Сильно структурированный кольцевой спектр - Highly structured ring spectrum

В математике высокоструктурированный кольцевой спектр или -кольцо - это объект теории гомотопий, кодирующий уточнение мультипликативной структуры в теории когомологий . Коммутативная версия -кольца называется -кольцом. Первоначально мотивированные вопросами геометрической топологии и теории расслоений , сегодня они наиболее часто используются в стабильной теории гомотопий . ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Задний план

Высокоструктурированные кольцевые спектры обладают лучшими формальными свойствами, чем теории мультипликативных когомологий - точка, используемая, например, при построении топологических модулярных форм , и которая позволила также новые конструкции более классических объектов, таких как K-теория Моравы . Помимо своих формальных свойств, -структуры также важны в вычислениях, поскольку они допускают операции в основной теории когомологий, аналогичные (и обобщающие) хорошо известные операции Стинрода в обычных когомологиях. Поскольку не всякая теория когомологий допускает такие операции, не каждая мультипликативная структура может быть уточнена до -структуры, и даже в тех случаях, когда это возможно, доказать это может оказаться непростой задачей. ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Грубая идея высокоструктурированных кольцевых спектров такова: если умножение в теории когомологий (аналогичное умножению в сингулярных когомологиях, порождающее чашеобразное произведение ) удовлетворяет ассоциативности (и коммутативности) только с точностью до гомотопии, это слишком слабо для многих конструкций (например, для пределов и копределов в смысле теории категорий). С другой стороны, требование строгой ассоциативности (или коммутативности) наивным образом является слишком ограничительным для многих желаемых примеров. Основная идея состоит в том, что отношения должны поддерживать только гомотопию, но эти гомотопии должны снова удовлетворять некоторым гомотопическим отношениям, гомотопии которых снова удовлетворяют некоторым дополнительным условиям гомотопии; и так далее. Классический подход организует эту структуру через операды , тогда как недавний подход Якоба Лурье рассматривает ее с помощью -операд в -категориях. В наиболее распространенных сегодня подходах используется язык модельных категорий . ${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle \ infty}$

Все эти подходы зависят от тщательного построения основной категории спектров .

Подходы к определению

Операды

Теория операд мотивирована изучением пространств петель . Пространство петель ΩX имеет умножение

${\ Displaystyle \ Omega X \ times \ Omega X \ to \ Omega X}$

по составу петель. Здесь два цикла ускоряются в 2 раза, и первый занимает интервал [0,1 / 2], а второй [1 / 2,1]. Это произведение не ассоциативно, поскольку скейлинги несовместимы, но оно ассоциативно с точностью до гомотопии, а гомотопии когерентны с точностью до более высоких гомотопий и так далее. Эту ситуацию можно уточнить, сказав, что ΩX - алгебра над малым интервалом операда . Это пример -операды, т. Е. Операды топологических пространств, которая гомотопически эквивалентна ассоциативной операде, но которая обладает соответствующей «свободой», позволяющей вещам соответствовать только гомотопии (кратко: любая кофибрантная замена ассоциативной операды) . -Кольцом спектр теперь можно представить как алгебры над -operad в подходящей категории спектров и подходящих условий совместности (см мая 1977). ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$

Для определения спектров -колец работает, по сути, тот же подход, когда -операда заменяется -операдой, т. Е. Операдой стягиваемых топологических пространств с аналогичными условиями «свободы». Пример такой операды может быть снова мотивирован изучением пространств петель. Произведение пространства двойной петли уже коммутативно с точностью до гомотопии, но эта гомотопия не удовлетворяет никаким высшим условиям. Чтобы получить полную согласованность высших гомотопий, нужно предположить, что пространство является (эквивалентным) n- кратным пространством петель для всех  n . Это приводит к внутри- кубической операде бесконечномерных кубов в бесконечномерном пространстве, которая является примером -операды. ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle \ Omega ^ {2} X}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Вышеупомянутый подход был впервые предложен Дж. Питером Мэем . Вместе с Элмендорфом, Крисом и Манделлом он разработал в 90-х годах вариант своего более старого определения спектров, так называемые S-модули (см. Элмендорф и др., 2007). S-модули обладают модельной структурой , гомотопическая категория которой является стабильной гомотопической категорией . В S-модулей категории модулей над -operad и категории моноидах являются Квиллен эквивалентны и также категория модулей над -operad и категория коммутативных моноидов. Следовательно, можно определить -кольцевые спектры и -кольцевые спектры как (коммутативные) моноиды в категории S-модулей, так называемых (коммутативных) S-алгебр . Поскольку с (коммутативными) моноидами легче работать, чем с алгебрами над сложными операдами, этот новый подход для многих целей более удобен. Однако следует отметить, что фактическое построение категории S-модулей технически довольно сложно. ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Диаграмма спектров

Другой подход к цели увидеть высоко структурированные кольцевые спектры как моноиды в подходящей категории спектров - это категории диаграммных спектров. Вероятно, самая известная из них - категория симметричных спектров, впервые предложенная Джеффом Смитом. Его основная идея заключается в следующем:

В самом наивном смысле спектр - это последовательность ( отмеченных ) пространств вместе с отображениями , где ΣX обозначает надстройку . Другая точка зрения такова: каждый рассматривает категорию последовательностей пространств вместе с моноидальной структурой, заданной произведением разбиения . Тогда последовательность сфер имеет структуру моноида, а спектры являются просто модулями над этим моноидом. Если бы этот моноид был коммутативным, то возникла бы моноидальная структура на категории модулей над ним (как в алгебре модули над коммутативным кольцом имеют тензорное произведение). Но моноидная структура последовательности сфер не коммутативна из-за разного порядка координат. ${\ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, \ точки)}$${\ displaystyle \ Sigma X_ {i} \ to X_ {i + 1}}$${\ Displaystyle (S ^ {0}, S ^ {1}, \ точки)}$

Идея теперь состоит в том, что можно встроить изменения координат в определение последовательности: симметричная последовательность - это последовательность пространств вместе с действием n -й симметрической группы на . Если снабдить его подходящим моноидальным произведением, получится, что последовательность сфер является коммутативным моноидом. Теперь симметричные спектры являются модули над последовательностью сферы, то есть последовательность пространств вместе с действием на ˝n˝ -й симметрической группы на и картах , удовлетворяющих подходящие условия эквивариантности. Категория симметричных спектров имеет моноидальное произведение, обозначенное . Хорошо структурированный (коммутативный) кольцевой спектр теперь определяются как (коммутативный) моноид в симметричных спектрах, называется (коммутативный) симметричный кольцевой спектром . Это сводится к предоставлению карт ${\ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, \ точки)}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, \ точки)}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle \ Sigma X_ {i} \ to X_ {i + 1}}$${\ Displaystyle \ клин}$

${\ Displaystyle X_ {n} \ клин X_ {m} \ to X_ {n + m},}$

которые удовлетворяют подходящим условиям эквивариантности, унитарности и ассоциативности (и коммутативности) (см. Schwede 2007).

Существует несколько модельных структур на симметричных спектрах, которые гомотопически имеют стабильную гомотопическую категорию. Также здесь верно , что категория модулей над -operad и категории моноидах являются Квиллен эквивалентны и также категория модулей над -operad и категория коммутативных моноидов. ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Вариантом симметричных спектров являются ортогональные спектры , в которых симметричная группа заменяется ортогональной группой (см. Mandell et al., 2001). У них есть то преимущество, что наивно определенные гомотопические группы совпадают с группами в стабильной гомотопической категории, что не относится к симметричным спектрам. (То есть спектр сферы теперь кофибрантный.) С другой стороны, симметричные спектры имеют то преимущество, что они также могут быть определены для симплициальных множеств . Симметричные и ортогональные спектры, возможно, являются простейшими способами построения разумной симметричной моноидальной категории спектров.

Бесконечные категории

Бесконечные категории - это вариант классических категорий, где композиция морфизмов не определена однозначно, а только с точностью до стягиваемого выбора. Вообще говоря, нет смысла говорить, что диаграмма коммутирует строго в бесконечной категории, а только то, что она коммутирует с точностью до когерентной гомотопии. Можно определить бесконечную категорию спектров (как это сделал Лурье ). Можно также определить бесконечные версии (коммутативных) моноидов, а затем определить -кольцевые спектры как моноиды в спектрах и -кольцевые спектры как коммутативные моноиды в спектрах. Это разработано в книге Лурье « Высшая алгебра» . ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Сравнение

Категории S-модулей, симметричные и ортогональные спектры и их категории (коммутативных) моноидов допускают сравнения через эквивалентности Квиллена благодаря работе нескольких математиков (включая Шведе). Несмотря на это, модельная категория S-модулей и модельная категория симметричных спектров ведут себя совершенно по-разному: в S-модулях каждый объект является волокнистым (что неверно в симметричных спектрах), в то время как в симметричных спектрах сферический спектр является конфибрантным. (что неверно в S-модулях). По теореме Льюиса невозможно построить одну категорию спектров, обладающую всеми желаемыми свойствами. Сравнение подхода категорий бесконечности к спектрам с более классическим подходом категорий моделей симметричных спектров можно найти в Высшей алгебре Лурье 4.4.4.9.

Примеры

Проще всего записать конкретные примеры спектров -колец в симметричных / ортогональных спектрах. Наиболее фундаментальный пример - спектр сферы с (каноническим) отображением умножения . Также нетрудно записать карты умножения для спектров Эйленберга-Маклейна (представляющих обычные когомологии ) и некоторых спектров Тома (представляющих теории бордизмов ). Топологическая (действительная или комплексная) K-теория также является примером, но ее труднее получить: в симметричных спектрах используется интерпретация K-теории C * -алгеброй , в подходе операд используется машина мультипликативной теории бесконечного пространства петель . ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ Displaystyle S ^ {n} \ клин S ^ {m} \ к S ^ {n + m}}$

Более поздним подходом к нахождению уточнений мультипликативных теорий когомологий является теория препятствий Гёрсса – Хопкинса . Ему удалось найти -кольцевые структуры на спектрах Любина – Тейта и на эллиптических спектрах . Аналогичным (но более старым) методом можно было также показать, что K-теория Моравы, а также другие варианты когомологий Брауна-Петерсона обладают -кольцевой структурой (см., Например, Baker and Jeanneret, 2002). Бастерра и Манделл показали, что когомологии Брауна – Петерсона имеют даже -кольцевую структуру, где -структура определяется заменой операды бесконечномерных кубов в бесконечномерном пространстве на 4-мерные кубы в 4-мерном пространстве в определении из -кольца спектров. С другой стороны, Тайлер Лоусон показал, что когомологии Брауна – Петерсона не имеют структуры. ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E_ {4}}$${\ displaystyle E_ {4}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Конструкции

Высокоструктурированные кольцевые спектры допускают множество построений.

• Они образуют модельную категорию, поэтому существуют (гомотопические) пределы и копределы.
• Модули с высокоструктурированным кольцевым спектром образуют стабильную модельную категорию . В частности, их гомотопическая категория триангулирована . Если кольцевой спектр имеет -структуру, категория модулей имеет моноидальное разбивающее произведение ; если не меньше , то у него есть симметричное моноидальное (разбивающее) произведение. ${\ displaystyle E_ {2}}$${\ displaystyle E_ {4}}$
• Можно формировать групповые кольцевые спектры.
• Можно определить алгебраическую K-теорию , топологические гомологии Хохшильда и т. Д. Сильно структурированного кольцевого спектра.
• Можно определить пространство единиц, что имеет решающее значение для некоторых вопросов ориентируемости связок.

Смотрите также

• Коммутативный кольцевой спектр
• Кольцо

Рекомендации

Литература по спектрам E _∞ -кольца

• Элмендорф, AD; Kriz, I .; Манделл, Массачусетс; Май, JP (2007). Кольца, модули и алгебры в стабильной теории гомотопий . AMS. ISBN   978-0-8218-4303-1 .
• Мэй, Дж. Питер (1977). -кольцевые пространства и -кольцевые спектры . Springer. ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$
• Мэй, Дж. Питер (2009). «Что такое кольцевые пространства и кольцевые спектры?». Монографии по геометрии и топологии . 16 : 215–282. arXiv : 0903.2813 . DOI : 10,2140 / gtm.2009.16.215 . ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Ссылки о структуре спектров E _∞ -кольца

• Basterra, M .; Манделл, Массачусетс (2005). " Гомологии и когомологии кольцевых спектров E-бесконечности " (PDF)
• Лоусон, Т. (2017). «Вычисление групп препятствий для -кольцевых спектров». arXiv : 1709.09629 [ math.AT ]. ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Ссылки на конкретные примеры

• Бейкер, А .; Жаннере, А. (2002). «Дивные новые алгеброиды Хопфа и расширения MU -алгебр» . Гомологии, гомотопии и приложения . 4 (1): 163–173. DOI : 10.4310 / HHA.2002.v4.n1.a9 .
• Basterra, M .; Манделл, Массачусетс (июнь 2013 г.). «Умножение на БП» (PDF) . Журнал топологии . 6 (2): 285–310. arXiv : 1101.0023 . DOI : 10,1112 / jtopol / jts032 . S2CID   119652118 . Архивировано из оригинального (PDF) 06.02.2015.

Общие ссылки на родственные спектры

• Лурье, Дж. "Высшая алгебра" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 06.02.2015.
• Манделл, Массачусетс; May, JP; Schwede, S .; Шипли, Б. (2001). «Модельные категории диаграммных спектров» (PDF) . Proc. Лондонская математика. Soc . 82 (2): 441–512. DOI : 10.1112 / S0024611501012692 .
• Рихтер, Б. (2017). «Коммутативные кольцевые спектры». arXiv : 1710.02328 [ math.AT ].
• Шведе, С. (2001). «S-модули и симметричные спектры» (PDF) . Математика. Энн . 319 (3): 517–532. DOI : 10.1007 / PL00004446 . S2CID   6866612 .
• Шведе С. Шведе С. (2007). "Безымянный книжный проект о симметричных спектрах" (PDF) .