Патологический (математика) - Pathological (mathematics)

Функция Вейерштрасса не является непрерывной всюду , но дифференцируема нигде.

В математике патологический объект - это объект, который обладает отклоняющимся, нерегулярным или противоречащим интуиции свойством, что отличает его от того, что задумано как типичный объект той же категории. Противоположность патологии - это хорошее поведение .

В анализе

Классическим примером патологической структуры является функция Вейерштрасса , которая везде непрерывна, но нигде не дифференцируется . Сумма дифференцируемой функции и функции Вейерштрасса снова непрерывна, но нигде не дифференцируема; так что таких функций как минимум столько же, сколько и дифференцируемых функций. Фактически, с помощью теоремы Бэра о категории можно показать, что непрерывные функции в общем случае нигде не дифференцируемы.

С точки зрения непрофессионала, большинство функций нигде невозможно дифференцировать, и относительно немногие из них могут быть описаны или изучены. В общем, наиболее полезные функции также имеют какую-то физическую основу или практическое применение, а это означает, что они не могут быть патологическими на уровне сложной математики или логики; за исключением некоторых предельных случаев, таких как дельта-распределение , они, как правило, довольно корректны и интуитивно понятны. Процитирую Анри Пуанкаре :

Логика иногда создает монстров. За полвека мы наблюдаем массу причудливых функций, которые, кажется, вынуждены как можно меньше походить на честные функции, служащие какой-то цели. Больше преемственности или меньше преемственности, больше производных и так далее. В самом деле, с точки зрения логики, эти странные функции являются самыми общими; с другой стороны, те, которые встречаются, не ища их, и которые следуют простым законам, оказываются частным случаем, который составляет не более чем небольшой угол.

В прежние времена, когда изобретали новую функцию, это было для практических целей; сегодня их изобретают специально, чтобы выявить недостатки в рассуждениях наших отцов, и из них выводят только это.

Если бы логика была единственным руководством учителя, необходимо было бы начать с самых общих функций, то есть с самых причудливых. Именно новичку придется столкнуться с этим тератологическим музеем.

-  Анри Пуанкаре , 1899 г.

Это подчеркивает тот факт, что термин « патологический» (и, соответственно, слово « хорошее поведение» ) субъективен, зависит от контекста и подвержен истощению. Его значение в любом конкретном случае принадлежит сообществу математиков, а не обязательно самой математике. Кроме того, цитата показывает, как математика часто продвигается вперед через контрпримеры к тому, что кажется интуитивно понятным или ожидаемым. Например, упомянутое «отсутствие производных» тесно связано с текущими исследованиями событий магнитного пересоединения в солнечной плазме .

В топологии

Один из самых известных патологий в топологии является Александр рогатой сферы , контрпример , показывающим , что топологический вложение сферы S ² в R ³ может не разделять пространство чисто. В качестве контрпримера он мотивировал дополнительное условие приручения , которое подавляет дикое поведение, которое демонстрирует рогатая сфера.

Подобно многим другим патологиям, рогатая сфера в некотором смысле играет на бесконечно тонкой рекурсивно генерируемой структуре, которая в пределе нарушает обычную интуицию. В этом случае топология постоянно нисходящей цепочки взаимосвязанных петель непрерывных частей сферы в пределе полностью отражает топологию общей сферы, и можно было бы ожидать, что внешняя часть ее после вложения будет работать так же. Но это не так: это не может быть просто связано .

Для основной теории см теорему Джордана – Шенфлиса .

Хорошо себя

Математики (и специалисты в смежных науках) очень часто говорят о том, является ли математический объект - функция , множество , пространство того или иного вида - «хорошо управляемым» . Хотя у этого термина нет фиксированного формального определения, он обычно относится к качеству выполнения списка преобладающих условий, которые могут зависеть от контекста, математических интересов, моды и вкуса. Чтобы гарантировать, что объект «ведет себя хорошо», математики вводят дополнительные аксиомы, чтобы сузить область изучения. Это облегчает анализ, но приводит к потере общности любых сделанных выводов. Например, неевклидовы геометрии когда-то считались недобросовестными, но с тех пор стали обычными объектами изучения, начиная с 19 века и позже.

Как в чистой, так и в прикладной математике (например, оптимизация , численное интегрирование , математическая физика ) хорошее поведение также означает отсутствие нарушения каких-либо допущений, необходимых для успешного применения любого обсуждаемого анализа.

Противоположный случай обычно называют «патологическим». Нередко возникают ситуации, в которых большинство случаев (с точки зрения мощности или меры ) являются патологическими, но патологические случаи не возникают на практике - если они не построены намеренно.

Термин «хорошо себя ведет» обычно применяется в абсолютном смысле - либо что-то хорошо ведет себя, либо нет. Например:

• В алгоритмическом выводе статистика с хорошим поведением является монотонной, четко определенной и достаточной .
• В теореме Безу два многочлена ведут себя хорошо, и, таким образом, формула, приведенная в теореме для числа их пересечений, верна, если их наибольший общий делитель полинома является константой.
• Мероморфны функция представляет собой отношение двух хорошо себя функций, в том смысле этих двух функций , являющихся голоморфна .
• Условия Каруша – Куна – Таккера являются необходимыми условиями первого порядка для того, чтобы решение в задаче нелинейного программирования с хорошим поведением было оптимальным; проблема называется хорошо выполненной, если выполняются некоторые условия регулярности.
• По вероятности , события, содержащиеся в соответствующей сигма-алгебре вероятностного пространства , хорошо себя ведут, как и измеримые функции.

Как ни странно, этот термин можно было применять и в сравнительном смысле:

• В исчислении :
  • Аналитические функции ведут себя лучше, чем общие гладкие функции .
  • Гладкие функции ведут себя лучше, чем общие дифференцируемые функции.
  • Непрерывные дифференцируемые функции ведут себя лучше, чем общие непрерывные функции. Чем больше раз функция может быть дифференцирована, тем лучше она будет работать.
  • Непрерывные функции ведут себя лучше, чем функции, интегрируемые по Риману на компактах.
  • Функции, интегрируемые по Риману, ведут себя лучше, чем функции, интегрируемые по Лебегу .
  • Функции, интегрируемые по Лебегу, ведут себя лучше, чем функции общего вида.
• В топологии , непрерывные функции лучше , чем себя разрывных из них.
  • Евклидово пространство ведет себя лучше, чем неевклидова геометрия .
  • Привлекательные неподвижные точки ведут себя лучше, чем отталкивающие неподвижные точки.
  • Топологии Хаусдорфа ведут себя лучше, чем топологии произвольной общей топологии .
  • Борелевские лучше себя ведет , чем произвольные наборы из действительных чисел .
  • Пространства с целочисленной размерностью ведут себя лучше, чем пространства с фрактальной размерностью .
• В абстрактной алгебре :
  • Группы ведут себя лучше, чем магмы и полугруппы .
  • Абелевы группы ведут себя лучше, чем неабелевы группы.
  • Конечно порожденные абелевы группы ведут себя лучше, чем неконечно порожденные абелевы группы.
  • Конечное - одномерные векторные пространства лучше вели себя , чем бесконечные мерными них.
  • Поля ведут себя лучше, чем тела или общие кольца .
  • Разделимые расширения поля ведут себя лучше, чем неразделимые.
  • Нормированные алгебры с делением ведут себя лучше, чем общие композиционные алгебры.

Патологические примеры

Патологические примеры часто обладают некоторыми нежелательными или необычными свойствами, которые затрудняют их содержание или объяснение в рамках теории. Такое патологическое поведение часто побуждает к новым исследованиям и исследованиям, которые приводят к новой теории и более общим результатам. Вот некоторые важные исторические примеры этого:

• Открытие иррациональных чисел школой Пифагора в Древней Греции; например, длина диагонали единичного квадрата , то есть .${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$
• Открытие комплексных чисел в 16 веке с целью найти корни полиномиальных функций кубической и четвертой степени .
• Рациональные числа исчисляемы . То есть каждое рациональное число может быть отображено в уникальное целое число .
• Некоторые числовые поля имеют кольца целых чисел, которые не образуют уникальной области факторизации , например, поле .${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-5}})}$
• Открытие фракталов и других «грубых» геометрических объектов (см. Размерность Хаусдорфа ).
• Функция Вейерштрасса , вещественнозначная функция на действительной прямой , непрерывная везде, но нигде не дифференцируемая .
• Тестовые функции в реальном анализе и теории распределений, которые являются бесконечно дифференцируемыми функциями на вещественной прямой, равными 0 всюду за пределами заданного ограниченного интервала . Примером такой функции является тестовая функция,
  $${\ displaystyle \ varphi (t) = {\ begin {cases} e ^ {- 1 / (1-t ^ {2})}, & - 1 <t <1, \\ 0, & {\ text {иначе }}. \ end {case}}}$$

  
• Набор Кантора - это подмножество интервала, который имеет нулевую меру, но неисчислим .${\ displaystyle [0,1]}$
• Кривая, заполняющая пространство Пеано, является непрерывной сюръективной функцией, отображающей единичный интервал на .${\ displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle [0,1] \ раз [0,1]}$
• Функция Дирихле , которая является индикаторной функцией для рациональных чисел, является ограниченной функцией, которая не интегрируема по Риману .
• Функция Кантора - это монотонная непрерывная сюръективная функция, которая отображается на , но имеет нулевую производную почти всюду .${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle [0,1]}$
• Классы удовлетворенности , содержащие «интуитивно ложные» арифметические операторы могут быть построены для счетных , рекурсивно насыщенными моделями из арифметики Пеано .

Во время их открытия каждый из них считался крайне патологическим; сегодня каждый из них ассимилирован современной математической теорией. Эти примеры побуждают наблюдателей исправить свои убеждения или интуиции, а в некоторых случаях требуют переоценки основополагающих определений и концепций. На протяжении истории они привели к более правильной, более точной и более мощной математике. Например, функция Дирихле интегрируема по Лебегу, а свертка с пробными функциями используется для приближения любой локально интегрируемой функции гладкими функциями.

Патологичность поведения по определению зависит от личной интуиции. Патологии зависят от контекста, подготовки и опыта, и то, что является патологическим для одного исследователя, вполне может быть стандартным поведением для другого.

Патологические примеры могут показать важность предположений в теореме. Например, в статистике , то распределение Кошей не удовлетворяет центральную предельную теорему , хотя ее симметричный колокол-форма выглядит похожей на многие дистрибутивы , которые делают; он не соответствует требованию наличия среднего и стандартного отклонения, которые существуют и являются конечными.

Некоторые из наиболее известных парадоксов , таких как Банаха-Тарского парадокс и Хаусдорфа парадокс , основаны на существовании не-измеримых множеств . Математики, если они не занимают позицию меньшинства, отрицая аксиому выбора , в целом смиряются с тем, чтобы жить с такими множествами.

Информатика

В информатике , патологическая имеет несколько иной смысл в отношении к изучению алгоритмов . Здесь вход (или набор входов) называется патологическим, если он вызывает нетипичное поведение алгоритма, такое как нарушение его средней сложности случая или даже его правильности. Например, хеш-таблицы обычно имеют патологические входные данные: наборы ключей, которые сталкиваются с хеш-значениями. Быстрая сортировка обычно имеет временную сложность O (n log n), но ухудшается до тех пор, пока на нее не поступают входные данные, которые вызывают неоптимальное поведение. ${\ Displaystyle О (п ^ {2})}$

Этот термин часто используется уничижительно, как способ отвергнуть такие входные данные, как специально разработанные, чтобы нарушить рутину, которая в остальном разумна на практике (сравните с византийскими ). С другой стороны, важна осведомленность о патологических входах, поскольку они могут быть использованы для организации атаки отказа в обслуживании в компьютерной системе. Кроме того, термин в этом смысле является предметом субъективного суждения, как и в случае с другими его значениями. При наличии достаточного времени выполнения, достаточно большое и разнообразное сообщество пользователей (или другие факторы), вход , который может быть отклонен как патологическая на самом деле может иметь место (как видно в первом испытательном полете на Ariane 5 ).

Исключения

Сходным, но отличным от других явлением является явление исключительных объектов (и исключительных изоморфизмов ), которое происходит, когда существует «небольшое» количество исключений из общего шаблона (например, конечный набор исключений из бесконечного правила). Напротив, в случаях патологии часто большинство или почти все случаи явления являются патологическими (например, почти все действительные числа иррациональны).

Субъективно исключительные объекты (такие как икосаэдр или отдельные простые группы ) обычно считаются «красивыми», неожиданными примерами теории, в то время как патологические явления часто считаются «уродливыми», как следует из названия. Соответственно, теории обычно расширяются за счет включения исключительных объектов. Например, исключительные алгебры Ли включены в теорию полупростых алгебр Ли : аксиомы считаются хорошими, исключительные объекты - неожиданными, но действительными.

Напротив, вместо этого используются патологические примеры, чтобы указать на недостаток аксиом, требуя более сильных аксиом, чтобы их исключить. Например, требование ручности вложения шара в задаче Шенфлиса . В общем, можно изучать более общую теорию, включая патологии, которые могут давать свои собственные упрощения (действительные числа имеют свойства, очень отличные от рациональных, и аналогично непрерывные карты имеют свойства, сильно отличающиеся от гладких), но также и более узкие. теория, из которой были взяты оригинальные примеры.

Смотрите также

• Фрактальная кривая
• Список математического жаргона

использованная литература

Примечания

внешние ссылки

• Патологические структуры и фракталы - выдержка из статьи Фримена Дайсона , «Характеризуя нерегулярность», Science, май 1978 г.

Эта статья включает в себя материал из патологического материала PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .