Инвариантная мера - Invariant measure

В математике , инвариантная мера является мерой , которая сохраняется при некоторой функции . Эргодическая теория - это изучение инвариантных мер в динамических системах . Теорема Крылова – Боголюбова доказывает существование инвариантных мер при определенных условиях на рассматриваемую функцию и пространство.

Определение

Пусть ( X , Σ) - измеримое пространство и пусть f - измеримая функция из X в себя. Мера μ на ( X , Σ) называется инвариантной относительно f, если для любого измеримого множества A в Σ

С точки зрения продвижения вперед это означает, что f ∗ ( μ ) =  μ .

Набор мер (обычно вероятностных ) на X , инвариантных относительно f , иногда обозначается M f ( X ). Коллекция эргодических мер , Е F ( X ), является подмножеством M F ( X ). Более того, любая выпуклая комбинация двух инвариантных мер также инвариантна, поэтому M f ( X ) - выпуклое множество ; E f ( X ) состоит в точности из крайних точек M f ( X ).

В случае динамической системы ( X ,  T ,  φ ), где ( X , Σ) - измеримое пространство, как и раньше, T - моноид, а φ  :  T  ×  X  →  X - отображение потока, мера μ на ( X , Σ) называется быть инвариантной мерой , если она является инвариантной мерой для каждой карты φ т  :  X  →  X . Явно μ инвариантна тогда и только тогда, когда

Другими словами, μ является инвариантной мерой для последовательности случайных величин ( Z t ) t ≥0 (возможно, цепи Маркова или решения стохастического дифференциального уравнения ), если всякий раз, когда начальное условие Z 0 распределено согласно μ , так и Z t для любого более позднего времени t .

Когда динамическую систему можно описать оператором переноса , то инвариантная мера является собственным вектором оператора, соответствующим собственному значению 1, которое является наибольшим собственным значением, заданным теоремой Фробениуса-Перрона .

Примеры

При отображении сжатия гиперболический угол остается неизменным, поскольку он перемещает гиперболический сектор (фиолетовый) в одну из тех же областей. Синие и зеленые прямоугольники также сохраняют ту же площадь.
Тогда одномерная мера Лебега λ является инвариантной мерой для T a .
  • В более общем смысле, на n -мерном евклидовом пространстве R n с его обычной борелевской σ-алгеброй n -мерная мера Лебега λ n является инвариантной мерой для любой изометрии евклидова пространства, т. Е. Отображения T  : R n → R n, которое может быть написано как
для некоторой ортогональной матрицы размера n × n A ∈ O ( n ) и вектора b ∈ R n .
  • Инвариантная мера в первом примере единственна с точностью до тривиальной перенормировки с постоянным множителем. Это не обязательно так: рассмотрим набор, состоящий всего из двух точек, и карту идентичности, которая оставляет каждую точку фиксированной. Тогда любая вероятностная мера инвариантна. Обратите внимание, что S тривиально разлагается на T -инвариантные компоненты {A} и {B} .
  • Мера площади на евклидовой плоскости инвариантна относительно специальной линейной группы SL (2, R ) вещественных матриц 2 × 2 с определителем 1.
  • Каждая локально компактная группа имеет меру Хаара , инвариантную относительно действия группы.
  • Угол является мерой инвариантны относительно евклидовой или аффинной движения. Евклидово движение - это вращение, а мерой - круговой угол . Движения аффинных могут быть либо сдвиг отображения или отображение отжимает . Мера, инвариантная относительно сдвигов, - это разность наклонов , а мера, инвариантная относительно отображения сжатия, - это гиперболический угол .

Смотрите также

Рекомендации

  • Джон фон Нейман (1999) Инвариантные меры , Американское математическое общество ISBN  978-0-8218-0912-9