Программа Langlands - Langlands program

В математике программа Ленглендса представляет собой сеть далеко идущих и влиятельных предположений о связи между теорией чисел и геометрией . Предложенный Робертом Ленглендсом  ( 1967 , 1970 ), он пытается связать группы Галуа в алгебраической теории чисел с автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп над локальными полями и аделями . Программа Ленглендса, широко рассматриваемая как самый крупный проект в современных математических исследованиях, была описана Эдвардом Френкелем как «своего рода великая объединенная теория математики».

Программа Ленглендса состоит из очень сложных теоретических абстракций, которые могут быть трудными для понимания даже специалистам-математикам. Таким образом , упрощенно, основополагающий результат и основная лемма проекта, устанавливает прямую связь между обобщенным фундаментальным представлением о наличии конечного поля с его расширением группы , к автоморфным формам , в которых она инвариантна . Это достигается путем абстракции к интеграции более высоких измерений , путем эквивалентности определенной аналитической группе как абсолютному расширению ее алгебры . Следовательно, это позволяет аналитическое функциональное построение мощных инвариантности преобразований для числового поля к своей собственной алгебраической структуре .

Интуитивно говоря, смысл такой конструкции довольно тонок; все же очень мощный в своих конкретных решениях и обобщениях. Следствие для доказательства существования таких теоретических объектов подразумевает аналитический метод построения категориального отображения фундаментальных структур практически для любого числового поля . Как аналог возможного точного распределения простых чисел , программа Ленглендса предоставляет потенциальный общий инструмент для разрешения инвариантности в обобщенных алгебраических структурах . Это, в свою очередь, позволяет провести несколько унифицированный анализ арифметических объектов через их автоморфные функции . Проще говоря, философия Ленглендса позволяет провести общий анализ структурирования абстракций чисел. Естественно, это описание является одновременно редукцией и чрезмерным обобщением собственных теорем программы. Но эти математические аналоги составляют основу его концептуализации.

Фон

В очень широком контексте программа основывалась на существующих идеях: философии куспид-форм, сформулированной несколькими годами ранее Хариш-Чандрой и Гельфандом  ( 1963 ), работе и подходе Хариш-Чандры к полупростым группам Ли и в технических терминах. формула следа от Сельберга и других.

Что изначально было очень новым в работе Ленглендса, помимо технической глубины, так это предложенная прямая связь с теорией чисел вместе с предполагаемой богатой организационной структурой (так называемая функториальность ).

Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли , должно быть сделано для всех. Следовательно, как только роль некоторых низкоразмерных групп Ли, таких как GL (2), в теории модулярных форм была признана, а задним числом GL (1) в теории полей классов , был открыт путь, по крайней мере, для предположений о GL ( n ) для общего n > 2.

Параболическая идея вышла из остриев на модулярных кривых , но и имела смысл видимый в спектральной теории , как « дискретный спектр », контрастирует с « непрерывным спектром » из рядов Эйзенштейн . Это становится гораздо более техническим для больших групп Ли, потому что параболические подгруппы более многочисленны.

Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по природе и основанных, среди прочего, на разложении Леви , но эта область была и остается очень сложной.

А на стороне модулярных форм, были примеры , такие как гильбертовых модулярных форм , модулярных форм Зигеля и тета-рядов .

Объекты

Есть ряд связанных гипотез Ленглендса. Существует множество различных групп по множеству различных областей, для которых они могут быть сформулированы, и для каждой области существует несколько различных версий гипотез. Некоторые версии гипотез Ленглендса расплывчаты или зависят от таких объектов, как группы Ленглендса , существование которых не доказано, или от L -группы, имеющей несколько неэквивалентных определений. Более того, гипотезы Ленглендса эволюционировали с тех пор, как Ленглендс впервые высказал их в 1967 году.

Существуют разные типы объектов, для которых могут быть сформулированы гипотезы Ленглендса:

• Представления редуктивных групп над локальными полями (с различными подслучаями, соответствующими архимедовым локальным полям, p -адическим локальным полям и дополнениям функциональных полей)
• Автоморфные формы на редуктивных группах над глобальными полями (с подслучаями, соответствующими числовым полям или функциональным полям).
• Конечные поля. Первоначально Ленглендс не рассматривал этот случай, но его гипотезы имеют ему аналоги.
• Более общие поля, такие как функциональные поля над комплексными числами.

Домыслы

Есть несколько различных способов сформулировать гипотезы Ленглендса, которые тесно связаны, но не очевидно эквивалентны.

Взаимность

Исходный пункт программы можно рассматривать как Артин «s закон взаимности , обобщающий квадратное взаимность . Закон взаимности Артина применяется к расширению Галуа поля алгебраических чисел , группа Галуа которого абелева ; он связывает L -функции с одномерными представлениями этой группы Галуа и утверждает, что эти L -функции идентичны некоторым L -рядам Дирихле или более общим рядам (то есть некоторым аналогам дзета-функции Римана ), построенным на основе Гекке. персонажей . Точное соответствие между этими различными видами L- функций составляет закон взаимности Артина.

Для неабелевых групп Галуа и их многомерных представлений можно по-прежнему определять L -функции естественным образом: L -функции Артина .

Замысел Ленглендса состоял в том, чтобы найти надлежащее обобщение L- функций Дирихле , которое позволило бы сформулировать утверждение Артина в этом более общем контексте. Гекке ранее связывал L -функции Дирихле с автоморфными формами ( голоморфными функциями на верхней полуплоскости ( комплексных чисел ), которые удовлетворяют определенным функциональным уравнениям). Затем Ленглендс обобщил их на автоморфные каспидальные представления , которые являются некоторыми бесконечномерными неприводимыми представлениями общей линейной группы GL ( n ) над кольцом аделей группы ( рациональных чисел ). (Это кольцо одновременно отслеживает все пополнения см. P -адических чисел .) ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$

Ленглендс прикрепил автоморфные L -функции к этим автоморфным представлениям и предположил, что каждая L- функция Артина, возникающая из конечномерного представления группы Галуа числового поля , равна таковой, возникающей из автоморфного каспидального представления. Это известно как его « гипотеза взаимности ».

Грубо говоря, гипотеза взаимности устанавливает соответствие между автоморфными представлениями редуктивной группы и гомоморфизмами группы Ленглендса в L -группу . Есть множество вариантов этого, отчасти потому, что определения группы Ленглендса и L -группы не фиксированы.

Ожидается, что над локальными полями это даст параметризацию L -пакетов допустимых неприводимых представлений редуктивной группы над локальным полем. Например, по действительным числам это соответствие является классификацией Ленглендса представлений реальных редуктивных групп. По глобальным полям он должен давать параметризацию автоморфных форм.

Функциональность

Гипотеза функториальности утверждает, что подходящий гомоморфизм L -групп должен давать соответствие между автоморфными формами (в глобальном случае) или представлениями (в локальном случае). Грубо говоря, гипотеза взаимности Ленглендса является частным случаем гипотезы функториальности, когда одна из редуктивных групп тривиальна.

Обобщенная функториальность

Ленглендс обобщил идею функториальности: вместо использования общей линейной группы GL ( n ) можно использовать другие связные редуктивные группы . Кроме того, для такой группы G Ленглендс строит двойственную группу Ленглендса ^L G , а затем для каждого автоморфного каспидального представления группы G и любого конечномерного представления группы ^L G он определяет L -функцию. Одна из его гипотез утверждает, что эти L- функции удовлетворяют определенному функциональному уравнению, обобщающему уравнения других известных L- функций.

Затем он формулирует очень общий «принцип функциональности». Учитывая две редуктивные группы и (хорошо управляемый) морфизм между их соответствующими L -группами, эта гипотеза связывает их автоморфные представления способом, совместимым с их L- функциями. Из этой гипотезы функториальности вытекают все остальные выдвинутые до сих пор гипотезы. Это по природе конструкции индуцированного представления - то, что в более традиционной теории автоморфных форм называлось « поднятием », известно в частных случаях, и поэтому является ковариантным (тогда как ограниченное представление контравариантно). Попытки указать прямую конструкцию дали лишь некоторые условные результаты.

Все эти гипотезы могут быть сформулированы для более общих полей вместо : полей алгебраических чисел (оригинал и наиболее важный случай), локальных полей и полей функций (конечных расширений в F _р ( т ) , где р является простое и F _р ( t ) - поле рациональных функций над конечным полем из p элементов). ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Геометрические домыслы

Так называемая геометрическая программа Ленглендса, предложенная Жераром Ломоном после идей Владимира Дринфельда , возникает из геометрической переформулировки обычной программы Ленглендса, которая пытается связать больше, чем просто неприводимые представления. В простых случаях, оно относится л -адические представления этальной фундаментальной группы в качестве алгебраической кривой на объекты производной категории из л -адических пучков на модулей стека из векторных расслоений над кривой.

Текущий статус

Гипотезы Ленглендса для GL (1, K ) вытекают из теории полей классов (и по существу эквивалентны ей) .

Ленглендс доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями ( действительными числами ) и дал классификацию Ленглендса их неприводимых представлений. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Классификацию Люстига неприводимых представлений групп лиева типа над конечными полями можно рассматривать как аналог гипотез Ленглендса для конечных полей.

Доказательство Эндрю Уайлса модулярности полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами можно рассматривать как пример гипотезы взаимности Ленглендса, поскольку основная идея состоит в том, чтобы связать представления Галуа, возникающие из эллиптических кривых, с модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих различных направлениях, полная гипотеза Ленглендса для остается недоказанной. ${\ displaystyle {\ text {GL}} (2, \ mathbb {Q})}$

В 1998 году Лаффорг доказал теорему Лафорг по проверке гипотезы Ленглендсом для общей линейной группы GL ( п , К ) для функциональных полей K . Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал справедливость GL (2, K ) в 1980-х годах.

В 2018 году Винсент Лафорг установил глобальное соответствие Ленглендса (направление от автоморфных форм к представлениям Галуа) для связных редуктивных групп над глобальными функциональными полями.

Гипотезы местного Ленглендса

Филип Куцко  ( 1980 ) доказал локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL (2, K ) над локальными полями.

Жерар Ломон , Майкл Рапопорт и Ульрих Стулер  ( 1 993 ) доказали локальный Ленглендс гипотезу для общей линейной группы GL ( п , К ) для положительной характеристики локальных полого K . В их доказательстве используется глобальный аргумент.

Ричард Тейлор и Майкл Харрис  ( 2001 ) доказали локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL ( n , K ) для локальных полей K характеристики 0 . Гай Хенниар  ( 2000 ) дал еще одно доказательство. Оба доказательства используют глобальный аргумент. Питер Шольце  ( 2013 ) дал еще одно доказательство.

Основная лемма

В 2008 году Нго Бо Чау доказал « фундаментальную лемму », которая была первоначально выдвинута Ленглендсом и Шелстадом в 1983 году и требовалась для доказательства некоторых важных гипотез в программе Ленглендса.

Подразумеваемое

Для непрофессионала или даже математика-неспециалиста абстракции в программе Ленглендса могут быть непонятными. Однако есть некоторые сильные и ясные следствия для доказательства или опровержения фундаментальных гипотез Ленглендса.

Поскольку программа устанавливает мощную связь между аналитической теорией чисел и обобщением алгебраической геометрии , идея «функториальностью» между абстрактными алгебраическими представлениями о числовых полей и их аналитических простых конструкциями, результаты в мощных функциональных инструментах , что позволяет точные количественную оценку простых распределений . Это, в свою очередь, дает возможность классификации диофантовых уравнений и дальнейших абстракций алгебраических функций .

Более того, если существует взаимность таких обобщенных алгебр для предполагаемых объектов и если можно показать , что их аналитические функции хорошо определены, некоторые очень глубокие результаты в математике могут оказаться в пределах досягаемости доказательства; такие как рациональные решения эллиптических кривых , топологическое построение алгебраических многообразий и знаменитая гипотеза Римана . Каждый из них, относятся к инвариантности в структурах числовых полей.

Кроме того, были установлены некоторые связи между программой Ленглендса и М-теорией , поскольку их дуальности связаны нетривиальным образом, обеспечивая потенциальные точные решения в теории суперструн (как это было аналогично в теории групп через чудовищный самогон ).

Проще говоря, проект Ленглендса подразумевает такую ​​глубокую и мощную структуру решений, которая затрагивает самые фундаментальные области математики. Через обобщения высокого порядка в точных решениях алгебраических уравнений с аналитическими функциями; как встроенные в геометрические формы. Это позволяет объединить многие отдаленные математические области; в формализм мощных аналитических методов .

Смотрите также

Соответствие Жаке – Ленглендса

Примечания

использованная литература

• Артур, Джеймс (2003), «Принцип функториальности», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 40 (1): 39–53, DOI : 10.1090 / S0273-0979-02-00963-1 , ISSN  0002- 9904 , MR  1943132
• Bernstein, J .; Гелбарт, С. (2003), Введение в программу Ленглендса , Бостон: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-3211-2
• Gelbart, Стивен (1984), "Элементарное введение в программу Ленглендса", Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 10 (2): 177-219, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1984-15237-6 , ISSN  0002-9904 , MR  0733692
• Френкель, Эдвард (2005). «Лекции по программе Ленглендса и теории конформного поля». arXiv : hep-th / 0512172 .
• Гельфанд, И.М. (1963), "Автоморфные функции и теория представлений" , Proc. Междунар. Congr. Математики (Стокгольм, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, стр. 74–85, MR  0175997
• Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2001), Геометрия и когомологии некоторых простых разновидностей Шимуры , Анналы математических исследований, 151 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09090-0, MR  1876802
• Хенниарт, Гай (2000), "Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL ( n ) sur un corps p -adique", Inventiones Mathematicae , 139 (2): 439–455, Bibcode : 2000InMat.139..439H , doi : 10.1007 / s002220050012 , ISSN  0020-9910 , MR  1738446 , S2CID  120799103
• Kutzko, Philip (1980), "О Ленглендса гипотеза для Gl ₂ локального поля", Анналы математики , 112 (2): 381-412, DOI : 10,2307 / 1971151 , JSTOR  1971151
• Ленглендс, Роберт (1967), письмо профессору Вейлю
• Langlands, RP (1970), "Проблемы теории автоморфных форм" , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Lecture Notes in Math, 170 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007 / BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5, Руководство по ремонту  0302614
• Laumon, G .; Рапопорт, М .; Stühler, У. (1993), " D -эллиптических шкивы и соответствие Ленглендса", Inventiones Mathematicae , 113 (2): 217-338, Bibcode : 1993InMat.113..217L , DOI : 10.1007 / BF01244308 , ISSN  0020-9910 , Руководство по ремонту  1228127 , S2CID  124557672
• Шольце, Питер (2013), «Локальное соответствие Ленглендса для GL ( n ) над p -адическими полями», Inventiones Mathematicae , 192 (3): 663–715, arXiv : 1010.1540 , Bibcode : 2013InMat.192..663S , doi : 10.1007 / s00222-012-0420-5 , S2CID  15124490

00

внешние ссылки

• Работа Роберта Ленглендса