Якобианский идеал - Jacobian ideal

В математике Якобиан идеально подходит или градиент идеальным является идеальным , порожденный якобиану функции или функции зародыша . Пусть обозначим кольцо из гладких функций в переменных и функции в кольце. Якобиан идеал IS ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle J_ {f}: = \ left \ langle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}} } \ right \ rangle.}$

Отношение к теории деформации

В теории деформаций деформации гиперповерхности, задаваемые полиномом , классифицируются кольцом${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f) + J_ {f}}}}$

Это показано с помощью карты Кодаира – Спенсера .

Отношение к теории Ходжа

В теории Ходжи, есть объекты , называемые реальной структуру Ходжи , которые являются данными о реальном векторном пространстве и увеличение фильтрации из удовлетворяющего списка структур совместимости. Для гладкого проективного многообразия существует каноническая структура Ходжа. ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle F ^ {\ bullet}}$${\ Displaystyle H _ {\ mathbb {C}} = H _ {\ mathbb {R}} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$

Утверждение для гиперповерхностей степени d

В частном случае , определяемом однородным многочленом степени, эта структура Ходжа может быть полностью понята из идеала Якоби. Для его оцененных частей это показано на карте${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle f \ in \ Gamma (\ mathbb {P} ^ {n + 1}, {\ mathcal {O}} (d))}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} [Z_ {0}, \ ldots, Z_ {n}] ^ {(d (n-1 + p) - (n + 2))} \ to {\ frac {F ^ { p} H ^ {n} (X, \ mathbb {C})} {F ^ {p + 1} H ^ {n} (X, \ mathbb {C})}}}$

которое сюръективно на примитивных когомологиях, обозначается и имеет ядро . Обратите внимание, что примитивные классы когомологий - это классы, из которых не происходят , а это просто класс Лефшеца . ${\ displaystyle {\ text {Prim}} ^ {p, np} (X)}$${\ displaystyle J_ {f}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {п + 1}}$${\ displaystyle [L] ^ {n} = c_ {1} ({\ mathcal {O}} (1)) ^ {d}}$

Эскиз доказательства

Приведение к карте остатков

Ибо есть связанная короткая точная последовательность комплексов${\ Displaystyle X \ подмножество \ mathbb {P} ^ {n + 1}}$

${\ displaystyle 0 \ to \ Omega _ {\ mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ {\ bullet} \ to \ Omega _ {\ mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ {\ bullet} (\ log X) \ xrightarrow {res} \ Omega _ {X} ^ {\ bullet} [- 1] \ to 0}$

где средний комплекс - это комплекс пучков логарифмических форм, а правое отображение - это отображение остатка . С этим связана длинная точная последовательность в когомологиях. Из теоремы Лефшеца о гиперплоскости есть только одна интересная группа когомологий , а именно . Из длинной точной последовательности этой короткой точной последовательности получается индуцированная карта остатков${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H ^ {n} (X; \ mathbb {C}) = \ mathbb {H} ^ {n} (X; \ Omega _ {X} ^ {\ bullet})}$

${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1}, \ Omega _ {\ mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ {\ bullet}) \ в \ mathbb {H} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1}, \ Omega _ {X} ^ {\ bullet} [- 1])}$

где правая часть равна , что изоморфно . Также существует изоморфизм${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n} (\ mathbb {P} ^ {n + 1}, \ Omega _ {X} ^ {\ bullet})}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n} (X; \ Omega _ {X} ^ {\ bullet})}$

${\ displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1} -X) \ cong \ mathbb {H} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n +1}; \ Omega _ {\ mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ {\ bullet})}$

Через эти изоморфизмы возникает индуцированное отображение вычетов

${\ displaystyle res: H_ {dR} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1} -X) \ to H ^ {n} (X; \ mathbb {C})}$

которая инъективна и сюръективна на примитивных когомологиях. Также существует разложение Ходжа

${\ displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1} -X) \ cong \ bigoplus _ {p + q = n + 1} H ^ {q} (\ Omega _ {\ mathbb {P}} ^ {p} (\ log X))}$

и . ${\ displaystyle H ^ {q} (\ Omega _ {\ mathbb {P}} ^ {p} (\ log X)) \ cong {\ text {Prim}} ^ {p-1, q} (X)}$

Вычисление группы когомологий де Рама

Оказалось, что группа когомологий гораздо более податливая и имеет явное описание в терминах многочленов. Часть натянутый на мероморфных формах , имеющих полюса порядка , которые surjects на часть . Это происходит из-за изоморфизма редукции${\ displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1} -X)}$${\ displaystyle F ^ {p}}$${\ Displaystyle \ Leq п-р + 1}$${\ displaystyle F ^ {p}}$${\ displaystyle {\ text {Prim}} ^ {n} (X)}$

${\ displaystyle F ^ {p + 1} H_ {dR} ^ {n + 1} (\ mathbb {P} ^ {n + 1} -X; \ mathbb {C}) \ cong {\ frac {\ Gamma ( \ Omega _ {\ mathbb {P} ^ {n + 1}} (n-p + 1))} {d \ Gamma (\ Omega _ {\ mathbb {P} ^ {n + 1}} (np)) }}}$

Используя каноническую -форму${\ Displaystyle (п + 1)}$

${\ displaystyle \ Omega = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} Z_ {j} dZ_ {0} \ wedge \ cdots \ wedge {\ hat {dZ_ {j}}} \ клин \ cdots \ клин dZ_ {n + 1}}$

на котором обозначает удаление из индекса, эти мероморфные дифференциальные формы похожи${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {п + 1}}$${\ displaystyle {\ hat {dZ_ {j}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {A} {е ^ {n-p + 1}}} \ Omega}$

где

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {deg}} (A) & = (n-p + 1) \ cdot {\ text {deg}} (f) - {\ text {deg}} (\ Омега) \\ & = (n-p + 1) \ cdot d- (n + 2) \\ & = d (n-p + 1) - (n + 2) \ end {выровнено}}}$

Наконец, оказывается, что ядро ^{леммы 8.11} состоит из всех многочленов вида где . Обратите внимание на тождество Эйлера${\ displaystyle A '+ fB}$${\ displaystyle A '\ in J_ {f}}$

${\ displaystyle f = \ sum Z_ {j} {\ frac {\ partial f} {\ partial Z_ {j}}}}$

показывает . ${\ displaystyle f \ in J_ {f}}$

Ссылки

Смотрите также

• Число Милнора
• Структура Ходжа
• Карта Кодаира – Спенсер
• Связь Гаусса – Манина
• Разворачивается

Эта статья по абстрактной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . v т е