Символическая динамика - Symbolic dynamics
В математике , символическая динамика является практикой моделирования топологической или гладкой динамической системы с дискретным пространством , состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует состоянию системы, с динамикой (эволюция) , данными оператором сдвига . Формально марковское разбиение используется для обеспечения конечного покрытия гладкой системы; каждый набор покрытий связан с одним символом, и последовательности символов возникают в результате того, что траектория системы перемещается от одного набора покрытий к другому.
История
Идея восходит к работе Жака Адамара 1898 года о геодезических на поверхностях отрицательной кривизны . Он был применен Марстоном Морсом в 1921 году для построения непериодической рекуррентной геодезической. Соответствующие работы были выполнены Эмилем Артином в 1924 году (для системы, которая теперь называется бильярдом Артина ), Пеккой Мирбергом , Полом Кобе , Якобом Нильсеном , Г.А. Хедлундом .
Первый формальный подход был разработан Морсом и Хедлундом в их статье 1938 года. Джордж Биркгоф , Норман Левинсон и пара Мэри Картрайт и Дж. Литтлвуд применили аналогичные методы к качественному анализу неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка .
Клод Шеннон использовал символические последовательности и сдвиги конечного типа в своей статье 1948 года «Математическая теория коммуникации, которая породила теорию информации» .
В конце 1960 - х годов метод символической динамики была разработана для гиперболических автоморфизмов Рой Адлер и Бенджамин Вайсс и диффеоморфизмов по Я. Синая , которые использовали символическую модель для построения меры Гиббса . В начале 1970-х годов теория была расширена на потоки Аносова Мариной Ратнер и на диффеоморфизмы и потоки аксиомы А Руфусом Боуэном .
Захватывающее применение методов символической динамики Порядок Шарковский о периодических орбитах в виде непрерывного отображения отрезка в себя (1964).
Примеры
Такие понятия, как гетероклинические орбиты и гомоклинические орбиты, имеют особенно простое представление в символической динамике.
Маршрут
Маршрут точки относительно перегородки представляет собой последовательность символов. Он описывает динамику точки.
Приложения
Символическая динамика возникла как метод изучения общих динамических систем; теперь его методы и идеи нашли существенное применение в хранении и передаче данных , линейной алгебре , движении планет и многих других областях. Отличительной чертой символической динамики является то, что время измеряется дискретными интервалами. Таким образом, в каждый временной интервал система находится в определенном состоянии . Каждое состояние связано с символом, а эволюция системы описывается бесконечной последовательностью символов, представленных фактически в виде строк . Если состояния системы не являются дискретными по своей сути, тогда вектор состояния должен быть дискретизирован, чтобы получить грубое описание системы.
Смотрите также
- Сохраняющая меру динамическая система
- Комбинаторика и динамические системы
- Сдвинуть пробел
- Сдвиг конечного типа
- Сложная динамика
- Арифметическая динамика
использованная литература
дальнейшее чтение
- Хао, Байлинь (1989). Элементарная символическая динамика и хаос в диссипативных системах . World Scientific . ISBN 9971-5-0682-3. Архивировано из оригинала на 2009-12-05 . Проверено 2 декабря 2009 .
- Брюс Китченс, Символическая динамика. Одностороннее, двустороннее и счетное состояние Марковские сдвиги . Universitext, Springer-Verlag , Berlin, 1998. x + 252 стр. ISBN 3-540-62738-3 MR 1484730
- Линд, Дуглас; Маркус, Брайан (1995). Введение в символическую динамику и кодирование . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-55124-2. Руководство по ремонту 1369092 . Zbl 1106.37301 .
- Г. А. Хедлунд, Эндоморфизмы и автоморфизмы динамической системы сдвига . Математика. Теория систем, Vol. 3, № 4 (1969) 320–3751
- Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- «Символическая динамика» . Scholarpedia .
внешние ссылки
- ChaosBook.org Глава "Графики переходов"