Строительство проекта - Proj construction

В алгебраической геометрии , Рго представляет собой конструкцию , аналогичную Спектр-в-а-кольца конструкции аффинных схем , которая производит объекты с типичными свойствами проективных пространств и проективных многообразий . Конструкция, хотя и не является функториальной , является фундаментальным инструментом в теории схем .

В этой статье все кольца будут считаться коммутативными и идентичными.

Проект градуированного кольца

Proj как набор

Пусть - градуированное кольцо , где ${\ displaystyle S}$

{\ Displaystyle S = \ bigoplus _ {я \ geq 0} S_ {я}}

- разложение в прямую сумму, связанное с градуировкой. Не имеет значения идеал в идеал элементов положительной степени

{\ displaystyle S}

{\ displaystyle S _ {+} = \ bigoplus _ {i> 0} S_ {i}.}

Мы говорим, что идеал однороден, если он порождается однородными элементами. Тогда, как набор,

{\ displaystyle \ operatorname {Proj} S = \ {P \ subset S {\ text {однородный простой идеал,}} S _ {+} \ not \ subset P \}.}

Для краткости мы иногда будем писать для .

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}

Proj как топологическое пространство

Мы можем определить топологию , называемую топологией Зарисского , определяя замкнутые множества как те, которые имеют вид ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$

{\ displaystyle V (a) = \ {p \ in \ operatorname {Proj} S \ mid a \ substeq p \},}

где это однородный идеал в . Как и в случае аффинных схем, быстро проверяется, что замкнутые множества топологии образуют на . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle V (а)}$ ${\ displaystyle X}$

В самом деле, если являются семейством идеалов, то мы имеем, и если индексирующее множество I конечно, то . ${\ Displaystyle (а_ {я}) _ {я \ в я}}$ ${\ textstyle \ bigcap V (a_ {i}) = V \ left (\ sum a_ {i} \ right)}$ ${\ textstyle \ bigcup V (a_ {i}) = V \ left (\ prod a_ {i} \ right)}$

Точно так же мы можем взять открытые множества в качестве отправной точки и определить

{\ displaystyle D (a) = \ {p \ in \ operatorname {Proj} S \ mid a \ not \ substeq p \}.}

Общая стенография для обозначения пути , где это идеал , порожденный . Для любого идеала множества и являются дополнительными, и, следовательно, то же доказательство, что и предыдущее, показывает, что множества образуют топологию на . Преимущество этого подхода состоит в том, что множества , пробегающие все однородные элементы кольца , образуют основу для этой топологии, которая является незаменимым инструментом для анализа , так же как аналогичный факт для спектра кольца аналогичным образом незаменим. ${\ Displaystyle D (Sf)}$ ${\ displaystyle D (f)}$ ${\ displaystyle Sf}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ Displaystyle D (а)}$ ${\ Displaystyle V (а)}$ ${\ Displaystyle D (а)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$ ${\ displaystyle D (f)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$

Проект как схема

Мы также построить пучок на , называемый «структурный пучок» , как и в аффинном случае, что делает его в схему . Как и в случае конструкции Spec, существует множество способов действовать: наиболее прямой, который также наводит на размышления о построении регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, следующий. Для любого открытого множества из (который по определению является совокупность однородных простых идеалов , не содержащим ) определит кольцо как множество всех функций ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S _ {+}}$ ${\ displaystyle O_ {X} (U)}$

{\ Displaystyle е \ двоеточие U \ к \ bigcup _ {p \ in U} S _ {(p)}}

(где обозначает подкольцо кольца фракций , состоящих из фракций однородных элементов той же степени), что для каждого простого идеала из : ${\ displaystyle S _ {(p)}}$ ${\ displaystyle S_ {p}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle f (p)}$ является элементом ; ${\ displaystyle S _ {(p)}}$
Там существует открытое подмножество , содержащее и однородные элементы из той же степени, что для каждого простого идеала из : ${\ Displaystyle V \ подмножество U}$ ${\ Displaystyle V \ подмножество U}$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle s, t}$ $с, т$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ${\ displaystyle V}$ $V$
- ${\ displaystyle t}$ не входит ; ${\ displaystyle q}$
- ${\ Displaystyle f (q) = s / t}$

Непосредственно из определения следует, что образуют пучок колец на , и можно показать, что пара ( , ) на самом деле является схемой (это достигается показом, что каждое из открытых подмножеств на самом деле является аффинной схемой) . ${\ displaystyle O_ {X} (U)}$ ${\ displaystyle O_ {X}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$ ${\ displaystyle O_ {X}}$ ${\ displaystyle D (f)}$

Связка, связанная с градуированным модулем

Существенное свойство для указанных выше конструкции была способностью образовывать локализации для каждого простого идеала в . Этим свойством также обладает любой градуированный модуль над , и, следовательно, с соответствующими небольшими изменениями предыдущий раздел строит для любого такого пучка, обозначенного , -модулей на . Этот пучок квазикогерентен по построению. Если порождается конечным числом элементов степени (например, кольцом многочленов или его однородным частным), все квазикогерентные пучки на возникают из градуированных модулей по этой конструкции. Соответствующий оцениваемый модуль не уникален. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S _ {(p)}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ tilde {M}}}$ ${\ displaystyle O_ {X}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$

Скручивающийся сноп Серра

Для получения дополнительной информации и о классической твист-связке Серра см. Тавтологический пучок.

Частным случаем связки, ассоциированной с градуированным модулем, является случай, когда мы принимаем за себя самого себя с другой градуировкой: а именно, мы позволяем элементам степени быть элементами степени модуля , поэтому ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle (d + 1)}$ ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle M_ {d} = S_ {d + 1}}

и обозначим . Тогда мы получим как квазикогерентный пучок на , обозначаемые или просто , называются скручивание пучок из Серра . Можно проверить, что это действительно обратимый пучок .

{\ Displaystyle M = S (1)}

{\ displaystyle {\ tilde {M}}}

{\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}

{\ displaystyle O_ {X} (1)}

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}

Одна из причин полезности функции заключается в том, что она восстанавливает алгебраическую информацию, которая была потеряна, когда при построении мы перешли к дробям нулевой степени. В случае Spec

A для кольца A глобальные секции структурного пучка образуют сам A , тогда как глобальные секции здесь формируют только элементы нулевой степени . Если мы определим

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}

${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle O_ {X}}

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}

${\ displaystyle S}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (п) = \ bigotimes _ {я = 1} ^ {п} {\ mathcal {O}} (1)}

затем каждая из них содержит информацию о степени , обозначена и вместе взятые содержат всю потерянную информацию об аттестации. Аналогичным образом для любого пучка градуированных -модулей определим ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (п)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ displaystyle N}$

{\ Displaystyle N (п) = N \ otimes {\ mathcal {O}} (п)}

и ожидайте, что эта «скрученная» связка будет содержать информацию о градации . В частности, если связка связана с оцениваемым -модулем, мы также ожидаем, что он будет содержать потерянную информацию о градации . Это предполагает, хотя и ошибочно, что на самом деле может быть реконструировано из этих пучков; в виде ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle \ bigoplus _ {п \ geq 0} H ^ {0} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (n))}

однако это верно в случае, если это кольцо многочленов, описанное ниже. Эту ситуацию следует противопоставить тому факту, что функтор spec присоединен к функтору глобальных сечений в категории локально окольцованных пространств . ${\ displaystyle S}$

Проективное n -пространство

Если - кольцо, мы определяем проективное

n -пространство над как схему ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle A}

{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {A} ^ {n} = \ operatorname {Proj} A [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}].}

Градуировка кольца многочленов определяется тем, что каждый элемент имеет степень один, а каждый элемент - степень ноль. Сравнивая это с определением , приведенным выше, мы видим, что сечения являются линейными однородными многочленами, порожденными самими собой. Это предполагает другую интерпретацию , а именно как пучок «координат» для , поскольку буквально являются координатами проективного -пространства. ${\ Displaystyle S = А [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} S}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle n}$

Примеры Proj

Proj над аффинной линией

Если позволить базовому кольцу быть , то ${\ Displaystyle A = \ mathbb {C} [\ lambda]}$

{\ Displaystyle X = \ OperatorName {Proj} \ left ({\ frac {A [X, Y, Z] _ {\ bullet}} {(ZY ^ {2} -X (XZ) (X- \ lambda Z) ) _ {\ bullet}}} \ right)}

имеет канонический проективный морфизм к аффинной прямой , слои которой являются эллиптическими кривыми, за исключением точек, где кривые вырождаются в узловые кривые. Итак, есть расслоение

{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ lambda} ^ {1}}

{\ displaystyle \ lambda = 0,1}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} E _ {\ lambda} & \ longrightarrow & X \\ && \ downarrow \\ && \ mathbb {A} _ {\ lambda} ^ {1} - \ {0,1 \} \ end {матрица}}}

который также является гладким морфизмом схем (что можно проверить с помощью критерия Якоби ).

Проективные гиперповерхности и многообразия

Проективная гиперповерхность является примером

квинтики Ферма, которая также является многообразием Калаби – Яу . Помимо проективных гиперповерхностей, любое проективное многообразие, высекаемое системой однородных многочленов

{\ displaystyle \ operatorname {Proj} \ left (\ mathbb {C} [X_ {0}, \ ldots, X_ {4}] / (X_ {0} ^ {5} + \ cdots + X_ {4} ^ { 5}) \ right)}

{\ displaystyle f_ {1} = 0, \ ldots, f_ {k} = 0}

in -переменные могут быть преобразованы в проективную схему с помощью конструкции proj для градуированной алгебры

{\ Displaystyle (п + 1)}

{\ displaystyle {\ frac {k [X_ {0}, \ ldots, X_ {n}] _ {\ bullet}} {(f_ {1}, \ ldots, f_ {k}) _ {\ bullet}}} }

дающий вложение проективных многообразий в проективные схемы.

Взвешенное проективное пространство

Весовые проективные пространства можно построить с помощью кольца многочленов, переменные которого имеют нестандартные степени. Так , например, взвешенное проективное пространство соответствует принимать кольца , где имеют вес в то время как имеет вес 2. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (1,1,2)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj}}$ ${\ Displaystyle А [X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}]}$ ${\ Displaystyle X_ {0}, X_ {1}}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$

Бигрейдные кольца

Конструкция проекта распространяется на бигрейдные и разноуровневые кольца. Геометрически это соответствует взятию произведений проективных схем. Например, учитывая градуированные кольца

{\ displaystyle A _ {\ bullet} = \ mathbb {C} [X_ {0}, X_ {1}], {\ text {}} B _ {\ bullet} = \ mathbb {C} [Y_ {0}, Y_ {1}]}

со степенью каждого генератора . Тогда тензорное произведение этих алгебр над дает биградуированную алгебру

{\ displaystyle 1}

{\ displaystyle \ mathbb {C}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A _ {\ bullet} \ otimes _ {\ mathbb {C}} B _ {\ bullet} & = S _ {\ bullet, \ bullet} \\ & = \ mathbb {C} [X_ {0}, X_ {1}, Y_ {0}, Y_ {1}] \ end {выровнено}}}

где имеют вес и имеют вес . Тогда конструкция proj дает

{\ displaystyle X_ {i}}

{\ displaystyle (1,0)}

{\ displaystyle Y_ {i}}

{\ displaystyle (0,1)}

{\ displaystyle {\ text {Proj}} (S _ {\ bullet, \ bullet}) = \ mathbb {P} ^ {1} \ times _ {{\ text {Spec}} (\ mathbb {C})} \ mathbb {P} ^ {1}}

который является продуктом проективных схем. Такие схемы можно вложить в проективное пространство, взяв полную градуированную алгебру

{\ Displaystyle S _ {\ bullet, \ bullet} \ к S _ {\ bullet}}

где элемент степени рассматривается как элемент степени . Это означает, что -й оцениваемой частью является модуль

{\ Displaystyle (а, б)}

{\ Displaystyle (а + б)}

{\ displaystyle k}

{\ displaystyle S _ {\ bullet}}

{\ Displaystyle S_ {k} = \ bigoplus _ {a + b = k} S_ {a, b}}

Кроме того, в схеме теперь используются биградируемые пучки, которые являются тензорным произведением пучков, где

{\ displaystyle {\ text {Proj}} (S _ {\ bullet, \ bullet})}

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (а, б)}

{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {*} {\ mathcal {O}} (а) \ otimes \ pi _ {2} ^ {*} {\ mathcal {O}} (b)}

{\ displaystyle \ pi _ {1}: {\ text {Proj}} (S _ {\ bullet, \ bullet}) \ to {\ text {Proj}} (A _ {\ bullet})}

а также

{\ displaystyle \ pi _ {2}: {\ text {Proj}} (S _ {\ bullet, \ bullet}) \ to {\ text {Proj}} (B _ {\ bullet})}

являются каноническими проекциями, возникающими в результате инъекций этих алгебр из диаграммы тензорного произведения коммутативных алгебр.

Глобальный проект

Обобщение конструкции Рго заменяет кольцо S с пучком алгебр и производит, как конечный результат, схема , которая может рассматриваться как пучок Рго - х колец. Эта конструкция часто используется, например, для построения расслоений проективных пространств над базовой схемой .

Предположения

Формально, пусть X - любая схема, а S - пучок градуированных -алгебр (определение которого аналогично определению

-модулей на локально окольцованном пространстве ): то есть пучок с разложением в прямую сумму

{\ displaystyle O_ {X}}

{\ displaystyle O_ {X}}

{\ Displaystyle S = \ bigoplus _ {я \ geq 0} S_ {я}}

где каждый является -модулем такой, что для любого открытого подмножества

U в X , S ( U ) является -алгеброй, и результирующее разложение в прямую сумму

{\ displaystyle S_ {i}}

{\ displaystyle O_ {X}}

{\ displaystyle O_ {X} (U)}

{\ Displaystyle S (U) = \ bigoplus _ {я \ geq 0} S_ {я} (U)}

является градуировкой этой алгебры как кольца. Здесь мы предполагаем, что . Сделаем дополнительное предположение, что

S - квазикогерентный пучок ; это предположение о «согласованности» сечений над различными открытыми множествами, которое необходимо для продолжения построения.

{\ displaystyle S_ {0} = O_ {X}}

Строительство

В этой схеме мы можем построить схему и «проекционное» отображение

p на X так , что для каждого открытого аффинного U элемента X ,

{\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {Proj}} S}

{\ displaystyle (\ operatorname {\ mathbf {Proj}} S) | _ {p ^ {- 1} (U)} = \ operatorname {Proj} (S (U)).}

Это определение предполагает, что мы строим , сначала определяя схемы для каждого открытого аффинного

U , полагая

{\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {Proj}} S}

{\ displaystyle Y_ {U}}

{\ displaystyle Y_ {U} = \ operatorname {Proj} S (U),}

и отображает , а затем показывает, что эти данные могут быть склеены вместе «над» каждым пересечением двух открытых аффинных элементов

U и V, чтобы сформировать схему Y, которую мы определяем как . Нетрудно показать, что определение каждого как отображения, соответствующего включению в S ( U ) в качестве элементов нулевой степени, дает необходимую согласованность , в то время как согласованность самих себя следует из предположения квазикогерентности относительно S .

{\ displaystyle p_ {U} \ двоеточие Y_ {U} \ to U}

{\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {Proj}} S}

{\ displaystyle p_ {U}}

{\ displaystyle O_ {X} (U)}

{\ displaystyle p_ {U}}

{\ displaystyle Y_ {U}}

Скручивающаяся связка

Если S обладает дополнительным свойством, которое является

когерентным пучком и локально порождает S над (то есть, когда мы переходим к стержню пучка S в точке x из X , которая является градуированной алгеброй, элементы нулевой степени которой образуют кольцо тогда элементы первой степени образуют конечно порожденный модуль над ним, а также порождают стебель как алгебру над ним), тогда мы можем провести дальнейшую конструкцию. Над каждым открытым аффинным U , Proj S ( U ) несет обратимый пучок O (1) , и только что сделанное нами предположение гарантирует, что эти пучки можно склеить, как указано выше; результирующий пучок на также обозначается O (1) и служит почти той же цели, что и скручивающий пучок на Proj кольца.

{\ displaystyle S_ {1}}

{\ displaystyle S_ {0}}

{\ displaystyle O_ {X, x}}

{\ displaystyle O_ {X, x}}

{\ displaystyle Y_ {U}}

{\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {Proj}} S}

{\ displaystyle \ operatorname {\ mathbf {Proj}} S}

Проект квазикогерентного пучка

Пусть - квазикогерентный пучок на схеме . Пучок симметрических алгебр естественно является квазикогерентным пучком градуированных -модулей, порожденных элементами степени 1. Полученная схема обозначается через . Если имеет конечный тип, то его канонический морфизм является

проективным морфизмом .

{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ mathbf {Sym} _ {O_ {X}} ({\ mathcal {E}})}

{\ displaystyle O_ {X}}

{\ Displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}})}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}

{\ displaystyle p: \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}}) \ to X}

Для любого слой вышеупомянутого морфизма над является проективным пространством, ассоциированным с двойственным к векторному пространству над . ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}} (х))}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (x): = {\ mathcal {E}} \ otimes _ {O_ {X}} k (x)}$ ${\ Displaystyle к (х)}$

Если - квазикогерентный пучок градуированных -модулей, порожденный и такой, который имеет конечный тип, то является замкнутой подсхемой в и тогда проективен над . Фактически, каждая замкнутая подсхема проективного имеет такой вид. ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle O_ {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Proj} {\ mathcal {S}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {S}} _ {1})}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}})}$

Связки проективных пространств

Как частный случай, когда он локально лишен ранга , мы получаем

проективное расслоение над относительной размерностью . Действительно, если мы возьмем открытое покрытие из X открытым affines таких , что при ограничении на каждый из них свободен над А , то

{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}

{\ displaystyle n + 1}

{\ Displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}})}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle n}

{\ Displaystyle U = \ OperatorName {Spec} (A)}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}

{\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}}) | _ {p ^ {- 1} (U)} \ simeq \ operatorname {Proj} A [x_ {0}, \ dots, x_ {n }] = \ mathbb {P} _ {A} ^ {n} = \ mathbb {P} _ {U} ^ {n},}

и, следовательно, является проективным пространственным расслоением. Многие семейства многообразий могут быть построены как подсхемы этих проективных расслоений, такие как семейство эллиптических кривых Вейерштрасса. Подробнее читайте в основной статье. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ({\ mathcal {E}})}$

Пример глобального проекта

Global proj можно использовать для создания карандашей Лефшеца . Например, пусть и возьмем однородные многочлены степени k. Мы можем рассматривать идеальный пучок из и построить глобальную PROJ этого фактор пучка алгебр . Это можно явно описать как проективный морфизм . ${\ Displaystyle X = \ mathbb {P} _ {s, t} ^ {1}}$ ${\ displaystyle f, g \ in \ mathbb {C} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} = (SF + TG)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] / {\ mathcal {I}}}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Proj} (\ mathbb {C} [s, t] [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] / (sf + tg)) \ to \ mathbb {P} _ {s , t} ^ {1}}$

Languages

In other projects