Система соседства - Neighbourhood system
В топологии и смежных областях математики , в системе окрестностей , полная система окрестностей , или окрестности фильтра для точки является совокупностью всех окрестностей в точке
Определения
An открытая окрестность подмножествав видетопологического пространствалюбоеоткрытоемножествотакоечто окрестности винявляетсялюбоеподмножествотакоечтосодержитнекоторуюоткрытую окрестность; явно, это означаетчтоокрестностьвтом и только если существует некоторое открытое множествотакихчто система окрестностей для любого непустого множестваявляетсяфильтрназывается окрестность фильтр дляфильтра окрестностей для точкитакого жекак окрестности фильтродноэлементного набора
Важно отметить, что «район» не обязательно должен быть открытым множеством; те окрестности, которые также являются открытыми множествами, известны как «открытые окрестности». Точно так же те окрестности, которые также являются замкнутыми множествами, известны какзакрытые микрорайоны . Есть много других типов окрестностей, которые используются в топологии и связанных областях, таких какфункциональный анализ. Семейство всех окрестностей, обладающих определенным «полезным» свойством, часто образует основу соседства, хотя во многих случаях эти районы не обязательно являются открытыми.
Основа
А основание соседства илиместная основа (илибаза соседства илилокальная база ) для точкиявляетсябазойфильтра соседнего фильтра; это означает, что это подмножество
Эквивалентно, является локальным базисом в том и только в том случае, если фильтр окрестности может быть восстановлен в том смысле, что выполняется следующее равенство:
Суббазис
А подбазис окрестности в- это семействоподмножеств,каждое из которых содержиттакие, что совокупность всех возможных конечных пересечений элементов изобразует базис окрестности в
Примеры
- В любом топологическом пространстве система окрестностей точки также является базисом окрестностей точки.
- Множество всех открытых окрестностей в точке образует базис соседства в этой точке.
- Для пространства с
В слабой топологии на пространстве мер на пространстве база окрестностей вокруг задается формулой
Характеристики
В полунормированном пространстве , то есть векторном пространстве с топологией, индуцированной полунормой , все системы окрестностей могут быть построены путем перевода системы окрестностей в начало координат,
Это связано с тем, что по предположению сложение векторов отдельно непрерывно в индуцированной топологии. Следовательно, топология определяется системой его окрестностей в начале координат. В более общем смысле это остается верным, когда пространство является топологической группой или топология определяется псевдометрикой .
Смотрите также
- База (топология) - набор открытых множеств, достаточный для определения топологии.
- Фильтр (математика) - в математике специальное подмножество частично упорядоченного множества.
- Фильтры в топологии - использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
- Окрестности (математика) - открытый набор в топологическом пространстве, который содержит заданную точку или подмножество.
- Подбаза -
использованная литература
Библиография
- Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
- Бурбаки, Николас (1989) [1967]. Общая топология 2: главы 5–10 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . 4 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 .
- Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 .
- Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .