Несборный модуль - Indecomposable module

В абстрактной алгебре , модуль является неразложимым , если он не равен нулю и не может быть записан в виде прямой суммы двух ненулевых подмодулей .

Неразложимый - более слабое понятие, чем простой модуль (который также иногда называют неприводимым модулем): простой означает «нет собственного подмодуля» , а неразложимый - «не выражается как ». ${\ Displaystyle N <M}$${\ Displaystyle N \ oplus P = M}$

Прямая сумма неразложимых называется полностью разложимой ; это слабее, чем быть полупростым , которое представляет собой прямую сумму простых модулей .

Разложение модуля на неразложимые модули в прямую сумму называется неразложимым разложением .

Мотивация

Во многих ситуациях все интересующие модули полностью разложимы; тогда неразложимые модули можно рассматривать как «базовые строительные блоки», единственные объекты, которые необходимо изучать. Это тот случай , для модулей над полем или PID , и лежит в основе Джордана нормальной формы из операторов .

Примеры

Поле

Модули над полями - это векторные пространства . Векторное пространство неразложимо тогда и только тогда, когда его размерность равна 1. Таким образом, каждое векторное пространство полностью разложимо (действительно, полупросто) с бесконечным числом слагаемых, если размерность бесконечна.

Основная идеальная область

Конечно-порожденные модули над областями главных идеалов (PID) классифицируются структурной теоремой для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов : первичное разложение - это разложение на неразложимые модули, поэтому каждый конечно порожденный модуль над PID полностью разложим.

Явно модули формы для простых идеалов p (включая p = 0 , что дает R ) неразложимы. Каждый конечно-порожденный R -модуль является их прямой суммой. Обратите внимание, что это просто тогда и только тогда, когда n = 1 (или p = 0 ); например, циклическая группа порядка 4, Z / 4, неразложима, но не проста - она ​​имеет подгруппу 2 Z / 4 порядка 2, но не имеет дополнения. ${\ displaystyle R / p ^ {n}}$

Над целыми числами Z модули являются абелевыми группами . Конечно порожденная абелева группа неразложима тогда и только тогда , когда она изоморфна к Z или к фактору группе формы для некоторого простого числа р и некоторого натурального п . Каждая конечно порожденная абелева группа является прямой суммой (конечного числа) неразложимых абелевых групп. ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / p ^ {n} \ mathbf {Z}}$

Однако существуют и другие неразложимые абелевы группы, которые не являются конечно порожденными; примерами являются рациональные числа Q и p -группы Прюфера Z ( p ^∞ ) для любого простого числа p .

Для фиксированного положительного целого числа п , рассмотрят кольцо R из п матрицы с размерностью п матрицы с элементами из действительных чисел (или из любого другого поля K ). Тогда K ⁿ - левый R -модуль (скалярное умножение есть умножение матриц ). Это с точностью до изоморфизма единственной неразложимой модуль над R . Каждый левый R -модуль является прямой суммой (конечного или бесконечного числа) копий этого модуля K ⁿ .

Факты

Каждый простой модуль неразложим. Обратное в общем случае неверно, как показывает второй пример выше.

Глядя на кольце эндоморфизмов модуля, можно сказать , является ли модуль неразложимы: тогда и только тогда , когда кольцо эндоморфизмов не содержит идемпотентная элемент отличен от 0 и 1. (Если F является такой идемпотентная эндоморфизм из М , то M - прямая сумма ker ( f ) и im ( f ).)

Модуль конечной длины неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально . Еще больше информации об эндоморфизмах неразложимых конечной длины дает лемма Фиттинга .

В ситуации конечной длины разложение на неразложимые особенно полезно из-за теоремы Крулля-Шмидта : каждый модуль конечной длины может быть записан как прямая сумма конечного числа неразложимых модулей, и это разложение по существу уникально (что означает, что если у вас есть другое разложение на неразложимые, тогда слагаемые первого разложения могут быть спарены с слагаемыми второго разложения, так что члены каждой пары изоморфны).

Примечания

использованная литература

• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 2 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47187-7