрите также

• Перечислительная геометрия
• Кольцо для чау-чау
• Теория пересечения
• Грассманиан
• Формула Джамбелли
• Формула Пиери
• Черн класс
• Квинтик тройной
• Гипотеза зеркальной симметрии

Рекомендации

• Заметки о летней школе http://homepages.math.uic.edu/~coskun/poland.html
• Филип Гриффитс и Джозеф Харрис (1978), Принципы алгебраической геометрии , глава 1.5
• Клейман, Стивен (1976). «Строгие основы перечислительного исчисления Шуберта». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . XXVIII.2. Американское математическое общество . С. 445–482. ISBN   0-8218-1428-1 .
• Стивен Клейман и Дэн Лаксов (1972). «Исчисление Шуберта» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 79 : 1061–1082. DOI : 10.2307 / 2317421 .
• Соттиле, Франк (2001) [1994], "Исчисление Шуберта" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Дэвид Эйзенбуд и Джозеф Харрис (2016), «3264 и все это: второй курс алгебраической геометрии».