Местное поле - Local field

В математике , А поле К называется локальным полем , если это полное по отношению к топологии , индуцированной дискретного нормирования V , и если его поле вычетов к конечна. Эквивалентно, локальное поле - это локально компактное топологическое поле относительно недискретной топологии . Для такого поля оценка, определенная в нем, может быть любого из двух типов, каждый из которых соответствует одному из двух основных типов локальных полей: тех, в которых оценка является архимедовой, и тех, в которых нет. В первом случае локальное поле называется архимедовым локальным полем , во втором - неархимедовым локальным полем . Локальные поля естественным образом возникают в теории чисел как пополнения глобальных полей .

Хотя архимедовы локальные поля были достаточно хорошо известны в математике по крайней мере 250 лет, первые примеры неархимедовых локальных полей, поля p-адических чисел для положительного простого целого числа p , были введены Куртом Хенселем в конце книги. 19 век.

Каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих:

Архимедовы локальные поля ( характерно ноль): действительные числа Р , а также комплексные числа C .
Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: конечные расширения по р -адические числа Q _р (где р представляет собой любой простое число ).
Неархимедовы локальные поля характеристики р (для р любого данного простого числа): поле формальных рядов Лорана F _д (( T )) над конечным полем Р _д , где д представляет собой мощность на р .

В частности, что важно для теории чисел, классы локальных полей проявляются как пополнения полей алгебраических чисел относительно их дискретного значения, соответствующего одному из их максимальных идеалов. В исследовательских работах по современной теории чисел часто рассматривается более общее понятие, требующее только того, чтобы поле вычетов было совершенным с положительной характеристикой, не обязательно конечным. В этой статье используется первое определение.

Индуцированное абсолютное значение

Учитывая такое абсолютное значение на поле К , следующая топология может быть определена на K : для положительного вещественного числа м , определяет подмножество B _м из K пути

{\ displaystyle B_ {m}: = \ {a \ in K: | a | \ leq m \}.}

Тогда б + B _м составляют окрестности базис Ь в К .

И наоборот, топологическое поле с недискретной локально компактной топологией имеет абсолютное значение, определяющее его топологию. Он может быть построен с использованием меры Хаара из аддитивной группы поля.

Основные характеристики неархимедовых локальных полей

Для неархимедова локального поля F (с абсолютным значением, обозначенным | · |) важны следующие объекты:

его кольцо целых чисел , которое представляет собой кольцо дискретного нормирования , является закрытым единичным шаром из F , и является компактным ; ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} = \ {а \ in F: | а | \ leq 1 \}}$
эти блоки в своем кольце целых чисел , которые образуют группу , и представляют собой единичный шар из F ; ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ times} = \ {a \ in F: | a | = 1 \}}$
единственный ненулевой первичный идеал в его кольце целых чисел, которое является его открытым единичным шаром ; ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ Displaystyle \ {а \ в F: | а | <1 \}}$
генератор из называется униформизирующим из ; ${\ displaystyle \ varpi}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle F}$
его поле вычетов, которое конечно (так как оно компактно и дискретно ). ${\ Displaystyle к = {\ mathcal {O}} / {\ mathfrak {m}}}$

Каждый ненулевой элемент a из F может быть записан как a = ϖ ⁿ u, где u - единица, а n - единственное целое число. Нормализованное нормирование на F является Сюръекцией v : F → Z ∪ {∞} определяется путем отправки ненулевого к уникальному целому числу п таким , что = π ^п у с U блока, и путем посылки от 0 до ∞. Если q - мощность поля вычетов, то абсолютное значение на F, индуцированное его структурой как локального поля, определяется как:

{\ displaystyle | a | = q ^ {- v (a)}.}

Эквивалентное и очень важное определение неархимедова локального поля состоит в том, что это поле является полным относительно дискретной оценки и чье поле вычетов конечно.

Примеры

Р -адических чисел : кольцо целых чисел Q _р является кольцом р -адических чисел Z _р . Его простой идеал р Z _р и его поле вычетов Z / р Z . Каждый ненулевой элемент Q _p может быть записан как u p ^n, где u - единица в Z _p, а n - целое число, тогда v ( u p ⁿ ) = n для нормализованной оценки.
Формальный ряд Лорана над конечным полем : кольцо целых чисел F _q (( T )) - это кольцо формальных степенных рядов F _q [[ T ]]. Его максимальный идеал - это ( T ) (т. Е. Степенной ряд, постоянный член которого равен нулю), а его поле вычетов - F _q . Его нормализованная оценка связана с (нижней) степенью формального ряда Лорана следующим образом:
${\ displaystyle v \ left (\ sum _ {i = -m} ^ {\ infty} a_ {i} T ^ {i} \ right) = - m}$ (где a _{- m} не равно нулю).
Формальный ряд Лорана по комплексным числам не является локальным полем. Например, его поле вычетов C [[ T ]] / ( T ) = C , что не является конечным.

Высшие группы юнитов

П - ^я высшей единичной группы из неархимедового локального поля F является

{\ Displaystyle U ^ {(n)} = 1 + {\ mathfrak {m}} ^ {n} = \ left \ {u \ in {\ mathcal {O}} ^ {\ times}: u \ Equiv 1 \ , (\ mathrm {mod} \, {\ mathfrak {m}} ^ {n}) \ right \}}

при n ≥ 1. Группа U ⁽¹⁾ называется группой главных единиц , а любой ее элемент - главной единицей . Полная группа единиц обозначается U ⁽⁰⁾ . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ times}}$

Высшие группы единиц образуют убывающую фильтрацию группы единиц.

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ times} \ supseteq U ^ {(1)} \ supseteq U ^ {(2)} \ supseteq \ cdots}

чьи частные даны

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ times} / U ^ {(n)} \ cong \ left ({\ mathcal {O}} / {\ mathfrak {m}} ^ {n} \ right) ^ {\ times} {\ text {и}} \, U ^ {(n)} / U ^ {(n + 1)} \ приблизительно {\ mathcal {O}} / {\ mathfrak {m}}}

для n ≥ 1. (Здесь " " означает неканонический изоморфизм.) ${\ Displaystyle \ приблизительно}$

Структура группы единиц

Мультипликативная группа ненулевых элементов неархимедова локального поля F изоморфна

{\ Displaystyle F ^ {\ times} \ cong (\ varpi) \ times \ mu _ {q-1} \ times U ^ {(1)}}

где q - порядок поля вычетов, а μ _{q −1} - группа ( q −1) -й корней из единицы (в F ). Его структура как абелевой группы зависит от ее характеристики :

Если F имеет положительную характеристику p , то

{\ Displaystyle F ^ {\ times} \ cong \ mathbf {Z} \ oplus \ mathbf {Z} / {(q-1)} \ oplus \ mathbf {Z} _ {p} ^ {\ mathbf {N}} }

где N обозначает натуральные числа ;

Если F имеет нулевую характеристику (т. Е. Является конечным расширением Q _p степени d ), то

{\ Displaystyle F ^ {\ times} \ cong \ mathbf {Z} \ oplus \ mathbf {Z} / (q-1) \ oplus \ mathbf {Z} / p ^ {a} \ oplus \ mathbf {Z} _ {p} ^ {d}}

где a ≥ 0 определено так, что группа корней p -степени из единицы в F равна .

{\ displaystyle \ mu _ {p ^ {a}}}

Теория локальных полей

Эта теория включает изучение типов локальных полей, расширения локальных полей с использованием леммы Гензеля , расширения Галуа локальных полей, фильтрации групп ветвления групп Галуа локальных полей, поведения отображения нормы на локальных полях, локального гомоморфизма взаимности и теорема существования в локальной теории полей классов , локальное соответствие Ленглендса , теория Ходжа-Тейта (также называемая p-адической теорией Ходжа ), явные формулы для символа Гильберта в локальной теории полей классов, см., например,

Многомерные локальные поля

Локальное поле иногда называют одномерным локальным полем .

Неархимедово локальное поле можно рассматривать как поле частных пополнения локального кольца одномерной арифметической схемы ранга 1 в его неособой точке.

Для неотрицательного целого числа п , п - мерное локальное поле представляет собой полное дискретно нормированное поле , поле вычетов которого является ( п - 1) -мерное локальное поле. В зависимости от определения локального поля нульмерное локальное поле тогда является либо конечным полем (с определением, используемым в этой статье), либо совершенным полем с положительной характеристикой.

С геометрической точки зрения n -мерные локальные поля с последним конечным полем вычетов естественным образом связаны с полным флагом подсхем n- мерной арифметической схемы.

Смотрите также

Цитаты

использованная литература

Cassels, JWS ; Фрёлих, Альбрехт , ред. (1967), алгебраическая теория чисел , Academic Press , Zbl 0153.07403
Фесенко, Иван Б .; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966
Милн, Джеймс С. (2020), Алгебраическая теория чисел (изд. 3,08).
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . 322 . Перевод Шаппахера, Норберта. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Вейль, Андре (1995), Основная теория чисел , Классика математики, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN 3-540-58655-5

внешние ссылки

"Локальное поле" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects