Символическая динамика - Symbolic dynamics

В математике , символическая динамика является практикой моделирования топологической или гладкой динамической системы с дискретным пространством , состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует состоянию системы, с динамикой (эволюция) , данными оператором сдвига . Формально марковское разбиение используется для обеспечения конечного покрытия гладкой системы; каждый набор покрытий связан с одним символом, и последовательности символов возникают в результате того, что траектория системы перемещается от одного набора покрытий к другому.

История

Идея восходит к работе Жака Адамара 1898 года о геодезических на поверхностях отрицательной кривизны . Он был применен Марстоном Морсом в 1921 году для построения непериодической рекуррентной геодезической. Соответствующие работы были выполнены Эмилем Артином в 1924 году (для системы, которая теперь называется бильярдом Артина ), Пеккой Мирбергом , Полом Кобе , Якобом Нильсеном , Г.А. Хедлундом .

Первый формальный подход был разработан Морсом и Хедлундом в их статье 1938 года. Джордж Биркгоф , Норман Левинсон и пара Мэри Картрайт и Дж. Литтлвуд применили аналогичные методы к качественному анализу неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка .

Клод Шеннон использовал символические последовательности и сдвиги конечного типа в своей статье 1948 года «Математическая теория коммуникации, которая породила теорию информации» .

В конце 1960 - х годов метод символической динамики была разработана для гиперболических автоморфизмов Рой Адлер и Бенджамин Вайсс и диффеоморфизмов по Я. Синая , которые использовали символическую модель для построения меры Гиббса . В начале 1970-х годов теория была расширена на потоки Аносова Мариной Ратнер и на диффеоморфизмы и потоки аксиомы А Руфусом Боуэном .

Захватывающее применение методов символической динамики Порядок Шарковский о периодических орбитах в виде непрерывного отображения отрезка в себя (1964).

Примеры

Такие понятия, как гетероклинические орбиты и гомоклинические орбиты, имеют особенно простое представление в символической динамике.

Маршрут

Маршрут точки относительно перегородки представляет собой последовательность символов. Он описывает динамику точки.

Приложения

Символическая динамика возникла как метод изучения общих динамических систем; теперь его методы и идеи нашли существенное применение в хранении и передаче данных , линейной алгебре , движении планет и многих других областях. Отличительной чертой символической динамики является то, что время измеряется дискретными интервалами. Таким образом, в каждый временной интервал система находится в определенном состоянии . Каждое состояние связано с символом, а эволюция системы описывается бесконечной последовательностью символов, представленных фактически в виде строк . Если состояния системы не являются дискретными по своей сути, тогда вектор состояния должен быть дискретизирован, чтобы получить грубое описание системы.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки