Крышка (топология) - Cover (topology)
В математике , в частности , топологии , А крышка из множества представляет собой совокупность множеств, объединение которых включает в себя в качестве подмножества . Формально, если это индексированное семейство множеств, то это покрытие, если
Покрытие в топологии
Крышки обычно используются в контексте топологии . Если множество X является топологическим пространством , то крышка С из X представляет собой набор подмножеств U & alpha ; ( & alpha ; ∈ ) из X , объединение которых есть все пространство Х . В этом случае мы говорим , что C покрывает X , или , что множества U а покрытие X . Кроме того , если Y представляет собой подмножество X , то крышка из Y представляет собой набор подмножеств X , объединение которых содержит Y , т.е., С является покрытием Y , если
Пусть C будет покрытие топологического пространства X . Подпокрытие из C представляет собой подмножество C , которые все еще покрывает X .
Мы говорим, что C - открытое покрытие, если каждый из его членов являетсяоткрытым множеством(т.е. каждыйU α содержится вT, гдеT- топология наX).
Покрытие X называется локально конечным, если каждая точка X имеет окрестность, которая пересекает только конечное число множеств в покрытии. Формально C = { U α } локально конечно, если для любого существует некоторая окрестность N ( x ) точки x такая, что множество
конечно. Покрытие X называется точечным конечным, если каждая точка X содержится только в конечном числе множеств покрытия. Покрытие точечно конечно, если оно локально конечно, хотя обратное не обязательно верно.
Уточнение
Уточнение крышки топологического пространства является новым покрытием из таких , что каждое множество содержится в некотором множестве в . Формально,
- является уточнением, если для всех существует такое, что
Другими словами, есть уточнение карта , удовлетворяющая для каждого используется эта карта, например, в Чеха из .
Любое подкрытие - это тоже изящество, но не всегда верно обратное. Дополнительное покрытие сделано из наборов, которые есть в обложке, но без некоторых из них; тогда как уточнение производится из любых наборов, которые являются подмножествами наборов в обложке.
Отношение уточнения является предварительным порядком на множестве покрытий .
Вообще говоря, уточнение данной структуры - это еще одно, что в некотором смысле содержит ее. Примеры можно найти при разбиении интервала (одно из уточнений бытия ) с учетом топологий ( стандартная топология в евклидовом пространстве является уточнением тривиальной топологии ). При разбиении симплициальных комплексов (первое барицентрическое подразделение симплициального комплекса является уточнением) ситуация немного иная: каждый симплекс в более тонком комплексе является гранью некоторого симплекса в более грубом, и оба имеют равные базовые многогранники.
Еще одно понятие изысканности - это звездная утонченность .
Подкрытие
Простой способ получить дополнительную обложку - опустить наборы, содержащиеся в другом наборе обложки. Рассмотрим конкретно открытые крышки. Позвольте быть топологической базой и быть открытой крышкой First Take Then является уточнением . Затем для каждого мы выбираем содержащий (требующий аксиомы выбора). Тогда является подпокрытием. Следовательно, мощность подпокрытия открытого покрытия может быть такой же малой, как мощность любого топологического базиса. Следовательно, в частности, из второй счетности следует пространство Линделёфа .
Компактность
Язык покрытий часто используется для определения нескольких топологических свойств, связанных с компактностью . Топологическое пространство X называется
- Компактный
- если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие (или, что то же самое, каждое открытое покрытие имеет конечное измельчение);
- Линделёф
- если каждое открытое покрытие имеет счетное дополнительное покрытие (или, что то же самое, каждое открытое покрытие имеет счетное уточнение);
- Метакомпакт
- если каждое открытое покрытие имеет точечно-конечное открытое измельчение;
- Паракомпакт
- если каждое открытое покрытие допускает локально конечное открытое измельчение.
Дополнительные варианты см. В статьях выше.
Размер покрытия
Говорят, что топологическое пространство X имеет размерность покрытия n, если каждое открытое покрытие X имеет точечно-конечное открытое уточнение, такое, что никакая точка X не входит в более чем n + 1 множества в уточнении, и если n - минимальное значение для чего это верно. Если такого минимального n не существует, пространство называется бесконечной покрывающей размерностью.
Смотрите также
- Атлас (топология)
- Покрытие пространства
- Разделение набора
- Установить проблему с крышкой
- Звездная доработка
- Топология Гротендика
Примечания
использованная литература
- Введение в топологию, второе издание , Теодор В. Гамлен и Роберт Эверист Грин. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
- Общая топология , Джон Л. Келли . D. Van Nostrand Company, Inc., Принстон, Нью-Джерси. 1955 г.
внешние ссылки
- "Покрытие (множества)" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]