Сохраняющая меру динамическая система - Measure-preserving dynamical system

В математике , А сохраняющее меру динамическая система является объектом исследования в абстрактной формулировке динамических систем и эргодической теории , в частности. Сохраняющие меру системы подчиняются теореме Пуанкаре о возвращении и являются частным случаем консервативных систем . Они обеспечивают формальную математическую основу для широкого круга физических систем и, в частности, многих систем из классической механики (в частности, большинства недиссипативных систем), а также систем, находящихся в термодинамическом равновесии .

Определение

Сохраняющая меру динамическая система определяется как вероятностное пространство и сохраняющее меру преобразование на нем. Более подробно это система

${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu, T)}$

со следующей структурой:

• ${\ displaystyle X}$ это набор,
• ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$является σ-алгеброй над ,${\ displaystyle X}$
• ${\ displaystyle \ mu: {\ mathcal {B}} \ rightarrow [0,1]}$является вероятностной мерой , так что , и ,${\ Displaystyle \ му (Х) = 1}$${\ Displaystyle \ му (\ varnothing) = 0}$
• ${\ displaystyle T: X \ rightarrow X}$является измеримым преобразованием , которое сохраняет меру , то есть .${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ forall A \ in {\ mathcal {B}} \; \; \ mu (T ^ {- 1} (A)) = \ mu (A)}$

Обсуждение

Может возникнуть вопрос, почему преобразование, сохраняющее меру, определяется в терминах обратного, а не прямого преобразования . Это можно понять довольно просто. Рассмотрим отображение из множества мощности : ${\ Displaystyle \ му (Т ^ {- 1} (А)) = \ му (А)}$${\ Displaystyle \ му (Т (А)) = \ му (А)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}: от P (X) \ до P (X)}$

Рассмотрим теперь частный случай отображений, которые сохраняют пересечения, объединения и дополнения (так что это отображение борелевских множеств ), а также отправляет в (потому что мы хотим, чтобы оно было консервативным ). Каждое такое консервативное, сохраняющее Бореля отображение может быть задано некоторым сюръективным отображением путем записи . Конечно, можно было и определить , но этого недостаточно, чтобы указать все такие возможные карты . То есть консервативные, сохраняющие Бореля карты , вообще говоря, не могут быть записаны в виде Очевидно! можно сказать; рассмотрим, например, отображение единичного интервала, заданное этим, - это отображение Бернулли . ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T: X \ to X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (А) = Т ^ {- 1} (А)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (А) = Т (А)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}} (A) = T (A).}$${\ Displaystyle T: [0,1) \ к [0,1)}$${\ Displaystyle х \ mapsto 2x \ mod 1;}$

Обратите внимание, что это имеет форму pushforward , тогда как обычно называется откатом . Почти все свойства и поведение динамических систем определены в терминах продвижения вперед. Например, оператор переноса определяется в терминах продвижения карты преобразования ; теперь меру можно понимать как инвариантную меру ; это просто собственный вектор Фробениуса – Перрона передаточного оператора (напомним, что собственный вектор FP - это наибольший собственный вектор матрицы; в этом случае это собственный вектор, который имеет собственное значение: инвариантная мера). ${\ Displaystyle \ му (Т ^ {- 1} (А))}$${\ Displaystyle \ му (Т (А))}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mu}$

Интересны две проблемы классификации. Один, обсуждаемый ниже, исправляет и задает вопросы о классах изоморфизма преобразования преобразования . Другой, обсуждается в операторе переноса , исправление и , и спрашивает о картах , которые являются мера типа. Подобны мере, поскольку они сохраняют борелевские свойства, но больше не являются инвариантными; они, как правило, диссипативны и, таким образом, дают представление о диссипативных системах и пути к равновесию. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}})}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mu}$

С точки зрения физики динамическая система, сохраняющая меру, часто описывает физическую систему, которая находится в равновесии, например, термодинамическое равновесие . Кто-то может спросить: как это случилось? Часто ответ заключается в перемешивании, перемешивании , турбулентности , термализации или других подобных процессах. Если карта трансформации описывает это перемешивание, перемешивание и т. Д., То система - это все, что остается после того, как все переходные режимы исчезли. Переходные режимы - это как раз те собственные векторы передаточного оператора, у которых собственное значение меньше единицы; инвариантная мера - это та мода, которая не затухает. Скорость затухания переходных режимов определяется (логарифмом) их собственными значениями; собственное значение соответствует бесконечному периоду полураспада. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu, T)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu, T)}$${\ displaystyle \ mu}$

Неформальный пример

Микроканоническое ансамбль из физики представляет собой неофициальный пример. Рассмотрим, например, жидкость, газ или плазму в коробке шириной, длиной и высотой, состоящей из атомов. Одиночный атом в этом ящике может быть где угодно и иметь произвольную скорость; он был бы представлен единственной точкой в . Данный набор атомов тогда был бы единственной точкой где-нибудь в пространстве . «Ансамбль» - это совокупность всех таких точек, то есть совокупность всех таких возможных ящиков (из которых являются бесчисленным бесконечным числом). Этот ансамбль всевозможных ящиков - пространство наверху. ${\ displaystyle w \ times l \ times h,}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle w \ times l \ times h \ times \ mathbb {R} ^ {3}.}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle (w \ times l \ times h) ^ {N} \ times \ mathbb {R} ^ {3N}.}$${\ displaystyle X}$

В случае идеального газа мера дается распределением Максвелла – Больцмана . Это мера произведения в том смысле , что если вероятность того, что атом имеет положение и скорость , то для атомов вероятность является их произведением . Считается, что эта мера применяется к ансамблю. Так, например, в одном из возможных ящиков ансамбля все атомы находятся на одной стороне ящика. Вероятность этого можно вычислить в мере Максвелла – Больцмана. Он будет невероятно крошечным по порядку Из всех возможных коробок в ансамбле это смехотворно малая доля. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle p_ {i} (x, y, z, v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) \, d ^ {3} x \, d ^ {3} p}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle x, y, z, v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (2 ^ {- 3N} \ right).}$

Единственная причина, по которой это «неформальный пример», состоит в том, что записать функцию перехода сложно, и, даже если она записана, трудно выполнять с ней практические вычисления. Трудности усугубляются, если взаимодействие не является взаимодействием типа бильярдного шара идеального газа, а является взаимодействием Ван-дер-Ваальса или каким-либо другим взаимодействием, подходящим для жидкости или плазмы; в таких случаях инвариантная мера больше не является распределением Максвелла – Больцмана. Искусство физики находит разумные приближения. ${\ displaystyle T}$

Эта система действительно демонстрирует одну ключевую идею из классификации динамических систем, сохраняющих меру: два ансамбля, имеющие разные температуры, не эквивалентны. Энтропия для данного канонического ансамбля зависит от его температуры; Что касается физических систем, то «очевидно», что, когда различаются температуры, различаются и системы. В общем случае это верно: системы с разной энтропией не изоморфны.

Примеры

Пример сохраняющего ( меру Лебега ) отображения: T  : [0,1) → [0,1),${\ Displaystyle х \ mapsto 2x \ mod 1.}$

В отличие от неформального примера, приведенного выше, приведенные ниже примеры достаточно четко определены и понятны, чтобы можно было выполнять явные формальные вычисления.

• μ может быть нормированной угловой мерой dθ / 2π на единичной окружности , а T - вращением. См. Теорему о равнораспределении ;
• схема Бернулли ;
• интервал преобразования обмена ;
• с определением подходящей меры - поддвиг конечного типа ;
• базовой поток из случайной динамической системы ;
• поток гамильтонова векторного поля на касательном расслоении замкнутого связного гладкого многообразия сохраняет меру (с использованием меры, индуцированной на борелевских множествах симплектической формой объема ) по теореме Лиувилля (гамильтониан) ;
• для некоторых карт и процессов Маркова , то Крылова-Боголюбова теорема устанавливает существование подходящей меры для формирования сохраняющего меру динамической системы.

Обобщение на группы и моноиды

Определение динамической системы, сохраняющей меру, может быть обобщено на случай, когда T не является единичным преобразованием, которое повторяется для получения динамики системы, а вместо этого является моноидом (или даже группой , и в этом случае мы имеем действие группы на заданном вероятностном пространстве) преобразований Т _с  : Х → Х параметризованных ев ∈ Z (или R , или N ∪ {0}, или [, + ∞)), где каждое преобразование 0 T _сек удовлетворяет те же требования, что и Т выше. В частности, преобразования подчиняются правилам:

• ${\ displaystyle T_ {0} = \ mathrm {id} _ {X}: X \ rightarrow X}$, тождественная функция на X ;
• ${\ displaystyle T_ {s} \ circ T_ {t} = T_ {t + s}}$, когда все термины четко определены ;
• ${\ displaystyle T_ {s} ^ {- 1} = T _ {- s}}$, когда все термины четко определены.

Ранее, более простой случай вписывается в эти рамки, определяя T _s = T ^s для S ∈ N .

Гомоморфизмы

Понятия гомоморфизма и изоморфизма могут быть определены.

Рассмотрим две динамические системы и . Тогда отображение ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu, T)}$${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}}, \ nu, S)}$

${\ displaystyle \ varphi: X \ to Y}$

является гомоморфизмом динамических систем, если он удовлетворяет следующим трем свойствам:

1. Карта является измеримой .${\ displaystyle \ varphi \}$
2. Для каждого есть .${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle \ му (\ varphi ^ {- 1} B) = \ nu (B)}$
3. Для -почти все , один есть .${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle \ varphi (Tx) = S (\ varphi x)}$

Система затем называют фактором из . ${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}}, \ nu, S)}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu, T)}$

Отображение является изоморфизмом динамических систем, если, кроме того, существует другое отображение ${\ Displaystyle \ varphi \;}$

${\ displaystyle \ psi: Y \ to X}$

это также гомоморфизм, удовлетворяющий

1. для -почти все , есть ;${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle х = \ psi (\ varphi x)}$
2. для -почти все , есть .${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle y \ in Y}$${\ displaystyle y = \ varphi (\ psi y)}$

Следовательно, можно сформировать категорию динамических систем и их гомоморфизмов.

Общие точки

Точка x ∈ X называется точкой общего положения, если орбита точки распределена равномерно по мере.

Символические имена и генераторы

Рассмотрим динамическую систему , и пусть Q = { Q ₁ , ..., Q _к } быть разбиение из X в K измеримых попарно непересекающихся частей. Для точки x ∈ X ясно, что x принадлежит только одному из Q _i . Точно так же итерированная точка T ⁿ x также может принадлежать только одной из частей. Символическое имя из х , с относительно разбиения Q , представляет собой последовательность целых чисел { _п }, что ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, T, \ mu)}$

${\ displaystyle T ^ {n} x \ in Q_ {a_ {n}}.}$

Набор символических имен по отношению к разбиению называется символической динамикой динамической системы. Разбиение Q называется порождающим или порождающим, если μ-почти каждая точка x имеет уникальное символическое имя.

Операции над разделами

Для разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } и динамической системы определим T -тягивание Q как ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, T, \ mu)}$

${\ displaystyle T ^ {- 1} Q = \ {T ^ {- 1} Q_ {1}, \ ldots, T ^ {- 1} Q_ {k} \}.}$

Далее, учитывая два разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } и R = { R ₁ , ..., R _m }, определим их уточнение как

${\ displaystyle Q \ vee R = \ {Q_ {i} \ cap R_ {j} \ mid i = 1, \ ldots, k, \ j = 1, \ ldots, m, \ \ mu (Q_ {i} \ cap R_ {j})> 0 \}.}$

С помощью этих двух конструкций уточнение повторного отката определяется как

${\ displaystyle {\ begin {align} \ bigvee _ {n = 0} ^ {N} T ^ {- n} Q & = \ {Q_ {i_ {0}} \ cap T ^ {- 1} Q_ {i_ { 1}} \ cap \ cdots \ cap T ^ {- N} Q_ {i_ {N}} \\ & {} \ qquad {\ mbox {where}} i _ {\ ell} = 1, \ ldots, k, \ \ ell = 0, \ ldots, N, \ \\ & {} \ qquad \ qquad \ mu \ left (Q_ {i_ {0}} \ cap T ^ {- 1} Q_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap T ^ {- N} Q_ {i_ {N}} \ right)> 0 \} \\\ конец {выровнено}}}$

который играет решающую роль в построении теоретико-меры энтропии динамической системы.

Теоретико-мерная энтропия

Энтропии разбиения определяется как ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$

${\ Displaystyle H ({\ mathcal {Q}}) = - \ sum _ {Q \ in {\ mathcal {Q}}} \ mu (Q) \ log \ mu (Q).}$

Теоретико-мерная энтропия динамической системы относительно разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } тогда определяется как ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, T, \ mu)}$

${\ displaystyle h _ {\ mu} (T, {\ mathcal {Q}}) = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {N}} H \ left (\ bigvee _ {n = 0} ^ {N} T ^ {- n} {\ mathcal {Q}} \ right).}$

Наконец, метрика Колмогорова – Синая или теоретико-мерная энтропия динамической системы определяется как ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, T, \ mu)}$

${\ displaystyle h _ {\ mu} (T) = \ sup _ {Q} h _ {\ mu} (T, Q).}$

где супремум берется по всем конечным измеримым разбиениям. Теорема Якова Синая в 1959 году показывает, что супремум фактически получается на разбиениях, являющихся образующими. Так, например, энтропия процесса Бернулли равна log 2, поскольку почти каждое действительное число имеет уникальное двоичное расширение . То есть можно разделить единичный интервал на интервалы [0, 1/2) и [1/2, 1]. Каждое действительное число x либо меньше 1/2, либо нет; и то же самое относится к дробной части 2 ⁿ x .

Если пространство X компактно и наделено топологией или является метрическим пространством, то топологическая энтропия также может быть определена.

Классификационные и антиклассификационные теоремы

Одним из основных направлений исследования систем, сохраняющих меру, является их классификация в соответствии с их свойствами. То есть, пусть будет пространство меры, и пусть будет множество всех систем, сохраняющих меру . Изоморфизм двух преобразований определяет отношение эквивалентности. Затем цель состоит в том, чтобы описать это отношение . Получен ряд классификационных теорем; но, что довольно интересно, также был обнаружен ряд антиклассификационных теорем. Антиклассификационные теоремы утверждают, что существует более чем счетное число классов изоморфизмов и что счетного количества информации недостаточно для классификации изоморфизмов. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu, T)}$${\ Displaystyle S \ sim T}$${\ displaystyle S, T}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ subset U \ times U.}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

Первая антиклассификационная теорема, принадлежащая Хьорту, утверждает, что если наделено слабой топологией , то множество не является борелевским множеством . Есть множество других результатов антиклассификации. Например, заменяя изоморфизм эквивалентностью Какутани , можно показать, что существует несчетное количество не-Какутани эквивалентных эргодических сохраняющих меру преобразований каждого энтропийного типа. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

Они противоречат классификационным теоремам. Это включает:

• Классифицированы эргодические преобразования с чистым точечным спектром, сохраняющие меру.
• Сдвиги Бернулли классифицируются по их метрической энтропии. Подробнее см. Теорию Орнштейна .

Смотрите также

• Теорема Крылова – Боголюбова о существовании инвариантных мер.
• Теорема Пуанкаре о возвращении

использованная литература

дальнейшее чтение

• Майкл С. Кин, «Эргодическая теория и подсдвиги конечного типа», (1991), появившаяся в главе 2 в « Эргодической теории, символьной динамике и гиперболических пространствах» , Тим Бедфорд, Майкл Кин и серия Кэролайн, ред. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд (1991). ISBN  0-19-853390-X (Содержит пояснительное введение, упражнения и обширные ссылки.)
• Лай-Санг Янг , «Энтропия в динамических системах» ( pdf ; ps ), появившаяся в главе 16 в книге «Энтропия» , Андреас Гревен, Герхард Келлер и Джеральд Варнеке, ред. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси (2003). ISBN  0-691-11338-6
• T. Schürmann и I. Hoffmann, Энтропия странных биллиардов внутри n-симплексов. J. Phys. A 28 (17), page 5033, 1995. PDF-документ (дает более сложный пример динамической системы, сохраняющей меру).