Теория характера - Character theory

В математике , более конкретно , в теории групп , то символ из группы представления является функцией на группе , которая сопоставляет каждую группу элемент , след соответствующей матрицы. Персонаж несет в себе важную информацию о репрезентации в более сжатой форме. Георг Фробениус первоначально разработал теорию представлений конечных групп, полностью основанную на характерах и без какой-либо явной матричной реализации самих представлений. Это возможно потому, что комплексное представление конечной группы определяется (с точностью до изоморфизма) ее характером. Ситуация с представлениями над полем положительной характеристики , так называемыми «модульными представлениями», более деликатна, но Ричард Брауэр разработал мощную теорию характеров и в этом случае. Многие глубокие теоремы о строении конечных групп используют характеры модулярных представлений .

Приложения

Символы неприводимых представлений кодируют многие важные свойства группы и, таким образом, могут использоваться для изучения ее структуры. Теория характеров - важный инструмент классификации конечных простых групп . Почти половина доказательства теоремы Фейта – Томпсона включает сложные вычисления с символьными значениями. Более простые, но все же важные результаты, использующие теорию характеров, включают теорему Бернсайда (с тех пор было найдено чисто теоретико-групповое доказательство теоремы Бернсайда, но это доказательство появилось более чем через полвека после первоначального доказательства Бернсайда) и теорему Ричарда Брауэра и Мичио Судзуки утверждает, что конечная простая группа не может иметь обобщенную группу кватернионов в качестве своей силовской $2$ -подгруппы .

Определения

Пусть $V$ быть конечномерен векторное пространство над полем $F$ , и пусть $ρ : G \to GL (V)$ является представлением группы $G$ на $V$ . Характер из $р$ функция $х р : G \to F$ задается

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (g) = \ operatorname {Tr} (\ rho (g))}

где $Tr$ - след .

Символ $х ρ$ называется неприводимым или просто , если $ρ$ является неприводимым представлением . Степень характера $χ$ является измерение из $р$ ; в нулевой характеристике это равно значению $χ (1)$ . Характер степени 1 называется линейным . Когда $G$ конечна и $F$ имеет нулевую характеристику, ядро характера $χ ρ$ является нормальной подгруппой:

{\ Displaystyle \ ker \ chi _ {\ rho}: = \ left \ lbrace g \ in G \ mid \ chi _ {\ rho} (g) = \ chi _ {\ rho} (1) \ right \ rbrace, }

что и есть ядро представления $ρ$ . Однако в общем случае этот характер не является гомоморфизмом групп.

Характеристики

Символы являются функциями класса , то есть каждый из них принимает постоянное значение в данном классе сопряженности . Точнее, множество неприводимых характеров данной группы $G$ в поле $K$ образует базис $K$ -векторного пространства всех функций класса $G \to K$ .
Изоморфные представления имеют одинаковые характеры. Над алгебраически замкнутым полем характеристики $0$ полупростые представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же характер.
Если представление является прямой суммой подпредставлений, то соответствующий символ является суммой символов этих подпредставлений.
Если характер конечной группы $G$ ограничен подгруппа $H$ , то результат является также характером $Н$ .
Каждое значение символа $χ (г)$ представляет собой сумма $п$ $т$ -е корней из единицы , где $п$ есть степень (то есть, размерность ассоциированного векторного пространства) представление с характером $х$ и $т$ есть порядок из $г$ . В частности, когда $F = C$ , каждое такое значение символа является алгебраическим целым числом .
Если $F = C$ и $х$ неприводимо, то

{\ displaystyle [G: C_ {G} (x)] {\ frac {\ chi (x)} {\ chi (1)}}}

является целым алгебраическим для всех

х

в

G

.

Если $F$ является алгебраически замкнутым и $голец (F)$ не делит порядок $G$ , то число неприводимых характеров группы $G$ равно числу классов сопряженных с $G$ . Более того, в этом случае степени неприводимых характеров являются делителями порядка $G$ (и они даже делят $[G : Z (G)],$ если $F = C$ ).

Арифметические свойства

Пусть ρ и а быть представления $G$ . Тогда имеют место следующие тождества:

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho \ oplus \ sigma} = \ chi _ {\ rho} + \ chi _ {\ sigma}}

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho \ otimes \ sigma} = \ chi _ {\ rho} \ cdot \ chi _ {\ sigma}}

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho ^ {*}} = {\ overline {\ chi _ {\ rho}}}}

{\ displaystyle \ chi _ {{\ scriptscriptstyle {\ rm {{Alt} ^ {2}}}} \ rho} (g) = {\ tfrac {1} {2}} \ left [\ left (\ chi _ {\ rho} (g) \ right) ^ {2} - \ chi _ {\ rho} (g ^ {2}) \ right]}

{\ displaystyle \ chi _ {{\ scriptscriptstyle {\ rm {{Sym} ^ {2}}}} \ rho} (g) = {\ tfrac {1} {2}} \ left [\ left (\ chi _ {\ rho} (g) \ right) ^ {2} + \ chi _ {\ rho} (g ^ {2}) \ right]}

где $р \oplus сг$ является прямой суммой , $р \otimes сг$ является тензорное произведение , $р *$ обозначает сопряженное транспонирование из $р$ и $Alt 2$ представляет собой переменный продукт $Alt 2 р = р \land р$ и $Sym 2$ представляет собой симметрический квадрат , который является определяется

{\ displaystyle \ rho \ otimes \ rho = \ left (\ rho \ wedge \ rho \ right) \ oplus {\ textrm {Sym}} ^ {2} \ rho}

.

Таблицы символов

Неприводимые комплексные характеры конечной группы образуют таблицу символов, которая кодирует много полезной информации о группе $G$ в компактной форме. Каждая строка помечена неприводимое представление и запись в строке являются символами представления на соответствующей сопряженности классе $G$ . Столбцы нумеруются (представителей) классов сопряженности $G$ . Принято помечать первую строку символом тривиального представления , которое является тривиальным действием $G$ на одномерном векторном пространстве с помощью для всех . Таким образом, каждая запись в первой строке равна 1. Аналогичным образом принято маркировать первый столбец идентификатором. Следовательно, первый столбец содержит степень каждого неприводимого символа. ${\ displaystyle \ rho (g) = 1}$ ${\ displaystyle g \ in G}$

Вот таблица символов

{\ displaystyle C_ {3} = \ langle u \ mid u ^ {3} = 1 \ rangle,}

циклическая группа с тремя элементами и образующей u:

	$(1)$	$(u)$	$(u 2)$
$1$	$1$	$1$	$1$
$χ 1$	$1$	$ω$	$ω 2$
$χ 2$	$1$	$ω 2$	$ω$

где $ω$ - примитивный корень третьей степени из единицы.

Таблица символов всегда квадратная, потому что количество неприводимых представлений равно количеству классов сопряженности.

Отношения ортогональности

Пространство комплекснозначных функций классов конечной группы $G$ имеет естественный внутренний продукт:

{\ displaystyle \ left \ langle \ alpha, \ beta \ right \ rangle: = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ alpha (g) {\ overline {\ beta (грамм)}}}

где $β (g)$ - комплексное сопряжение $β (g)$ . Что касается этого внутреннего продукта, неприводимые символы образуют ортонормированный базис для пространства классов-функций, и это дает отношение ортогональности для строк таблицы символов:

{\ displaystyle \ left \ langle \ chi _ {i}, \ chi _ {j} \ right \ rangle = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} i \ neq j, \\ 1 & {\ mbox {if}} i = j. \ end {case}}}

Для $g, h$ в $G$ применение того же внутреннего продукта к столбцам таблицы символов дает:

{\ displaystyle \ sum _ {\ chi _ {i}} \ chi _ {i} (g) {\ overline {\ chi _ {i} (h)}} = {\ begin {cases} \ left | C_ { G} (g) \ right |, & {\ mbox {if}} g, h {\ mbox {сопряжены}} \\ 0 & {\ mbox {в противном случае.}} \ End {cases}}}

где сумма ведется по всем неприводимым характерам $х i$ группы $G$ и символу $| C G (г) |$ обозначает порядок централизатора $g$ . Обратите внимание: поскольку $g$ и $h$ сопряжены, если они находятся в одном столбце таблицы символов, это означает, что столбцы таблицы символов ортогональны.

Отношения ортогональности могут помочь во многих вычислениях, включая:

Разложение неизвестного символа как линейной комбинации неразложимых символов.
Построение полной таблицы символов, когда известны только некоторые из неприводимых символов.
Нахождение порядков централизаторов представителей классов сопряженности группы.
Нахождение порядка в группе.

Свойства таблицы символов

Некоторые свойства группы $G$ можно вывести из ее таблицы символов:

Порядок $G$ определяется суммой квадратов элементов первого столбца (степеней неприводимых характеров). (См. Теорию представлений конечных групп # Применение леммы Шура .) В более общем смысле сумма квадратов абсолютных значений элементов в любом столбце дает порядок централизатора элемента соответствующего класса сопряженности.
Все нормальные подгруппы группы $G$ (и, таким образом, является ли $G$ простой или нет ) могут быть распознаны из ее таблицы символов. Ядро символа $х$ представляет собой набор элементов $г$ в $G$ , для которых $χ (г) = χ (1)$ ; это нормальная подгруппа группы $G$ . Каждая нормальная подгруппа группы $G$ является пересечением ядер некоторых неприводимых характеров группы $G$ .
Коммутант из $G$ является пересечением ядер линейных характеров $G$ .
Если $G$ конечна, то, поскольку таблица символов квадратная и имеет столько же строк, сколько классов сопряженности, отсюда следует, что $G$ абелева тогда и только тогда, когда каждый класс сопряженности является одноэлементным, если и только если таблица символов $G$ является тогда и только тогда, когда каждый неприводимый символ является линейным. ${\ Displaystyle | G | \ раз | G |}$
Отсюда следует, используя некоторые результаты Ричарда Брауэра из теории модульных представлений , что простые делители порядков элементов каждого класса сопряженности конечной группы могут быть выведены из ее таблицы характеров (наблюдение Грэма Хигмана ).

Таблица символов в общем случае не определяет группу с точностью до изоморфизма : например, группа кватернионов $Q$ и группа диэдра из $8$ элементов, $D 4$ , имеют одну и ту же таблицу символов. Брауэр спросил, определяет ли таблица символов вместе со знанием того, как распределены мощности элементов ее классов сопряженности, конечную группу с точностью до изоморфизма. В 1964 г. Э. К. Дейд дал на это отрицательный ответ .

Линейные представления $G$ сами по себе являются группой под тензорным произведением , поскольку тензорное произведение одномерных векторных пространств снова одномерно. То есть, если и являются линейными представлениями, то определяет новое линейное представление. Это дает начало группе линейных символов, называемой группой символов в рамках операции . Эта группа связана с характерами Дирихле и анализом Фурье . ${\ displaystyle \ rho _ {1}: от G \ до V_ {1}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {2}: от G \ до V_ {2}}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2} (g) = (\ rho _ {1} (g) \ otimes \ rho _ {2} (g))}$ ${\ Displaystyle [\ чи _ {1} * \ чи _ {2}] (г) = \ чи _ {1} (г) \ чи _ {2} (г)}$

Индуцированные персонажи и взаимность Фробениуса

Предполагается, что символы, обсуждаемые в этом разделе, являются комплексными. Пусть $H$ подгруппа конечной группы $G$ . Учитывая характер $χ$ из $G$ , пусть $χ H$ обозначим ее ограничение на $H$ . Пусть $θ$ быть характер $Н$ . Фердинанд Георг Фробениус показал, как построить характер $G$ из $θ$ , используя то, что теперь известно как взаимность Фробениуса . Поскольку неприводимые характеры группы $G$ образуют ортонормированный базис пространства комплекснозначных функций классов группы $G$ , существует единственная функция класса $θ G$ группы $G$ со свойством, что

{\ displaystyle \ langle \ theta ^ {G}, \ chi \ rangle _ {G} = \ langle \ theta, \ chi _ {H} \ rangle _ {H}}

для каждого неприводимого характера $χ$ группы $G$ (крайнее левое скалярное произведение предназначено для функций классов группы $G,$ а крайнее правое скалярное произведение предназначено для функций классов группы $H$ ). Так как ограничение на характер $G$ по подгруппе $H$ снова является символ $H$ , это определение становится ясно , что $θ G$ представляет собой неотрицательное целое число , комбинация неприводимых характеров $G$ , так что это действительно символ $G$ . Он известен как характер группы $G,$ индуцированный из $θ$ . Определяющая формула взаимности Фробениуса может быть распространена на общие комплекснозначные функции классов.

Учитывая , матричное представление $р$ из $Н$ , фробениусова позже дала явный способ построения матричного представления $G$ , известное как представление индуцированного из $р$ и записывается аналогично тому, как $ρ G$ . Это привело к альтернативному описанию индуцированного характера $thetas ; G$ . Этот индуцированный характер обращается в нуль на всех элементах $G$ , которые не сопряжены ни с одним элементом из $H$ . Так как индуцированный символ является функцией класса $G$ , только теперь необходимо описать его значение на элементах $Н$ . Если записать $G$ как несвязное объединение правых классов смежности $H$ , скажем,

{\ Displaystyle G = Ht_ {1} \ cup \ ldots \ cup Ht_ {n},}

тогда, учитывая элемент $h$ из $H$ , мы имеем:

{\ displaystyle \ theta ^ {G} (h) = \ sum _ {i \: \ t_ {i} ht_ {i} ^ {- 1} \ in H} \ theta \ left (t_ {i} ht_ {i } ^ {- 1} \ right).}

Поскольку $θ$ является функцией класса $H$ , это значение не зависит от конкретного выбора представителей смежного класса.

Это альтернативное описание индуцированного символа иногда позволяет явное вычисление на основе относительно небольшой информации о встраивании $H$ в $G$ и часто полезно для вычисления конкретных таблиц символов. При $θ$ тривиальное характер $H$ , индуцированный характер , полученный известен как перестановки символ из $G$ (на смежных классах $H$ ).

Общая техника индукции характеров и более поздние уточнения нашли многочисленные применения в теории конечных групп и в других областях математики в руках таких математиков, как Эмиль Артин , Ричард Брауэр , Вальтер Фейт и Мичио Судзуки , а также самого Фробениуса.

Разложение Макки

Разложение Макки было определено и исследовано Джорджем Макки в контексте групп Ли , но оно является мощным инструментом в теории характеров и теории представлений конечных групп. Его основная форма касается того, как характер (или модуль), индуцированный из подгруппы $H$ конечной группы $G,$ ведет себя при ограничении обратно на (возможно, другую) подгруппу $K$ группы $G$ , и использует разложение $G$ на $(H, K)$ -двойные классы смежности.

Если

{\ Displaystyle G = \ bigcup _ {т \ in T} HtK}

является дизъюнктным объединением, а $θ$ - комплексной классовой функцией $H$ , то формула Макки утверждает, что

{\ displaystyle \ left (\ theta ^ {G} \ right) _ {K} = \ sum _ {t \ in T} \ left (\ left [\ theta ^ {t} \ right] _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right) ^ {K},}

где $θ т$ является функция класс $т -1 Н$ определяется $thetas ; т (т -1 HT) = θ (ч)$ для всех $ч$ в $H$ . Существует аналогичная формула для ограничения индуцированного модуля на подгруппу, которая верна для представлений над любым кольцом и имеет приложения в большом количестве алгебраических и топологических контекстов.

Разложение Макки в сочетании с взаимностью Фробениуса дает хорошо известную и полезную формулу для внутреннего произведения двух функций классов $θ$ и $ψ,$ индуцированных из соответствующих подгрупп $H$ и $K$ , полезность которых заключается в том, что она зависит только от того, как сопряжены $H$ и $K$ пересекаются. Формула (с ее выводом):

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle \ theta ^ {G}, \ psi ^ {G} \ right \ rangle & = \ left \ langle \ left (\ theta ^ {G} \ right) _ { K}, \ psi \ right \ rangle \\ & = \ sum _ {t \ in T} \ left \ langle \ left (\ left [\ theta ^ {t} \ right] _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right) ^ {K}, \ psi \ right \ rangle \\ & = \ sum _ {t \ in T} \ left \ langle \ left (\ theta ^ {t} \ right) _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K}, \ psi _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right \ rangle, \ end {align}}}

(где $T$ - полный набор представителей $(H, K)$ -двойных смежных классов, как и раньше). Эта формула часто используется, когда $θ$ и $ψ$ - линейные символы, и в этом случае все скалярные произведения, появляющиеся в правой сумме, равны $1$ или $0$ , в зависимости от того, имеют ли линейные символы $θ t$ и $ψ$ такое же ограничение на $t. -1 Ht \cap K$ . Если $θ$ и $ψ$ - оба тривиальные символы, то скалярное произведение упрощается до $| Т |$ .

«Скрученное» измерение

Можно интерпретировать характер представления как «скрученное» измерение векторного пространства . Рассматривая характер как функцию элементов группы $χ (g)$ , его значение в единице является размерностью пространства, поскольку $χ (1) = Tr (ρ (1)) = Tr (I V) = dim (V)$ . Соответственно, можно рассматривать другие значения символа как «скрученные» размеры.

Можно найти аналоги или обобщения утверждений о размерах утверждениям о персонажах или представлениях. Изощренный пример этого встречается в теории чудовищного самогона : $j$ -инвариант - это градуированная размерность бесконечномерного градуированного представления группы Монстров , и замена измерения на символ дает ряд Маккея-Томпсона для каждого элемента группа монстров.

Характеры групп Ли и алгебр Ли

Если - группа Ли и конечномерное представление группы , характер группы определяется точно так же, как и для любой группы как ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ rho}$

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (g) = \ operatorname {Tr} (\ rho (g))}

.

Между тем, если - алгебра Ли и конечномерное представление , мы можем определить характер как ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (X) = \ operatorname {Tr} (e ^ {\ rho (X)})}

.

Персонаж удовлетворит всех в связанной группе Ли и всех . Если у нас есть представление группы Ли и ассоциированное представление алгебры Ли, характер представления алгебры Ли связан с характером представления группы формулой ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (\ operatorname {Ad} _ {g} (X)) = \ chi _ {\ rho} (X)}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {X} _ {\ rho}}$

{\ Displaystyle \ чи _ {\ rho} (X) = \ mathrm {X} _ {\ rho} (е ^ {X})}

.

Предположим теперь, что это комплексная полупростая алгебра Ли с подалгеброй Картана . Значение характера неприводимого представления о определяется своими значениями на . Ограничение символа на можно легко вычислить в терминах весовых пространств следующим образом: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (H) = \ sum _ {\ lambda} m _ {\ lambda} e ^ {\ lambda (H)}, \ quad H \ in {\ mathfrak {h}}}

,

где сумма берется по всем весом от и где кратность . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle m _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Символ (ограничение на) может быть вычислен более явно по формуле символа Вейля. ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

Смотрите также

Неприводимое представление § Приложения в теоретической физике и химии
Схемы ассоциации , комбинаторное обобщение теории групповых характеров.
Клиффорда теория , введенный AH Клиффорд в 1937 году, дает информацию об ограничении комплексного неприводимого характера конечной группы $G$ к нормальной подгруппе $N$ .
Формула Фробениуса
Вещественный элемент , такой элемент группы g , что χ ( g ) является действительным числом для всех характеров χ

Внешние ссылки

Характер в PlanetMath .

Languages

In other projects