Группа Пикард - Picard group

В математике , то группа Пикара из кольчатого пространства X , обозначается Pic ( X ), является группа изоморфизма классов обратимых пучков (или линейных расслоений ) на X , причем групповая операцией является тензорным произведением . Эта конструкция является глобальной версией конструкции группы классов дивизоров или группы классов идеалов и широко используется в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий .

С другой стороны , группа Пикара может быть определена как пучок когомологий группы

${\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*}). \,}$

Для интегральных схем группа Пикара изоморфна группе классов дивизоров Картье . Для комплексных многообразий последовательность экспоненциальных пучков дает основную информацию о группе Пикара.

Название дано в честь теорий Эмиля Пикара , в частности дивизоров на алгебраических поверхностях .

Примеры

• Группа Пикара спектра в виде дедекиндовым области является идеальным классом группы .
• Обратимые пучки на проективном пространстве Р ^п ( к ) для к полю , являются крутильными пучками таким образом , группа Пикара Р ^п ( K ) изоморфна Z .${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (м), \,}$
• Группа Пикара аффинной линии с двумя происхождения над к изоморфна Z .
• Группа Пикара -мерного комплексного аффинного пространства : действительно, экспоненциальная последовательность дает следующую длинную точную последовательность в когомологиях${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Pic} (\ mathbb {C} ^ {n}) = 0}$

${\ displaystyle \ dots \ to H ^ {1} (\ mathbb {C} ^ {n}, {\ underline {\ mathbb {Z}}}) \ to H ^ {1} (\ mathbb {C} ^ { n}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}}) \ to H ^ {1} (\ mathbb {C} ^ {n}, {\ mathcal {O}} _ { \ mathbb {C} ^ {n}} ^ {\ star}) \ to H ^ {2} (\ mathbb {C} ^ {n}, {\ underline {\ mathbb {Z}}}) \ to \ cdots }$

а поскольку мы имеем, что потому что стягиваемо, то и мы можем применить изоморфизм Дольбо для вычисления по лемме Дольбо-Гротендика . ${\ displaystyle H ^ {k} (\ mathbb {C} ^ {n}, {\ underline {\ mathbb {Z}}}) \ simeq H _ {\ scriptscriptstyle {\ rm {sing}}} ^ {k} ( \ mathbb {C} ^ {n}; \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H ^ {1} (\ mathbb {C} ^ {n}, {\ underline {\ mathbb {Z}}}) \ simeq H ^ {2} (\ mathbb {C} ^ {n}, { \ underline {\ mathbb {Z}}}) \ simeq 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ displaystyle H ^ {1} (\ mathbb {C} ^ {n}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}}) \ simeq H ^ {1} (\ mathbb { C} ^ {n}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}} ^ {\ star})}$${\ displaystyle H ^ {1} (\ mathbb {C} ^ {n}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}}) \ simeq H ^ {1} (\ mathbb { C} ^ {n}, \ Omega _ {\ mathbb {C} ^ {n}} ^ {0}) \ simeq H _ {\ bar {\ partial}} ^ {0,1} (\ mathbb {C} ^ {n}) = 0}$

Схема Пикара

Построение схемной структуры на ( представимой функторной версии) группы Пикара, схемы Пикара , является важным шагом в алгебраической геометрии, в частности в теории двойственности абелевых многообразий . Он был построен Гротендиком и 1961/62 , а также описан Мамфордом (1966) и Клейманом (2005) . Многообразие Пикара двойственно многообразию Альбанеза классической алгебраической геометрии. Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFGrothendieck1961 / 62 ( справка )

В случаях наиболее важное значение для классической алгебраической геометрии, для невырожденной полного многообразия V над полем из характеристического нуля, компонента связности единицы в схеме Пикара является абелево многообразие записывается Pic ⁰ ( V ). В частном случае , когда V представляет собой кривую, эта нейтральная компонента является якобиевым многообразием из V . Однако для полей положительной характеристики Игуса построил пример гладкой проективной поверхности S с неприведенным Pic ⁰ ( S ) и, следовательно, не абелевым многообразием .

Фактор Pic ( V ) / Pic ⁰ ( V ) является конечно-порожденная абелева группа обозначается NS ( V ), в группе Нерона-Севери из V . Другими словами, группа Пикара укладывается в точную последовательность

${\ displaystyle 1 \ to \ mathrm {Pic} ^ {0} (V) \ to \ mathrm {Pic} (V) \ to \ mathrm {NS} (V) \ to 1. \,}$

Тот факт , что ранг NS ( V ) конечен является Франческо Севери «ы теоремы основания ; ранг является число Пикара из V , часто обозначается ρ ( V ). Геометрически NS ( V ) описывает классы алгебраической эквивалентности дивизоров на V ; то есть, используя более сильное, нелинейное отношение эквивалентности вместо линейной эквивалентности делителей , классификация становится доступной для дискретных инвариантов. Алгебраическая эквивалентность тесно связана с числовой эквивалентностью , по сути топологической классификацией по числам пересечений .

Относительная схема Пикара

Пусть f : X → S - морфизм схем. Относительно Пикард функтор (или относительно схемы Пикара , если она схема) определяется по формуле: для любого S -схема T ,

${\ displaystyle \ operatorname {Pic} _ {X / S} (T) = \ operatorname {Pic} (X_ {T}) / f_ {T} ^ {*} (\ operatorname {Pic} (T))}$

где - изменение базы f, а f _T ^* - откат. ${\ displaystyle f_ {T}: X_ {T} \ to T}$

Мы говорим , л в имеет степень г , если для любой геометрической точки сек → T откат из L вдоль х имеет степень г в качестве обратимого пучка над волокном х _лет (когда степень определяются для группы Пикара х _лет .) ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} _ {X / S} (T)}$${\ displaystyle s ^ {*} L}$

Смотрите также

• Когомологии пучков
• Сорт чау
• Делитель Картье
• Голоморфное линейное расслоение
• Группа идеального класса
• Классная группа Аракелова
• Групповой стек
• Категория Пикар

Примечания

использованная литература

• Гротендик, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Теории существования , Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, разоблачения 223-240, нет. 7, Обсуждение нет. 232, стр. 143–161
• Гротендик, А. (1962), В.И. Les schémas de Picard. Propriétés générales , Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, разоблачения 223-240, нет. 7, Обсуждение нет. 236, стр. 221–243.
• Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157 , OCLC  13348052
• Игуса, Джун-Ичи (1955), "О некоторых проблемах абстрактной алгебраической геометрии", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 41 (11): 964–967, Bibcode : 1955PNAS ... 41..964I , doi : 10.1073 / pnas.41.11.964 , PMC  534315 , PMID  16589782
• Клейман, Стивен Л. (2005), "Схема Пикара", Фундаментальная алгебраическая геометрия , Math. Surveys Monogr., 123 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 235–321, arXiv : math / 0504020 , Bibcode : 2005math ...... 4020K , MR  2223410
• Мамфорд, Дэвид (1966), Лекции о кривых на алгебраической поверхности , Annals of Mathematics Studies, 59 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6, Руководство по ремонту  0209285 , OCLC  171541070
• Мамфорд, Дэвид (1970), абелевы разновидности , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC  138290