Зоноэдр - Zonohedron

Зоноэдр является выпуклый многогранник , то есть центрально - симметричное , каждая грань которого представляет собой многоугольник, центрально - симметрично . Любой зоноэдр может быть эквивалентно описывается как сумма Минковского множества отрезков в трехмерном пространстве, или в виде трехмерной проекции в виде гиперкуба . Зоноэдры были первоначально определены и изучены русским кристаллографом Е.С. Федоровым . В более общем смысле, в любом измерении сумма отрезков Минковского образует многогранник, известный как зонотоп .

Зоноэдры, что пространство плитки

Первоначальная мотивация для изучения зоноэдров состоит в том, что диаграмма Вороного любой решетки образует выпуклые однородные соты, в которых ячейки являются зоноэдрами. Любой зоноэдр, образованный таким образом, может разбивать трехмерное пространство на мозаику и называется первичным параллелоэдром . Каждый первичный параллелоэдр комбинаторно эквивалентен одному из пяти типов: ромбоэдру (включая куб ), гексагональной призме , усеченному октаэдру , ромбическому додекаэдру и ромбо-гексагональному додекаэдру .

Зоноэдры из сумм Минковского

Зонотоп - это сумма отрезков Минковского. Шестнадцать темно-красных точек (справа) образуют сумму Минковского четырех невыпуклых множеств (слева), каждое из которых состоит из пары красных точек. Их выпуклые корпуса (заштрихованные розовым цветом) содержат знаки плюса (+): правый знак плюс - это сумма левых знаков плюса.

Позвольте быть набором трехмерных векторов . С каждым вектором мы можем связать отрезок прямой . Сумма Минковского образует зоноэдр, и все зоноэдры, содержащие начало координат, имеют эту форму. Векторы, из которых образован зоноэдр, называются его образующими . Эта характеристика позволяет обобщить определение зоноэдров на более высокие измерения, давая зонотопы. ${\ displaystyle \ {v_ {0}, v_ {1}, \ dots \}}$${\ displaystyle v_ {i}}$ ${\ textstyle \ {x_ {i} v_ {i} \ mid 0 \ leq x_ {i} \ leq 1 \}}$ ${\ textstyle \ {\ textstyle \ sum _ {i} x_ {i} v_ {i} \ mid 0 \ leq x_ {i} \ leq 1 \}}$

Каждое ребро зоноэдра параллельно хотя бы одному из образующих и имеет длину, равную сумме длин образующих, которым оно параллельно. Следовательно, выбрав набор образующих без параллельных пар векторов и установив одинаковые длины всех векторов, мы можем сформировать равностороннюю версию любого комбинаторного типа зоноэдра.

Выбирая наборы векторов с высокими степенями симметрии, мы можем сформировать таким образом зоноэдры, по крайней мере, с такой же симметрией. Например, образующие, равномерно расположенные вокруг экватора сферы, вместе с другой парой образующих через полюса сферы образуют зоноэдры в форме призмы над правильными -угольниками: куб , гексагональная призма , восьмиугольная призма , десятиугольная призма , додекагональная призма и т. д. Генераторы, параллельные краям октаэдра, образуют усеченный октаэдр , а генераторы, параллельные длинным диагоналям куба, образуют ромбический додекаэдр . ${\ displaystyle 2k}$

Сумма Минковского любых двух зоноэдров является другим зоноэдром, порожденным объединением образующих двух данных зоноэдров. Таким образом, сумма Минковского куба и усеченного октаэдра образует усеченный кубооктаэдр , а сумма Минковского куба и ромбического додекаэдра образует усеченный ромбический додекаэдр . Оба этих зоноэдра простые (три грани встречаются в каждой вершине), как и усеченный маленький ромбокубооктаэдр, образованный суммой Минковского куба, усеченного октаэдра и ромбического додекаэдра.

Зоноэдры из аранжировок

Карта Гаусса любого выпуклого многогранника отображает каждую грань многоугольника в точку на единичной сфере и отображает каждое ребро многоугольника, разделяющего пару граней, на дугу большого круга, соединяющую соответствующие две точки. В случае зоноэдра ребра, окружающие каждую грань, могут быть сгруппированы в пары параллельных ребер, и при преобразовании через карту Гаусса любая такая пара становится парой смежных сегментов на одной и той же большой окружности. Таким образом, ребра зоноэдра можно сгруппировать в зоны параллельных ребер, которые соответствуют сегментам общей большой окружности на карте Гаусса, а 1- скелет зоноэдра можно рассматривать как плоский дуальный граф к расположению больших кругов на сфере. И наоборот, любое расположение больших окружностей может быть сформировано из карты Гаусса зоноэдра, порожденного векторами, перпендикулярными плоскостям, проходящим через окружности.

Таким образом, любой простой зоноэдр соответствует симплициальному расположению , в котором каждая грань представляет собой треугольник. Симплициальные расположения больших окружностей соответствуют через центральную проекцию симплициальным расположениям прямых на проективной плоскости . Есть три известных бесконечных семейства симплициальных расположений, одно из которых приводит к призмам при преобразовании в зоноэдры, а два других соответствуют дополнительным бесконечным семействам простых зоноэдров. Есть также много единичных примеров, которые не вписываются в эти три семейства.

Из соответствия между зоноэдрами и расположениями и из теоремы Сильвестра – Галла, которая (в ее проективно двойственной форме) доказывает существование пересечений только двух прямых в любом расположении, каждый зоноэдр имеет по крайней мере одну пару противоположных граней параллелограмма . (Квадраты, прямоугольники и ромбы считаются частными случаями параллелограммов.) Более того, каждый зоноэдр имеет не менее шести граней параллелограмма, и каждый зоноэдр имеет ряд граней параллелограмма, линейный по количеству образующих.

Типы зоноэдров

Любая призма над правильным многоугольником с четным числом сторон образует зоноэдр. Эти призмы могут быть сформированы так, чтобы все грани были правильными: две противоположные грани равны правильному многоугольнику, из которого была образована призма, и они соединены последовательностью квадратных граней. Зоноэдры этого типа - это куб , гексагональная призма , восьмиугольная призма , десятиугольная призма , двенадцатигранная призма и т. Д.

В дополнение к этому бесконечному семейству зоноэдров с правильными гранями, есть три архимедовых тела , все усеченные правильными формами:

• Усеченный октаэдр , с 6 квадрата и 8 шестиугольных граней. (Омноусеченный тетраэдр)
• Усечен кубооктаэдр , с 12 квадратов, 8 шестиугольников и 6 восьмиугольника. (Омноусеченный куб)
• Усечен икосододекаэдр , с 30 квадратов, 20 шестиугольников и 12 десятиугольников. (Омноусеченный додекаэдр)

Кроме того, некоторые каталонские тела (двойники архимедовых тел) снова являются зоноэдрами:

• Ромбический додекаэдр Кеплера является двойственным кубооктаэдру .
• Ромбический триаконтаэдр является двойственным икосододекаэдром .

Другие с совпадающими ромбическими гранями:

• Ромбический додекаэдр Билинского .
• Ромбический икосаэдр
• Ромбоэдр

Существует бесконечно много зоноэдров с ромбическими гранями, которые не все конгруэнтны друг другу. Они включают:

• Ромбический эннеконтаэдр

зоноэдр	изображение	количество генераторов	обычное лицо	лицо переходное	край переходный	вершинно- транзитивный	Параллелоэдр (заполнение)	просто
Куб 4.4.4		3	да	да	да	да	да	да
Шестиугольная призма 4.4.6		4	да	Нет	Нет	да	да	да
2 n -призма ( n  > 3) 4.4.2n		п  + 1	да	Нет	Нет	да	Нет	да
Усеченный октаэдр 4.6.6		6	да	Нет	Нет	да	да	да
Усеченный кубооктаэдр 4.6.8		9	да	Нет	Нет	да	Нет	да
Усеченный икосододекаэдр 4.6.10		15	да	Нет	Нет	да	Нет	да
Параллелепипед		3	Нет	да	Нет	Нет	да	да
Ромбический додекаэдр V3.4.3.4		4	Нет	да	да	Нет	да	Нет
Додекаэдр Билинского		4	Нет	Нет	Нет	Нет	да	Нет
Ромбический икосаэдр		5	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет
Ромбический триаконтаэдр V3.5.3.5		6	Нет	да	да	Нет	Нет	Нет
Ромбо-гексагональный додекаэдр		5	Нет	Нет	Нет	Нет	да	Нет
Усеченный ромбический додекаэдр		7	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	да

Рассечение зоноэдров

Хотя в целом неверно, что любой многогранник имеет разрез на любой другой многогранник того же объема (см . Третью проблему Гильберта ), известно, что любые два зоноэдра равного объема могут быть разрезаны друг на друга.

Зоноэдрификация

Зоноэдрификация - это процесс, определенный Джорджем У. Хартом для создания зоноэдра из другого многогранника.

Сначала вершины любого многогранника считаются векторами из центра многогранника. Эти векторы создают зоноэдр, который мы называем зоноэдрификацией исходного многогранника. Для любых двух вершин исходного многогранника существуют две противоположные плоскости зоноэдрификации, каждая из которых имеет два ребра, параллельных векторам вершин.

Примеры

Многогранник		Зоноэдрификация
	Октаэдр		Куб
	Кубооктаэдр		6-зонный усеченный октаэдр
	Куб		Ромбический додекаэдр
	Ромбокубооктаэдр		Ромбический 132-гранник
	Додекаэдр		10-зонный ромбический эннеконтаэдр
	Икосаэдр		6-зонный ромбический триаконтаэдр
	Икосододекаэдр		15-зонный усеченный икосододекаэдр

Зонотопы

Сумма Минковская из отрезков линий в любых формах измерения типа многогранника называется zonotope . Эквивалентно зонотоп, порожденный векторами , задается выражением . Обратите внимание, что в частном случае , когда зонотоп является (возможно, вырожденным) параллелоэдром . ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle v_ {1}, ..., v_ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle Z = \ {a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {k} v_ {k} | \; \ forall (j) a_ {j} \ in [0,1] \}}$${\ Displaystyle к \ Leq п}$${\ displaystyle Z}$

Грани любого зонотопа сами являются зонотопами одного более низкого измерения; например, грани зоноэдров являются зоногонами . Примеры четырехмерных зонотопов включают тессеракт (суммы Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков равной длины), полностью усеченные 5-элементные и усеченные 24-элементные . Каждый пермутоэдр - зонотоп .

Зонотопы и матроиды

Зафиксируем зонотоп, определенный из набора векторов, и пусть будет матрицей, столбцы которой являются . Тогда векторный матроид в столбцах кодирует большой объем информации , то есть многие свойства являются чисто комбинаторными по своей природе. ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle V = \ {v_ {1}, \ dots, v_ {n} \} \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle d \ times n}$${\ displaystyle v_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ mathcal {M}}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$

Так , например, пары противоположных граней , естественно , индексируются cocircuits из и если мы рассмотрим ориентированные матроиду представлен , то получим взаимно однозначное соответствие между гранями и подписанных cocircuits из которого продолжается до посета антиизоморфизма между лицевой решеткой из и ковекторы упорядоченного покомпонентного расширения . В частности, если и - две матрицы, различающиеся проективным преобразованием, то соответствующие зонотопы комбинаторно эквивалентны. Обратное к предыдущему утверждению неверно: сегмент является зонотопом и порождается обоими и соответствующими матрицами, и , не отличаются проективным преобразованием. ${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {M}}$${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle 0 \ Prec +, -}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle [0,2] \ подмножество \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ {2 \ mathbf {е} _ {1} \}}$${\ Displaystyle \ {\ mathbf {е} _ {1}, \ mathbf {е} _ {1} \}}$${\ displaystyle [2]}$${\ displaystyle [1 ~ 1]}$

Плитки

Тайлинговые свойства зонотопа также тесно связаны с ориентированным матроидом, связанным с ним. Сначала рассмотрим свойство замощения пространства. Зонотоп называется мозаичным, если существует такой набор векторов , что объединение всех translates ( ) есть и любые два сдвига пересекаются на (возможно, пустой) грани каждого из них. Такой зонотоп называется зонотопом, разбивающим пространство. Следующая классификация зонотопов с мозаичным пространством принадлежит Макмаллену: зонотоп, порожденный пространством векторных плиток, тогда и только тогда, когда соответствующий ориентированный матроид является правильным . Таким образом, внешне геометрическое состояние зонотопа, разбивающего пространство, на самом деле зависит только от комбинаторной структуры порождающих векторов. ${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle Z}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle \ Lambda \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle Z + \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ Lambda}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle V}$

Другое семейство разбиений , связанных с zonotope являются zonotopal тайлинги из . Набор зонотопов является зонотопным замощением, если это многогранный комплекс с опорой , то есть если объединение всех зонотопов в коллекции есть и любые два пересекаются на общей (возможно, пустой) грани каждого из них. Многие изображения зоноэдров на этой странице можно рассматривать как зонотопные мозаики двумерного зонотопа, просто рассматривая их как плоские объекты (в отличие от плоских представлений трехмерных объектов). Bohne-платье теорема утверждает , что существует взаимно однозначное соответствие между zonotopal разбиениями zonotope и одноэлементными лифтами в ориентированной матроиде , ассоциированной с . ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle Z}$

Объем

Зоноэдры и n -мерные зонотопы в целом примечательны тем, что допускают простую аналитическую формулу для их объема.

Позвольте быть зонотопом, порожденным набором векторов . Тогда n-мерный объем равен . ${\ Displaystyle Z (S)}$${\ Displaystyle Z = \ {a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {k} v_ {k} | \; \ forall (j) a_ {j} \ in [0,1] \}}$${\ Displaystyle S = \ {v_ {1}, \ dots, v_ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {n} \}}$${\ Displaystyle Z (S)}$${\ Displaystyle \ сумма _ {T \ подмножество S \;: \; | T | = n} | \ det (Z (T)) |}$

Определитель в этой формуле имеет смысл, потому что (как отмечалось выше), когда множество имеет мощность, равную размерности окружающего пространства, зонотоп является параллелоэдром. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle n}$

Обратите внимание, что когда эта формула просто утверждает, что зонотоп имеет нулевой объем n. ${\ Displaystyle к <п}$

использованная литература

• Кокстер, HS M (1962). «Классификация зоноэдров с помощью проективных диаграмм». J. Math. Pures Appl . 41 : 137–156. Перепечатано в Coxeter, HS M (1999). Красота геометрии . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. С. 54–74. ISBN 0-486-40919-8.
• Федоров Е.С. (1893). "Elemente der Gestaltenlehre". Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie . 21 : 671–694.
• Рольф Шнайдер, Глава 3.5 «Зоноиды и другие классы выпуклых тел» в Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Cambridge University Press, Кембридж, 1993.
• Шепард, GC (1974). «Зонотопы, заполняющие космос». Математика . 21 (2): 261–269. DOI : 10.1112 / S0025579300008652 .
• Тейлор, Джин Э. (1992). «Зоноэдры и обобщенные зоноэдры». Американский математический ежемесячник . 99 (2): 108–111. DOI : 10.2307 / 2324178 . JSTOR  2324178 .
• Бек, М .; Робинс, С. (2007). Вычисление непрерывного дискретно . Springer Science + Business Media, LLC.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Зоноэдр» . MathWorld .
• Эпштейн, Дэвид . «Свалка геометрии: зоноэдры и зонотопы» .
• Харт, Джордж У. "Виртуальные многогранники: зоноэдры" .
• Вайсштейн, Эрик В. «Первичный параллелоэдр» . MathWorld .
• Булатов, Владимир. «Завершение зоноэдральных многогранников» .
• Сенторе, Пол. "Глава 2 Геометрии цвета" (PDF) .