e (математическая константа) - e (mathematical constant)

График уравнения y = 1 / x . Здесь e - уникальное число, большее 1, что делает заштрихованную область равной 1.

Число e , также известное как число Эйлера , представляет собой математическую константу, приблизительно равную 2,71828, и ее можно характеризовать по-разному. Это основание из натурального логарифма . Это предел из (1 + 1 / п ) п а п стремится к бесконечности, выражение , которое возникает при изучении сложных процентов . Его также можно рассчитать как сумму бесконечного ряда

Это также уникальное положительное число a такое, что график функции y = a x имеет наклон 1 при x = 0 .

(Естественная) экспоненциальная функция f ( x ) = e x - это единственная функция f, которая равна своей производной и удовлетворяет уравнению f (0) = 1 ; следовательно, можно также определить e как f (1) . Натуральный логарифм или логарифм по основанию e - функция, обратная натуральной экспоненциальной функции. Натуральный логарифм числа k > 1 может быть определен непосредственно как площадь под кривой y = 1 / x между x = 1 и x = k , и в этом случае e - значение k, для которого эта площадь равна единице (см. изображение). Существуют различные другие характеристики .

e иногда называют числом Эйлера в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера (не путать с γ , константой Эйлера – Маскерони , которую иногда называют просто константой Эйлера ) или константой Напьера . Однако, как говорят , выбор Эйлера символа e был сохранен в его честь. Константа была открыта швейцарским математиком Якобом Бернулли при изучении сложных процентов.

Число e имеет огромное значение в математике наряду с 0, 1, π и i . Все пять появляются в одной формулировке личности Эйлера и играют важные и повторяющиеся роли в математике. Подобно постоянная П , е является иррациональным (то есть, она не может быть представлена в виде отношения целых чисел) и трансцендентальной (то есть, это не является корень из любых ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами). С точностью до 50 знаков после запятой значение e равно:

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 ... (последовательность A001113 в OEIS ).

История

Первые упоминания о константе были опубликованы в 1618 году в таблице приложения к работе Джона Напьера по логарифмам . Однако он не содержал саму константу, а просто список логарифмов, вычисленных из константы. Предполагается, что таблица была написана Уильямом Отредом .

Открытие самой константы приписывают Якобу Бернулли в 1683 году, который попытался найти значение следующего выражения (которое равно e ):

Первое известное использование константы, представленной буквой b , было в переписке Готфрида Лейбница с Христианом Гюйгенсом в 1690 и 1691 годах. Леонард Эйлер ввел букву e в качестве основы для натуральных логарифмов, написав в письме Кристиану Гольдбаху 25 января. Ноябрь 1731 года. Эйлер начал использовать букву е для обозначения константы в 1727 или 1728 году в неопубликованной статье о силах взрыва в пушках, в то время как первое появление е в публикации было в « Механике» Эйлера (1736). Хотя некоторые исследователи использовали букву c в последующие годы, буква e была более распространенной и со временем стала стандартной.

В математике принято набирать константу курсивом как « е »; ISO 80000-2 : 2019 стандарт рекомендует наборные константы в вертикальном стиле, но это не было подтверждено научным сообществом.

Приложения

Сложные проценты

Влияние получения 20% годовых на первоначальные инвестиции в размере 1000 долларов США при различной частоте начисления сложных процентов

Якоб Бернулли открыл эту константу в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах:

Счет начинается с $ 1,00 и выплачивается 100% годовых. Если проценты начисляются один раз, в конце года, стоимость счета в конце года составит 2 доллара США. Что произойдет, если проценты начисляются и начисляются чаще в течение года?

Если проценты начисляются дважды в год, процентная ставка за каждые 6 месяцев будет составлять 50%, поэтому начальный 1 доллар умножается на 1,5 дважды, что дает 1,00 доллара × 1,5 2 = 2,25 доллара в конце года. Компаундирование квартальной доходности 1,00 $ × 1,25 4 = 2,4414 $ ... , а сложение ежемесячной доходности 1,00 $ × (1 + 1/12) 12 = 2,613035 долл. США ... Если имеется n интервалов начисления процентов, процент для каждого интервала будет 100% / n, а стоимость на конец года составит $ 1,00 ×  (1 + 1 / n ) n .

Бернулли заметил, что эта последовательность приближается к пределу ( интересующей силе ) с большим n и, следовательно, меньшими интервалами сложения. Еженедельное начисление ( n = 52 ) дает 2,692597 долларов США ..., а ежедневное начисление сложных процентов ( n = 365 ) дает 2,714567 долларов США ... (примерно на два цента больше). Предел увеличения n - это число, которое стало известно как e . То есть при непрерывном начислении сложного процента стоимость счета достигнет 2,718281828 $ ...

В более общем смысле, счет, который начинается с 1 доллара и предлагает годовую процентную ставку R , через t лет будет приносить e Rt долларов с непрерывным начислением сложных процентов .

(Обратите внимание, что R является десятичным эквивалентом процентной ставки, выраженной в процентах , поэтому для 5% -ной процентной ставки R = 5/100 = 0,05 .)

Бернулли испытания

Графики вероятности P из не наблюдающих независимых событий каждый из вероятности 1 / п после п испытаний Бернулли, и 1 - Р   против п  ; можно заметить, что по мере увеличения n вероятность того, что случайное событие 1 / n никогда не появится после n попыток, быстро сходится к 1 / e .

Само число e также имеет приложения в теории вероятностей , но это явно не связано с экспоненциальным ростом. Предположим, что игрок играет в игровой автомат, который дает выплаты с вероятностью один из n, и играет на нем n раз. Тогда при больших n вероятность того, что игрок проиграет каждую ставку, составляет примерно 1 / e . Для n = 20 это уже примерно 1 / 2,79.

Это пример судебного процесса Бернулли . Каждый раз, когда игрок играет в игровые автоматы, шанс на выигрыш составляет один из n . Игра n раз моделируется биномиальным распределением , которое тесно связано с биномиальной теоремой и треугольником Паскаля . Вероятность выигрыша k раз из n попыток равна:

В частности, вероятность нулевого выигрыша ( k = 0 ) равна

Предел приведенного выше выражения, когда n стремится к бесконечности, равен 1 / e .

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение с нулевым средним и единичным стандартным отклонением известно как стандартное нормальное распределение , заданное функцией плотности вероятности.

Ограничение на единичную дисперсию (и, следовательно, также на единичное стандартное отклонение) приводит к 1/2в показателе степени, а ограничение на единицу общей площади под кривой приводит к множителю . [доказательство] Эта функция симметрична относительно x = 0 , где она достигает своего максимального значения , и имеет точки перегиба при x = ± 1 .

Психические расстройства

Другое применение e , также частично обнаруженное Якобом Бернулли вместе с Пьером Ремоном де Монмором , заключается в проблеме психических расстройств , также известной как проблема проверки шляпы : n гостей приглашаются на вечеринку, а у дверей все гости Сверяют их шляпы с дворецким, который, в свою очередь, складывает шляпы в n ящиков, на каждой из которых написано имя одного гостя. Но дворецкий не спросил, как называются гости, и поэтому складывает шляпы в коробки, выбранные наугад. Задача де Монморта состоит в том, чтобы определить вероятность того, что ни одна из шляп не попадет в нужную коробку. Эта вероятность, обозначенная как:

Поскольку количество гостей n стремится к бесконечности, p n приближается к 1 / e . Кроме того, количество способов размещения шляп в ящиках так, чтобы ни одна из шляп не оказалась в правом ящике, равно n ! / E ( округляется до ближайшего целого числа для каждого положительного  n ).

Проблемы оптимального планирования

Палка длины L разбивается на n равных частей. Тогда значение n, которое максимизирует произведение длин, равно либо

или

Заявленный результат следует из того, что максимальное значение достигается при ( проблема Штейнера , обсуждается ниже ). Количество - это мера информации, полученной из события, происходящего с вероятностью , так что, по сути, такое же оптимальное разделение появляется в задачах оптимального планирования, таких как проблема секретаря .

Асимптотика

Число e естественно возникает в связи со многими проблемами, связанными с асимптотикой . Примером может служить формула Стирлинга для асимптотики в функции факториала , в которых оба числа е и л появляются:

Как следствие,

В исчислении

Графики функций xa x показаны для a = 2 (пунктир), a = e (синий) и a = 4 (пунктир). Все они проходят через точку (0,1) , но красная линия (имеющая наклон 1 ) касается только точки e x .
Значение функции натурального логарифма для аргумента e , т.е. ln e , равно 1.

Основная мотивация введения числа e , особенно в исчислении , заключается в выполнении дифференциального и интегрального исчисления с экспоненциальными функциями и логарифмами . Общая экспоненциальная функция y = a x имеет производную, задаваемую пределом :

Предел в скобках справа не зависит от переменной x . Его значение оказывается логарифмом от a до основания e . Таким образом, когда значение устанавливается на е , этот предел равен к 1 , и поэтому один приходит к следующему простое тождество:

Следовательно, экспоненциальная функция с основанием e особенно подходит для вычислений. Выбор e (в отличие от некоторого другого числа в качестве основания экспоненциальной функции) значительно упрощает вычисления с использованием производных.

Другая мотивация исходит из рассмотрения производной от основания - логарифма (т. Е. Log a x ) для  x > 0 :

где сделана замена u = h / x . Основание - логарифм числа e равен 1, если a равно e . Так символически,

Логарифм с этим специальным основанием называется натуральным логарифмом и обозначается как ln ; он хорошо ведет себя при дифференцировании, поскольку нет неопределенного предела для проведения расчетов.

Таким образом, есть два способа выбора таких специальных номеров: a . Один из способов - установить производную экспоненциальной функции a x равной a x и найти a . Другой способ заключается в установлении производной от основания к логарифму 1 / х и решить для . В каждом случае приходит к удобному выбору базы для проведения расчетов. Оказывается, эти два решения для a на самом деле одно и то же : число e .

Альтернативные характеристики

Пять цветных областей имеют равную площадь и определяют единицы гиперболического угла вдоль гиперболы.

Возможны и другие характеристики e : одна - как предел последовательности , другая - как сумма бесконечного ряда, а третьи полагаются на интегральное исчисление . До сих пор были введены следующие два (эквивалентных) свойства:

  1. Число e - это уникальное положительное действительное число такое, что .
  2. Число e - это уникальное положительное действительное число такое, что .

Можно доказать, что следующие четыре характеристики эквивалентны :

  1. Число е - это предел

    Сходным образом:

  2. Число е - это сумма бесконечного ряда
    где п ! является факториала из п .
  3. Число e - это уникальное положительное действительное число такое, что
  4. Если f ( t ) - экспоненциальная функция , то величина является константой, иногда называемой постоянной времени (она обратна константе экспоненциального роста или константе спада ). Постоянная времени является время, необходимое для экспоненциальной функции увеличения на коэффициент е : .

Характеристики

Исчисление

Как и в мотивации, экспоненциальная функция e x важна отчасти потому, что это единственная нетривиальная функция, которая является собственной производной (с точностью до умножения на константу):

и, следовательно, его собственная первообразная :

Неравенства

Показательные функции y = 2 x и y = 4 x пересекают график y = x + 1 , соответственно, при x = 1 и x = -1/2 . Число e - это уникальное основание, такое что y = e x пересекается только в точке x = 0 . Мы можем заключить, что e лежит между 2 и 4.

Число e - это уникальное действительное число такое, что

для всех положительных x .

Также имеем неравенство

для всех действительных x с равенством тогда и только тогда, когда x = 0 . Кроме того, e является единственным основанием экспоненты, для которой выполняется неравенство a xx + 1 для всех x . Это предельный случай неравенства Бернулли .

Экспоненциальные функции

Глобальный максимум из хх имеет место при х = е .

Задача Штейнера просит найти глобальный максимум для функции

Этот максимум происходит именно при x = e .

Значение этого максимума составляет 1,4446 6786 1009 7661 3365 ... (с точностью до 20 знаков после запятой).

Для доказательства неравенство , оцененное сверху и упрощающее, дает . Итак, для всех положительных x .

Аналогично, x = 1 / e - это место, где происходит глобальный минимум для функции

определен для положительного x . В более общем плане для функции

глобальный максимум для положительного x происходит при x = 1 / e для любого n <0 ; а глобальный минимум происходит при x = e −1 / n для любого n > 0 .

Бесконечная тетрация

или

сходится тогда и только тогда, когда e - exe 1 / e (или приблизительно между 0,0660 и 1,4447), в соответствии с теоремой Леонарда Эйлера .

Теория чисел

Реальное число е является иррациональным . Эйлер доказал это, показав, что его разложение в простую цепную дробь бесконечно. (См. Также доказательство Фурье , что е иррационально .)

Кроме того, по теореме Линдемана-Вейерштрасса , е является трансцендентным , а это означает , что он не является решением любого непостоянного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Это было первое число, трансцендентное которого было доказано, но не было специально построено для этой цели (сравните с числом Лиувилля ); доказательство было дано Чарльзом Эрмитом в 1873 году.

Предполагается, что e является нормальным , что означает, что, когда e выражается в любой базе, возможные цифры в этой базе равномерно распределены (встречаются с равной вероятностью в любой последовательности заданной длины).

Сложные числа

Экспоненциальная функция е х может быть записана в виде ряда Тейлора

Поскольку этот ряд сходится для каждого комплексного значения x , он обычно используется для расширения определения e x на комплексные числа. Это вместе с рядом Тейлора для sin и cos x позволяет вывести формулу Эйлера :

которое выполняется для любого комплексного x . Частным случаем с x = π является тождество Эйлера :

откуда следует, что в главной ветви логарифма

Кроме того, используя законы возведения в степень,

что является формулой де Муавра .

Выражение

иногда называют цис ( х ) .

Можно вывести выражения sin x и cos x в терминах экспоненциальной функции :

Дифференциальные уравнения

Семейство функций

где C - любое действительное число, - решение дифференциального уравнения

Представления

Число e может быть представлено множеством способов: бесконечным рядом , бесконечным произведением , непрерывной дробью или пределом последовательности . Два из этих представлений, часто используемых во вводных курсах по исчислению , являются пределом

приведено выше, а серия

полученный путем вычисления при x = 1 представленного выше степенного ряда для e x .

Реже встречается непрерывная дробь

который написан выглядит как

Эта цепная дробь для e сходится в три раза быстрее:

Было доказано множество других представлений e в виде серий, последовательностей, цепных дробей и бесконечных произведений .

Стохастические представления

Помимо точных аналитических выражений для представления e , существуют стохастические методы оценки e . Один из таких подходов начинается с бесконечной последовательности независимых случайных величин X 1 , X 2 ..., взятых из равномерного распределения на [0, 1]. Пусть V будет наименьшим числом n такое, что сумма первых n наблюдений превышает 1:

Тогда ожидаемое значение из V является е : Е ( В ) = е .

Известные цифры

Количество известных цифр e значительно увеличилось за последние десятилетия. Это связано как с увеличением производительности компьютеров, так и с улучшениями алгоритмов.

Количество известных десятичных цифр е
Дата Десятичные цифры Вычисление выполнено
1690 1 Джейкоб Бернулли
1714 г. 13 Роджер Котс
1748 г. 23 Леонард Эйлер
1853 г. 137 Уильям Шанкс
1871 г. 205 Уильям Шанкс
1884 г. 346 Дж. Маркус Бурман
1949 г. 2,010 Джон фон Нейман (на ENIAC )
1961 г. 100 265 Дэниел Шэнкс и Джон Ренч
1978 г. 116 000 Стив Возняк о Apple II

Примерно с 2010 года распространение современных высокоскоростных настольных компьютеров сделало возможным для большинства любителей вычислять триллионы цифр е за приемлемое время. В настоящее время он насчитывает 31 415 926 535 897 цифр.

В компьютерной культуре

В период становления интернет-культуры отдельные лица и организации иногда отдавали дань уважения числу e .

В одном из первых примеров компьютерный ученый Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы Metafont приблизиться к e . Версии 2, 2.7, 2.71, 2.718 и так далее.

В другом случае, в ходе IPO для Google в 2004 году, вместо обычной круглой суммы денег компания объявила о своем намерении привлечь 2 718 281 828 долларов США , что составляет е миллиарда долларов, округленных до ближайшего доллара.

Google также отвечал за рекламный щит, который появился в самом центре Кремниевой долины , а затем в Кембридже, штат Массачусетс ; Сиэтл, Вашингтон ; и Остин, штат Техас . Он читал "{первое 10-значное простое число в последовательных цифрах e } .com". Первое 10-значное простое число в e - это 7427466391, которое начинается с 99-й цифры. Решение этой проблемы и посещение рекламируемого (ныне несуществующего) веб-сайта привело к еще более сложной проблеме, которая заключалась в нахождении пятого члена в последовательности 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Оказалось, что последовательность состоит из 10- цифры числа, состоящие из последовательных цифр e , сумма цифр которых составляет 49. Пятый член в последовательности - 5966290435, который начинается со 127-й цифры. Решение этой второй проблемы привело, наконец, к веб-странице Google Labs, где посетителю было предложено отправить резюме.

Примечания

дальнейшее чтение

внешние ссылки