Геометрическая топология - Geometric topology

Сеиферт поверхность , ограниченную набором Борромеевы колец ; эти поверхности могут использоваться как инструменты в геометрической топологии.

В математике , геометрическая топология является изучение многообразия и карты между ними, в частности , вложения одного многообразия в другое.

История

Можно сказать, что геометрическая топология как область, отличная от алгебраической топологии , возникла в 1935 году в классификации линзовых пространств с помощью кручения Рейдемейстера , который требовал различения пространств, которые гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны . Отсюда возникла простая теория гомотопии . Использование термина геометрическая топология для их описания, по-видимому, возникло сравнительно недавно.

Различия между низкоразмерной и высокоразмерной топологией

Коллекторы радикально различаются по поведению в больших и малых размерах.

Топология высокой размерности относится к многообразиям размерности 5 и выше или, в относительных терминах, вложениям в коразмерности 3 и выше. Низкоразмерная топология связана с вопросами размерности до 4 или вложениями в коразмерности до 2.

Размерность 4 является особенной в том, что в некоторых отношениях (топологически) размерность 4 является многомерной, в то время как в других отношениях (дифференцированно) размерность 4 является низкоразмерной; это перекрытие приводит к явлениям, исключительным для размерности 4, таким как экзотические дифференцируемые структуры на R 4 . Таким образом, топологическая классификация 4-многообразий в принципе проста, и ключевые вопросы заключаются в следующем: допускает ли топологическое многообразие дифференцируемую структуру, и если да, то сколько? Примечательно, что гладкий случай размерности 4 является последним открытым случаем обобщенной гипотезы Пуанкаре ; см. Глюковские повороты .

Различие состоит в том, что теория хирургии работает в размерности 5 и выше (на самом деле, она работает топологически в размерности 4, хотя это очень сложно доказать), и, таким образом, поведение многообразий в размерности 5 и выше алгебраически контролируется теорией хирургии. В размерности 4 и ниже (топологически в размерности 3 и ниже) теория хирургии не работает, и возникают другие явления. В самом деле, один из подходов к обсуждению низкоразмерных многообразий состоит в том, чтобы спросить, «что, согласно предсказаниям теории хирургии, будет правдой, если бы это сработало?» - а затем понимать низкоразмерные явления как отклонения от этого.

Трюк Уитни требует 2 + 1 размеров, следовательно , теория хирургии требует 5 размеров.

Точная причина различия в размерности 5 заключается в том, что теорема вложения Уитни , ключевой технический прием, лежащий в основе теории хирургии, требует 2 + 1 измерений. Грубо говоря, трюк Уитни позволяет «развязать» завязанные сферы, точнее, убрать самопересечения погружений; он делает это через гомотопию диска - диск имеет 2 измерения, а гомотопия добавляет еще 1 - и, таким образом, в коразмерности больше 2 это может быть сделано без пересечения самого себя; следовательно, вложения коразмерности больше 2 можно понять с помощью хирургии. В теории хирургии ключевой шаг находится в среднем измерении, и, таким образом, когда среднее измерение имеет коразмерность больше 2 (примерно 2½ достаточно, следовательно, всего 5 достаточно), трюк Уитни работает. Ключевым следствием этого является теорема Смейла о h- кобордизме , которая работает в размерности 5 и выше и составляет основу теории хирургии.

Модификация трюка Уитни может работать в четырех измерениях и называется ручками Кассона - поскольку измерений недостаточно, диск Уитни вводит новые перегибы, которые могут быть устранены другим диском Уитни, что приводит к последовательности («башня») дисков. Предел этой башни дает топологическое, но недифференцируемое отображение, поэтому операция работает топологически, но не дифференцируемо в размерности 4.

Важные инструменты в геометрической топологии

Фундаментальная группа

Во всех измерениях фундаментальная группа многообразия является очень важным инвариантом и определяет большую часть структуры; в размерностях 1, 2 и 3 возможные фундаментальные группы ограничены, в то время как в размерности 4 и выше каждая конечно представленная группа является фундаментальной группой многообразия (заметьте, что достаточно показать это для 4- и 5-мерных многообразий, а потом брать продукты со сферами, чтобы получить более высокие).

Ориентируемость

Многообразие ориентируемо, если оно имеет последовательный выбор ориентации , а связное ориентируемое многообразие имеет ровно две различные возможные ориентации. В этом случае могут быть даны различные эквивалентные формулировки ориентируемости, в зависимости от желаемого применения и уровня общности. Формулировки, применимые к общим топологическим многообразиям, часто используют методы теории гомологии , тогда как для дифференцируемых многообразий присутствует больше структуры, позволяющая формулировать в терминах дифференциальных форм . Важным обобщением понятия ориентируемости пространства является понятие ориентируемости семейства пространств, параметризованных каким-либо другим пространством ( расслоением слоев ), для которого необходимо выбрать ориентацию в каждом из пространств, которая непрерывно изменяется по отношению к изменениям в значения параметров.

Обработка разложения

Тройной шар с тремя прикрепленными ручками.

Разложение ручки из т - многообразие М является объединением

где каждый получаются из по прикреплению - ручки . Ручная декомпозиция для многообразия - это то же самое, что CW-разложение для топологического пространства - во многих отношениях цель декомпозиции ручки состоит в том, чтобы иметь язык, аналогичный CW-комплексам, но адаптированный к миру гладких многообразий . Таким образом, i- рукоятка является гладким аналогом i -ячейки. Ручные разложения многообразий возникают естественным образом с помощью теории Морса . Модификация конструкции ручки тесно связана с теорией Серфа .

Местная плоскостность

Локальная плоскостность - это свойство подмногообразия в топологическом многообразии большей размерности . В категории топологических многообразий локально плоские подмногообразия играют роль, аналогичную роли вложенных подмногообразий в категории гладких многообразий .

Предположим, что d- мерное многообразие N вложено в n- мерное многообразие M (где d < n ). Если мы говорим , N является локально плоским в х , если существует окрестность из й таких , что топологическая пары является гомеоморфно паре со стандартным включением в качестве подпространства . То есть, существует гомеоморфизм такая , что изображения в совпадает с .

Теоремы Шенфлиса

Обобщенные Шенфлиса теорема гласит , что, если ( п  - 1) -мерная сфера S вкладывается в п - мерной сферы S п в локально плоском пути (то есть, вложение распространяется на том , что из утолщенной области), то пара ( S nS ) гомеоморфна паре ( S n , S n −1 ), где S n −1 - экватор n -сферы. Браун и Мазур получили премию Веблена за независимые доказательства этой теоремы.

Ветви геометрической топологии

Низкоразмерная топология

Низкоразмерная топология включает:

у каждого своя теория, где есть какие-то связи.

Низкоразмерная топология является строго геометрической, что отражено в теореме униформизации в двух измерениях - каждая поверхность допускает метрику постоянной кривизны; геометрически он имеет одну из 3 возможных геометрий: положительная кривизна / сферическая, нулевая кривизна / плоская, отрицательная кривизна / гиперболическая - и гипотеза геометризации (теперь теорема) в 3 измерениях - каждое 3-многообразие можно разрезать на части, каждая из которых имеет одну из 8 возможных геометрий.

2-мерную топологию можно изучать как сложную геометрию с одной переменной (римановы поверхности - это комплексные кривые) - по теореме униформизации каждый конформный класс метрик эквивалентен единственному комплексному, а 4-мерную топологию можно изучать с точки зрения с точки зрения сложной геометрии двух переменных (комплексные поверхности), хотя не каждое 4-многообразие допускает сложную структуру.

Теория узлов

Теория узлов - это изучение математических узлов . Узел математика, вдохновленный узлами, которые появляются в повседневной жизни на шнурках и веревках, отличается тем, что концы соединены вместе, так что его нельзя развязать. На математическом языке, узел является вложением из круга в 3-мерном евклидовом пространстве , R 3 (так как мы используем топологию, круг не связан с классической геометрической концепции, но все его гомеоморфизмах ). Два математических узла эквивалентны, если один может быть преобразован в другой посредством деформации R 3 на самом себе (известной как окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной нитью, которые не связаны с разрезанием нити или пропусканием нити через себя.

Чтобы глубже понять, математики обобщили концепцию узла несколькими способами. Узлы можно рассматривать в других трехмерных пространствах, и можно использовать объекты, отличные от окружностей; см. узел (математика) . Узлы более высокой размерности - это n -мерные сферы в m -мерном евклидовом пространстве.

Геометрическая топология высокой размерности

В многомерной топологии характеристические классы являются основным инвариантом, а теория хирургии - ключевой теорией.

Характеристический класс представляет собой способ связывания с каждым главным расслоением на топологическом пространстве X в когомологический классе X . Класс когомологий измеряет степень "скрученности" связки - в частности, есть ли у нее секции или нет. Другими словами, характеристические классы - это глобальные инварианты, которые измеряют отклонение локальной структуры продукта от глобальной структуры продукта. Они являются одним из объединяющих геометрических понятий в алгебраической топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии .

Теория хирургии - это набор методов, используемых для создания одного многообразия из другого «контролируемым» способом, введенный Милнором  ( 1961 ). Хирургия заключается в вырезании частей коллектора и замене их частью другого коллектора, совмещая их вдоль разреза или границы. Это тесно связано с разложением корпуса ручки , но не идентично ему. Это основной инструмент в изучении и классификации многообразий размерности больше 3.

С технической точки зрения, идея состоит в том, чтобы начать с хорошо изученного многообразия M и провести на нем операцию, чтобы получить многообразие M ′, обладающее некоторым желаемым свойством, таким образом, чтобы эффекты на гомологии , гомотопические группы или другие интересные инварианты многообразие известно.

Классификация экзотических сфер по Керверу и Милнору  ( 1963 ) привела к появлению теории перестроек в качестве основного инструмента в многомерной топологии.

Смотрите также

использованная литература

  • РБ Шер и Р. Дж. Даверман (2002), Справочник по геометрической топологии , Северная Голландия. ISBN  0-444-82432-4 .