Когомология - Cohomology

В математике , особенно в теории гомологий и алгебраической топологии , когомологии - это общий термин для последовательности абелевых групп, связанных с топологическим пространством , часто определяемых из коцепного комплекса . Когомологии можно рассматривать как метод приписывания пространству более богатых алгебраических инвариантов, чем гомологии. Некоторые варианты когомологий возникают в результате дуализации конструкции гомологий. Другими словами, коцепи - это функции на группе цепей в теории гомологий.

С самого начала в топологии эта идея стала доминирующим методом в математике второй половины двадцатого века. Исходя из первоначальной идеи гомологии как метода построения алгебраических инвариантов топологических пространств, диапазон приложений теорий гомологий и когомологий распространился по всей геометрии и алгебре . Терминология имеет тенденцию скрывать тот факт, что когомологии, контравариантная теория, более естественны, чем гомологии во многих приложениях. На базовом уровне это связано с функциями и откатами в геометрических ситуациях: заданные пространства X и Y и некоторая функция F на Y , для любого отображения f  : XY композиция с f порождает функцию Fе на X . В наиболее важных теориях когомологий есть продукт, чашечный продукт , который придает им кольцевую структуру. Из-за этой особенности когомологии обычно более сильный инвариант, чем гомологии.

Особые когомологии

Сингулярные когомологии - мощный инвариант в топологии, связывающий градуированно-коммутативное кольцо с любым топологическим пространством. Каждое непрерывное отображение f : XY определяет гомоморфизм из кольца когомологий Y в кольцо X ; Это накладывает сильные ограничения на возможные карты из X в Y . В отличие от более тонких инвариантов, таких как гомотопические группы , кольцо когомологий имеет тенденцию быть вычислимым на практике для интересующих пространств.

Для топологического пространства X определение особых когомологий начинается с особого цепного комплекса :

По определению, сингулярные гомологии по X является гомологией этой цепной комплекс (ядро одного гомоморфизма по модулю образа предыдущего). Более подробно, C i - это свободная абелева группа на множестве непрерывных отображений из стандартного i -симплекса в X (называемых «сингулярными i -симплексами в X »), а ∂ i - это i- й граничный гомоморфизм. Группы C i равны нулю при отрицательном i .

Теперь зафиксируем абелеву группу A и заменим каждую группу C i ее двойственной группой и ее двойственным гомоморфизмом

Это дает эффект «перевертывания всех стрел» исходного комплекса, в результате чего остается комплекс коцепей.

Для целого я , то я й группы когомологий из X с коэффициентами в А определяется как кег ( д я ) / им ( д я -1 ) и обозначать H я ( X , A ). Группа H i ( X , A ) равна нулю при отрицательном i . Элементы называются сингулярным я -cochains с коэффициентами из A . (Эквивалентно i -цепь на X может быть отождествлена ​​с функцией из множества сингулярных i -симплексов в X в A. ) Элементы ker ( d ) и im ( d ) называются коциклами и кограницами соответственно, а элементы из ker ( d ) / im ( d ) = H i ( X , A ) называются классами когомологий (поскольку они являются классами эквивалентности коциклов).

В дальнейшем группа коэффициентов A иногда не записывается. Обычно A - коммутативное кольцо R ; то когомология R - модули . Стандартный выбор кольца Z из целых чисел .

Некоторые формальные свойства когомологий являются лишь второстепенными вариантами свойств гомологий:

  • Непрерывное отображение определяет прямой гомоморфизм на гомологиях и обратный гомоморфизм на когомологиях. Это превращает когомологии в контравариантный функтор от топологических пространств к абелевым группам (или R -модулям).
  • Два гомотопических отображения из X в Y индуцируют один и тот же гомоморфизм на когомологиях (так же, как и на гомологиях).
Связанное с этим утверждение , что для поля F , именно сопряженное пространство в векторном пространстве .

С другой стороны, когомологии имеют решающую структуру, которой нет в гомологиях: для любого топологического пространства X и коммутативного кольца R существует билинейное отображение , называемое чашечным произведением :

определяется явной формулой на сингулярных коцепях. Произведение классов когомологий u и v записывается как uv или просто как uv . Этот продукт приносит прямую сумму

в градуированное кольцо , называемое кольцо когомологий из X . Он является градуированно-коммутативным в том смысле, что:

Для любого непрерывного отображения Откат гомоморфизм градуированного R - алгебры . Отсюда следует, что если два пространства гомотопически эквивалентны , то их кольца когомологий изоморфны.

Вот некоторые из геометрических интерпретаций изделия из чашки. В дальнейшем под многообразиями подразумевается, что они не имеют края, если не указано иное. Замкнутое многообразие означает компактное многообразие (без краев), в то время как замкнутое подмногообразие N многообразий М означает подмногообразие , которое является замкнутым подмножеством из М , не обязательно компактное (хотя Н автоматически компактный , если М есть).

  • Пусть X - замкнутое ориентированное многообразие размерности n . Тогда двойственность Пуанкаре дает изоморфизм H я XH п - я X . В результате, замкнутое ориентированное подмногообразие S в коразмерности I в X определяет класс когомологий в H я X , называется [ S ]. В этих терминах чашечное произведение описывает пересечение подмногообразий. А именно, если S и T - подмногообразия коразмерности i и j, которые пересекаются трансверсально , то
где пересечение ST является подмногообразием коразмерности я + J , с ориентацией , определенной ориентацией S , T , и X . В случае гладких многообразий , если S и T не пересекаются в поперечном направлении, эту формулу все же можно использовать для вычисления чашеобразного произведения [ S ] [ T ] путем возмущения S или T, чтобы сделать пересечение поперечным.
В более общем смысле , не предполагая , что X имеет ориентацию, замкнутое подмногообразие X с ориентацией на ее нормальное расслоении определяет класс когомологий на X . Если Х представляет собой некомпактная многообразие, то замкнутое подмногообразие (не обязательно компактное) определяет класс когомологий на X . В обоих случаях чашечное произведение снова можно описать в терминах пересечения подмногообразий.
Отметим, что Том построил интегральный класс когомологий степени 7 на гладком 14-многообразии, который не является классом любого гладкого подмногообразия. С другой стороны, он показал, что каждый интегральный класс когомологий положительной степени на гладком многообразии имеет положительное кратное, являющееся классом гладкого подмногообразия. Кроме того, каждый интегральный класс когомологий на многообразии может быть представлен «псевдомногообразием», то есть симплициальным комплексом, который является многообразием вне замкнутого подмножества коразмерности не менее 2.
  • Для гладкого многообразия X , теорема де Рама говорит , что особая когомология X с вещественными коэффициентами изоморфно когомологий де Рама X , определенных с помощью дифференциальных форм . Чашечное изделие соответствует произведению дифференциальных форм. Эта интерпретация имеет то преимущество, что произведение на дифференциальных формах является градуированно-коммутативным, тогда как произведение на особых коцепях является только градуированно-коммутативным с точностью до цепной гомотопии . Фактически невозможно изменить определение сингулярных коцепей с коэффициентами в целых числах или в для простого числа p, чтобы сделать произведение градуированно-коммутативным на носу. Несостоятельность градуированной коммутативности на уровне коцепи приводит к операциям Стинрода на когомологиях mod p .

Очень неофициально, для любого топологического пространства X , элементы можно рассматривать как представлено коразмерности я подпространств X , которые могут свободно перемещаться по X . Например, один из способов определить элемент состоит в том, чтобы задать непрерывное отображение f из X в многообразие M и замкнутое подмногообразие N коразмерности i в M с ориентацией на нормальном расслоении. Неформально, один думает о результате класса , как лежащий на подпространстве в X ; это оправданно тем , что класс сужается до нуля в когомологиях открытого подмножества Когомологического класс может свободно передвигаться по X в том смысле , что N может быть заменен любой непрерывной деформацией N внутри M .

Примеры

В дальнейшем когомологии будут взяты с коэффициентами в целых числах Z , если не указано иное.

  • Кольцо когомологий точки - это кольцо Z степени 0. По гомотопической инвариантности это также кольцо когомологий любого стягиваемого пространства, такого как евклидово пространство R n .
  • Первая группа когомологий двумерного тора имеет базис, заданный классами двух показанных окружностей.
    Для положительного целого числа п , кольцо когомологий из сферы является Z [ х ] / ( х 2 ) (далее фактор - кольцо из кольца многочленов по данному идеалу ), причем х в степени п . В терминах двойственности Пуанкаре, как указано выше, x - это класс точки на сфере.
  • Кольцо когомологий тора - это внешняя алгебра над Z на n образующих в степени 1. Например, пусть P обозначает точку в окружности , а Q - точку ( P , P ) в 2-мерном торе . Тогда когомологии ( S 1 ) 2 имеют базис в виде свободного Z -модуля вида: элемент 1 в степени 0, x  : = [ P × S 1 ] и y  : = [ S 1 × P ] в степени 1, и xy = [ Q ] в степени 2. (Неявно, ориентации тора и двух окружностей были здесь фиксированы.) Обратите внимание, что yx = - xy = - [ Q ], в силу градуированной коммутативности.
  • В более общем смысле, пусть R - коммутативное кольцо, а X и Y - любые топологические пространства такие, что H * ( X , R ) - конечно порожденный свободный R -модуль в каждой степени. (Никаких предположений не требуется на Y ) . Тогда формула Кюннета дает , что кольцо когомологий продукта пространства X × Y представляет собой тензорное произведение в R -алгебрами:
  • Кольцо когомологий вещественного проективного пространства RP n с коэффициентами Z / 2 есть Z / 2 [ x ] / ( x n +1 ), где x имеет степень 1. Здесь x - класс гиперплоскости RP n −1 в RP n. ; это имеет смысл, даже если RP j не ориентируем для четного и положительного j , потому что двойственность Пуанкаре с коэффициентами Z / 2 работает для произвольных многообразий.
С целыми коэффициентами ответ немного сложнее. Z когомологии из RP 2 имеет элемент у степени 2 таким образом, что вся когомология есть прямая сумма копии Z , натянутая на элементе 1 в степени 0 вместе с копиями Z / 2 , натянутых на элементах у я для i = 1, ..., a . Z когомологий из RP 2 +1 то же самое вместе с дополнительной копией Z в степени 2 +1.
  • Кольцо когомологий комплексного проективного пространства CP n - это Z [ x ] / ( x n +1 ), где x имеет степень 2. Здесь x - класс гиперплоскости CP n −1 в CP n . В более общем смысле, x j - это класс линейного подпространства CP n - j в CP n .
  • Кольцо когомологий замкнутой ориентированной поверхности X из рода г ≥ 0 имеет базис как свободный Z - модуль формы: элемент 1 в степени 0, A 1 , ..., г и В 1 , ... , B g степени 1 и класс P точки степени 2. Произведение определяется следующим образом: A i A j = B i B j = 0 для всех i и j , A i B j = 0, если ij , и A i B i = P для всех i . По градуированной коммутативности, то отсюда следует , что Б я я = - Р .
  • В любом топологическом пространстве из градуированной коммутативности кольца когомологий следует, что 2 x 2 = 0 для всех классов когомологий x нечетной степени . Отсюда следует, что для кольца R, содержащего 1/2, все элементы нечетной степени H * ( X , R ) имеют нулевой квадрат. С другой стороны, элементы нечетной степени не обязательно должны иметь нулевой квадрат, если R равно Z / 2 или Z , как видно в примере RP 2 (с коэффициентами Z / 2) или RP 4 × RP 2 (с коэффициентами Z ). .

Диагональ

Чашечное произведение на когомологиях можно рассматривать как выходящее из диагонального отображения Δ: XX × X , x ↦ ( x , x ). А именно, для любых пространств X и Y с классами когомологий uH i ( X , R ) и vH j ( Y , R ) существует класс когомологий u × vH i + внешнего произведения (или перекрестного произведения ) j ( X × Y , R ). Чашечное произведение классов uH i ( X , R ) и vH j ( X , R ) можно определить как откат внешнего произведения по диагонали:

В качестве альтернативы внешний продукт может быть определен как чашечный продукт. Для пространств X и Y напишите f : X × YX и g : X × YY для двух проекций. Тогда внешнее произведение классов uH i ( X , R ) и vH j ( Y , R ) есть:

Двойственность Пуанкаре

Другая интерпретация двойственности Пуанкаре состоит в том, что кольцо когомологий замкнутого ориентированного многообразия самодвойственно в сильном смысле. А именно, пусть X - замкнутое связное ориентированное многообразие размерности n , а F - поле. Тогда H n ( X , F ) изоморфно F и произведение

является идеальным спаривание для любого целого I . В частности, векторные пространства H i ( X , F ) и H n - i ( X , F ) имеют одинаковую (конечную) размерность. Кроме того, продукт по интегральной гомологии по модулю кручения со значениями в Н п ( Х , Z ) ≅ Z представляет собой идеальное сопряжение над Z .

Характерные классы

Ориентированное вещественное векторное расслоение E ранга r над топологическим пространством X определяет класс когомологий на X , класс Эйлера χ ( E ) ∈ H r ( X , Z ). Неформально, класс Эйлера является классом нулевого множества общего сечения из Е . Такое толкование может быть сделано более явным , когда Е представляет собой гладкое векторное расслоение над гладким многообразием X , так как тогда общий гладкий участок X обращается в нуль на коразмерности г подмногообразия X .

Есть несколько других типов характеристических классов для векторных расслоений , которые принимают значения в когомологиях, включая классы Черна , классы Штифеля-Уитни , и классы Понтрягина .

Пространства Эйленберга – Маклейна

Для каждой абелевой группы A и натурального числа j существует пространство , j -я гомотопическая группа которого изоморфна A, а остальные гомотопические группы равны нулю. Такое пространство называется пространством Эйленберга – Маклейна . Это пространство обладает тем замечательным свойством, что оно является классифицирующим пространством для когомологий: существует естественный элемент u из , и каждый класс когомологий степени j на каждом пространстве X является обратным отображением u посредством некоторого непрерывного отображения . Точнее, откат класса u дает биекцию

для любого пространства X с гомотопическим типом CW-комплекса. Здесь обозначено множество гомотопических классов непрерывных отображений из X в Y .

Например, пространство (определенное с точностью до гомотопической эквивалентности) можно принять за круг . Итак, в приведенном выше описании говорится, что каждый элемент из класса u точки на некоторой карте .

Существует похожее описание первых когомологий с коэффициентами в любой абелевой группе А , скажем , для комплексного CW X . А именно, находится во взаимно однозначное соответствие с множеством классов изоморфизма Галуа охватывающих пространством из X с группой А , называемым также основные -расслоениями над X . Для Й подключено, то отсюда следует , что изоморфно , где есть фундаментальная группа из X . Например, классифицирует двойное накрытие пространства X , с элементом , соответствующей тривиальному двойным покрытием, несвязное объединение двух экземпляров X .

Крышка продукта

Для любого топологического пространства X , то крышка произведение является билинейной карта

для любых целых чисел я и J и любого коммутативного кольца R . Полученная карта

делает сингулярную гомологию X в модуль над сингулярным кольцом когомологий X .

При i = j заглавное произведение дает естественный гомоморфизм

который является изоморфизмом для R a поля.

Например, пусть X - ориентированное многообразие, не обязательно компактное. Тогда замкнутое ориентированное подмногообразие Y коразмерности i в X (не обязательно компактное) определяет элемент H i ( X , R ), а компактное ориентированное j -мерное подмногообразие Z в X определяет элемент H j ( X , R ) . Конечное произведение [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H j - i ( X , R ) может быть вычислено путем возмущения Y и Z, чтобы они пересекались трансверсально, а затем взятия класса их пересечения, которое является компактным ориентированным подмногообразием размерности j - я .

Замкнутое ориентированное многообразие X размерности n имеет фундаментальный класс [ X ] в H n ( X , R ). Изоморфизм двойственности Пуанкаре

определяется крышкой продукта с основным классом X .


История, к рождению сингулярных когомологий

Хотя когомологии являются фундаментальными для современной алгебраической топологии, их важность не осознавалась в течение примерно 40 лет после развития гомологии. Концепция дуальной клеточной структуры , которую Анри Пуанкаре использовал в своем доказательстве своей теоремы двойственности Пуанкаре, содержала росток идеи когомологий, но это проявилось лишь позже.

Существовали различные предшественники когомологий. В середине 1920-х годов Дж. В. Александер и Соломон Лефшец основали теорию пересечений циклов на многообразиях. На замкнутом ориентированном п - мерное многообразие М , я -цикл и J -цикл с непустым пересечением будет, если в общем положении , имеет пересечение с ( я  +  J  -  п ) - цикла. Это приводит к умножению классов гомологии

которые в ретроспективе можно идентифицировать с продуктом чашки на когомологиях M .

К 1930 году Александр определил первое понятие коцепи, рассматривая i -коцепь в пространстве X как функцию на малых окрестностях диагонали в X i +1 .

В 1931 году Жорж де Рам связал гомологии и дифференциальные формы, доказав теорему де Рама. Этот результат можно более просто сформулировать в терминах когомологий.

В 1934 году Лев Понтрягин доказал теорему двойственности Понтрягина ; результат о топологических группах . Это (в довольно частных случаях) обеспечило интерпретацию двойственности Пуанкаре и двойственности Александера в терминах групповых характеров .

В 1935 - конференции в Москве , А. Н. Колмогорова и Александра и введены когомологического и попытался построить структуру когомологий продукта.

В 1936 году Норман Стинрод построил когомологии Чеха , дуализируя гомологии Чеха.

С 1936 по 1938 год Хасслер Уитни и Эдуард Чех разработали чашечное изделие (превращение когомологий в градуированное кольцо) и колпачок и поняли, что двойственность Пуанкаре может быть выражена в терминах колпачкового продукта. Их теория все еще ограничивалась конечными клеточными комплексами.

В 1944 году Самуэль Эйленберг преодолел технические ограничения и дал современное определение сингулярных гомологий и когомологий.

В 1945 году Эйленберг и Стинрод сформулировали аксиомы, определяющие теорию гомологий или когомологий, которые обсуждаются ниже. В своей книге 1952 года « Основы алгебраической топологии» они доказали, что существующие теории гомологий и когомологий действительно удовлетворяют их аксиомам.

В 1946 году Жан Лере определил когомологии пучков.

В 1948 году Эдвин Спаниер , опираясь на работы Александра и Колмогорова, разработал когомологии Александера – Спаниера .

Когомологии пучков

Когомологии пучков - это богатое обобщение сингулярных когомологий, допускающее более общие «коэффициенты», чем просто абелева группа. Для каждого пучка абелевых групп E на топологическом пространстве X существуют группы когомологий H i ( X , E ) для целых чисел i . В частности, в случае постоянного пучка на X, ассоциированного с абелевой группой A , полученные группы H i ( X , A ) совпадают с сингулярными когомологиями для X, многообразия или CW-комплекса (но не для произвольных пространств X ). Начиная с 1950-х годов когомологии пучков стали центральной частью алгебраической геометрии и комплексного анализа , отчасти из-за важности пучка регулярных функций или пучка голоморфных функций .

Гротендик элегантно определил и охарактеризовал когомологии пучков на языке гомологической алгебры . Существенный момент состоит в том, чтобы зафиксировать пространство X и рассматривать когомологии пучков как функтор от абелевой категории пучков на X к абелевым группам. Начнем с того, что функтор переводит пучок E на X в его абелеву группу глобальных сечений над X , E ( X ). Этот функтор точен слева , но не обязательно справа. Гротендик определил группы когомологий пучков как правые производные функторы левого точного функтора EE ( X ).

Это определение предполагает различные обобщения. Например, можно определить когомологии топологического пространства X с коэффициентами в любом комплексе пучков, ранее называемых гиперкогомологиями (но теперь обычно просто «когомологиями»). С этой точки зрения когомологии пучков становятся последовательностью функторов из производной категории пучков на X в абелевы группы.

В широком смысле слова «когомологии» часто используются для правых производных функторов точного слева функтора на абелевой категории, в то время как «гомологии» используются для левых производных функторов точного справа функтора. Например, для кольца R , то Tor группы Тор я Р ( М , N ) образуют «теорию гомологии» в каждой переменной, левая производные функторы тензорного произведения МR Н из R -модулями. Аналогично, группы Ext Ext i R ( M , N ) можно рассматривать как «теорию когомологий» по каждой переменной, правым производным функторам функтора Hom Hom R ( M , N ).

Когомологии пучков можно отождествить с типом группы Ext. А именно, для пучка E на топологическом пространстве X , H i ( X , E ) изоморфен Ext i ( Z X , E ), где Z X обозначает постоянный пучок, связанный с целыми числами Z , а Ext берется в абелева категория пучков на X .

Когомологии многообразий

Для вычисления когомологий алгебраических многообразий построено множество машин. Простейший случай - определение когомологий гладких проективных многообразий над полем характеристики . Инструменты теории Ходжа, называемые структурами Ходжа, помогают производить вычисления когомологий этих типов многообразий (с добавлением более точной информации). В простейшем случае когомологии гладкой гиперповерхности в могут быть определены только по степени полинома.

При рассмотрении многообразий над конечным полем или полем характеристик требуются более мощные инструменты, поскольку классические определения гомологий / когомологий не работают. Это потому, что многообразия над конечными полями будут только конечным набором точек. Гротендик выступил с идеей топологии Гротендика и использовал когомологии пучков над этальной топологией, чтобы определить теорию когомологий для многообразий над конечным полем. Используя этальную топологию для многообразия над полем характеристики, можно построить -адические когомологии для . Это определяется как

Если у нас есть схема конечного типа

тогда существует равенство размерностей когомологий Бетти поля и -адических когомологий, если многообразие гладко над обоими полями. В дополнение к этим теориям когомологий существуют другие теории когомологий, называемые теориями когомологий Вейля, которые ведут себя аналогично сингулярным когомологиям. Существует предполагаемая теория мотивов, лежащая в основе всех теорий когомологий Вейля.

Еще один полезный вычислительный инструмент - последовательность взрыва. Для данной подсхемы коразмерности существует декартов квадрат

Отсюда возникает связанная длинная точная последовательность

Если подмногообразие гладкое, то все связывающие морфизмы тривиальны, поэтому

Аксиомы и обобщенные теории когомологий

Существуют различные способы определения когомологий топологических пространств (например, сингулярные когомологии, Чех , Александр Спеньер когомологий или пучок когомологий ). (Здесь когомологии пучков рассматриваются только с коэффициентами в постоянном пучке.) Эти теории дают разные ответы для некоторых пространств, но есть большой класс пространств, в котором все они согласны. Это легче всего понять аксиоматически: существует список свойств, известный как аксиомы Эйленберга – Стинрода , и любые две конструкции, которые разделяют эти свойства, будут согласовываться, по крайней мере, по всем комплексам CW. Существуют версии аксиом как для теории гомологий, так и для теории когомологий. Некоторые теории можно рассматривать как инструменты для вычисления сингулярных когомологий для специальных топологических пространств, таких как симплициальные когомологии для симплициальных комплексов , клеточные когомологии для комплексов CW и когомологии де Рама для гладких многообразий.

Одной из аксиом Эйленберга – Стинрода для теории когомологий является аксиома размерности : если P - единственная точка, то H i ( P ) = 0 для всех i 0. Примерно в 1960 году Джордж Уайтхед заметил, что это полезно для полностью опустить аксиому размерности: это дает понятие обобщенной теории гомологий или обобщенной теории когомологий, определяемое ниже. Существуют обобщенные теории когомологий, такие как K-теория или комплексный кобордизм, которые дают богатую информацию о топологическом пространстве, недоступную напрямую из сингулярных когомологий. (В этом контексте особые когомологии часто называют «обычными когомологиями».)

По определению обобщенная теория гомологий - это последовательность функторов h i (для целых i ) из категории CW- пар ( XA ) (так что X - комплекс CW, а A - подкомплекс) в категорию абелевых групп вместе с естественным преобразованиемi : h i ( X , A ) → h i −1 ( A ), называемым граничным гомоморфизмом (здесь h i −1 ( A ) - сокращение для h i −1 ( A , ∅) ). Аксиомы следующие:

  1. Гомотопия : если гомотопно , то индуцированные гомоморфизмы на гомологиях такие же.
  2. Точность : каждая пара ( X , A ) индуцирует длинную точную последовательность в гомологиях через включения f : AX и g : ( X , ∅) → ( X , A ):
  3. Исключение : если X - объединение подкомплексов A и B , то включение f : ( A , A B ) → ( X , B ) индуцирует изоморфизм
    для каждого i .
  4. Аддитивность : если ( X , A ) - несвязное объединение набора пар ( X α , A α ), то включения ( X α , A α ) → ( X , A ) индуцируют изоморфизм прямой суммы :
    для каждого i .

Аксиомы обобщенной теории когомологий получаются, грубо говоря, обращением стрелок. Более подробно, обобщенная теория когомологий - это последовательность контравариантных функторов h i (для целых i ) из категории CW-пар в категорию абелевых групп вместе с естественным преобразованием d : h i ( A ) → h i +1 ( X , A ) называется граничным гомоморфизмом (записывая h i ( A ) вместо h i ( A , ∅)). Аксиомы следующие:

  1. Гомотопия : гомотопические отображения индуцируют тот же гомоморфизм на когомологиях.
  2. Точность : каждая пара ( X , A ) индуцирует длинную точную последовательность в когомологиях через включения f : AX и g : ( X , ∅) → ( X , A ):
  3. Исключение : если X - объединение подкомплексов A и B , то включение f : ( A , A B ) → ( X , B ) индуцирует изоморфизм
    для каждого i .
  4. Аддитивность : если ( X , A ) является дизъюнктным объединением набора пар ( X α , A α ), то включения ( X α , A α ) → ( X , A ) индуцируют изоморфизм к группе произведений :
    для каждого i .

Спектр определяет как обобщенную теорию гомологии и обобщенную теорию когомологий. Фундаментальный результат Брауна, Уайтхеда и Адамса гласит, что каждая обобщенная теория гомологий исходит из спектра, и аналогично каждая обобщенная теория когомологий исходит из спектра. Это обобщает представимость обычных когомологий пространствами Эйленберга – Маклейна.

Тонким моментом является то, что функтор от стабильной гомотопической категории (гомотопической категории спектров) до обобщенных теорий гомологии на CW-парах не является эквивалентностью, хотя и дает биекцию на классах изоморфизмов; в стабильной гомотопической категории существуют ненулевые отображения (называемые фантомными отображениями ), которые индуцируют нулевое отображение между теориями гомологий на CW-парах. Точно так же функтор из стабильной гомотопической категории в обобщенные теории когомологий на CW-парах не является эквивалентностью. Именно стабильная гомотопическая категория, а не эти другие категории, обладает хорошими свойствами, такими как триангуляция .

Если кто-то предпочитает, чтобы теории гомологий или когомологий были определены на всех топологических пространствах, а не на комплексах CW, одним из стандартных подходов является включение аксиомы о том, что каждая слабая гомотопическая эквивалентность индуцирует изоморфизм на гомологиях или когомологиях. (Это верно для сингулярных гомологий или сингулярных когомологий, но не для когомологий пучков, например.) Поскольку каждое пространство допускает слабую гомотопическую эквивалентность из комплекса CW, эта аксиома сводит теории гомологий или когомологий на всех пространствах к соответствующей теории на CW комплексы.

Некоторые примеры обобщенных теорий когомологий:

  • Стабильные когомотопические группы Чаще используется соответствующая теория гомологий: стабильные гомотопические группы
  • Различные разновидности групп кобордизмов , основанные на изучении пространства путем рассмотрения всех отображений из него в многообразия: неориентированный кобордизм, ориентированный кобордизм, комплексный кобордизм и т. Д. Комплексный кобордизм оказался особенно мощным в теории гомотопий. Это тесно связано с формальными группами через теорему Даниэля Квиллена .
  • Различные разновидности топологической K-теории , основанные на изучении пространства путем рассмотрения всех векторных расслоений над ним: (реальная периодическая K-теория), (реальная связная K-теория), (комплексная периодическая K-теория), (комплексная связка K -теория) и так далее.
  • Когомологии Брауна – Петерсона , K-теория Моравы, E-теория Моравы и другие теории, построенные на комплексных кобордизмах.
  • Различные разновидности эллиптических когомологий .

Многие из этих теорий содержат более богатую информацию, чем обычные когомологии, но их труднее вычислить.

Теория когомологий Е называется мультипликативным , если имеет структуру градуированного кольца для каждого пространства X . На языке спектров есть несколько более точных понятий кольцевого спектра , например, кольцевой спектр E , где произведение коммутативно и ассоциативно в сильном смысле.

Другие теории когомологий

Теории когомологий в более широком смысле (инварианты других алгебраических или геометрических структур, а не топологических пространств) включают:

Смотрите также

Цитаты

использованная литература