Гиперболические координаты - Hyperbolic coordinates

Гиперболические координаты, нанесенные на евклидову плоскость: все точки на одном синем луче имеют одно и то же значение координаты u , а все точки на одной и той же красной гиперболе имеют одинаковое значение координаты v .

В математике , гиперболические координаты представляют собой метод точек размещая в квадранте I в декартовой плоскости

{\ Displaystyle \ {(х, у) \: \ х> 0, \ у> 0 \ \} = Q}

.

Гиперболические координаты принимают значения в гиперболической плоскости, определяемые как:

{\ Displaystyle HP = \ {(и, v): и \ in \ mathbb {R}, v> 0 \}}

.

Эти координаты в HP полезны для изучения логарифмических сравнений прямой пропорциональности в Q и измерения отклонений от прямой пропорциональности.

Для в дубля ${\ Displaystyle (х, у)}$ ${\ displaystyle Q}$

{\ displaystyle u = \ ln {\ sqrt {\ frac {x} {y}}}}

а также

{\ displaystyle v = {\ sqrt {xy}}}

.

Параметр у является гиперболическим углом с ( х, у ) и V представляет собой геометрическое среднее по й и у .

Обратное отображение

{\ displaystyle x = ve ^ {u}, \ quad y = ve ^ {- u}}

.

Функция является непрерывным отображением , но не аналитической функцией . ${\ displaystyle Q \ rightarrow HP}$

Метрика альтернативного квадранта

Так как HP переносит метрическое пространство структуру полуплоскости модели Пуанкаре в гиперболической геометрии , то взаимно однозначное соответствие приносит эту структуру к Q . Это можно понять, используя понятие гиперболических движений . Так как геодезические в HP являются полуокружности с центрами на границе, геодезические в Q получаются из корреспонденции и оказываются лучи от происхождения или лепестковых образных кривых ухода и повторного ввода координат. И гиперболическое движение HP дается влево-вправо соответствует сдвигу к отображению сжатия применяется к Q . ${\ displaystyle Q \ leftrightarrow HP}$

Поскольку гиперболы в Q соответствуют линиям параллельно границе HP , они орициклы в метрической геометрии Q .

Если рассматривать только евклидовую топологию плоскости и топологию , унаследованную Q , то линия , ограничивающие Q кажется близко к Q . Взгляд из метрического пространства HP показывает, что открытое множество Q имеет только начало в качестве границы при просмотре через соответствие. Действительно, рассмотрим лучи от начала координат в Q , и их изображения, вертикальные лучи от границы R от HP . Любая точка в HP находится на бесконечном расстоянии от точки p у основания перпендикуляра к R , но последовательность точек на этом перпендикуляре может стремиться в направлении p . Соответствующая последовательность в Q стремится по лучу к началу координат. Старая евклидова граница Q больше не актуальна.

Приложения в физической науке

Основные физические переменные иногда связаны уравнениями вида k = xy . Например, V = IR ( закон Ома ), P = VI ( электрическая мощность ), PV = k T ( закон идеального газа ) и f λ = v (соотношение длины волны , частоты и скорости в волновой среде). Когда k постоянно, другие переменные лежат на гиперболе, которая является орициклом в соответствующем квадранте Q.

Например, в термодинамике изотермический процесс явно следует гиперболический путь и работа может быть интерпретировано как гиперболическое изменение угла. Точно так же данная масса M газа с изменяющимся объемом будет иметь переменную плотность δ = M / V , и закон идеального газа может быть записан P = k T δ, так что изобарический процесс отслеживает гиперболу в квадранте абсолютной температуры и газа. плотность.

О гиперболических координатах в теории относительности см. Раздел История .

Статистические приложения

Сравнительное исследование плотности населения в квадранте начинается с выбора эталонной страны, региона или городского района, население и площадь которых принимаются за точку (1,1).
Анализ выборного представительства регионов в представительной демократии начинается с выбора стандарта для сравнения: конкретная представленная группа, численность и численность (представителей) которой составляет (1,1) в квадранте.

Экономические приложения

Есть много естественных приложений гиперболических координат в экономике :

Анализ колебаний обменного курса :
Устанавливается единица валюты . Валюта цены соответствует . Для ${\ displaystyle x = 1}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ Displaystyle 0 <у <1}$ мы находим положительный гиперболический угол. Для колебания возьмите новую цену ${\ displaystyle u> 0}$ ${\ displaystyle 0 <z <y.}$ Тогда изменение u : ${\ displaystyle \ Delta u = \ ln {\ sqrt {\ frac {y} {z}}}.}$ Количественная оценка колебаний обменного курса через гиперболический угол обеспечивает объективную, симметричную и последовательную меру . Величина - это длина сдвига влево-вправо в представлении гиперболического движения колебания валюты. ${\ displaystyle \ Delta u}$
Анализ инфляции или дефляции цен на корзину потребительских товаров .
Количественная оценка изменения доли рынка в дуополии .
Разделение корпоративных акций против обратного выкупа акций.

История

Среднее геометрическое древнее понятие, но гиперболический угол был разработан в этой конфигурации по Грегуар де Сен-Венсан . Он пытался выполнить квадратуру относительно прямоугольной гиперболы y = 1 / x . Эта проблема оставалась открытой, поскольку Архимед выполнил квадратуру параболы . Кривая проходит через (1,1), где она находится напротив начала координат (математика) в единичном квадрате . Остальные точки кривой можно рассматривать как прямоугольники, имеющие такую же площадь, как этот квадрат. Такой прямоугольник может быть получен путем применения сопоставления сжатия к квадрату. Другой способ просмотра этих отображений - через гиперболические сектора . Начиная с (1,1), гиперболический сектор единичной площади заканчивается в точке (e, 1 / e), где e равно 2,71828…, в соответствии с разработкой Леонарда Эйлера во « Введении в анализ бесконечности» (1748 г.).

Принимая (е, 1 / е) в качестве вершины прямоугольника единичной площади, и применяя снова выжимку , который сделал его от единичного квадрата, выходы В общем случае п выжимает урожайность AA де Sarasa отметил аналогичное наблюдение Г. де Сент - Винсент, что по мере увеличения абсцисс в геометрическом ряду сумма площадей относительно гиперболы увеличивалась в арифметических рядах , и это свойство соответствовало логарифму, уже используемому для сведения умножений к сложениям. Благодаря работе Эйлера натуральный логарифм стал стандартным математическим инструментом и поднял математику до уровня трансцендентных функций . Гиперболические координаты сформированы на исходной картине Ж. де Сен-Винсента, которая предоставила квадратуру гиперболы и вышла за пределы алгебраических функций . ${\ displaystyle (e ^ {2}, \ e ^ {- 2}).}$ ${\ displaystyle (e ^ {n}, \ e ^ {- n}).}$

В специальной теории относительности основное внимание уделяется трехмерной гиперповерхности будущего пространства-времени, где различные скорости прибывают через заданное собственное время . Скотт Вальтер объясняет, что в ноябре 1907 года Герман Минковский ссылался на хорошо известную трехмерную гиперболическую геометрию, выступая в Геттингенском математическом обществе, но не на четырехмерную. В честь Вольфганга Риндлера , автора стандартного вводного учебника по теории относительности университетского уровня, гиперболические координаты пространства-времени называются координатами Риндлера .

Languages

In other projects