Изделие из чашки - Cup product

В математике , особенно в алгебраической топологии , чашеобразное произведение - это метод соединения двух коциклов степени p и q для образования составного коцикла степени p + q . Это определяет ассоциативную (и дистрибутивную) операцию градуированного коммутативного произведения в когомологиях, превращающую когомологии пространства X в градуированное кольцо H ^∗ ( X ), называемое кольцом когомологий . Чашечный продукт был представлен в работах Дж. В. Александра , Эдуарда Чеха и Хасслера Уитни в 1935–1938 гг. И, в общем, Самуэля Эйленберга в 1944 г.

Определение

В сингулярных когомологий , то продукт чашка представляет собой конструкцию , что дает продукт на градуированной кольца когомологий Н ^* ( Х ) из топологического пространства X .

Построение начинается с произведения коцепей : если является p -коцепью и является q -коцепью, то ${\ displaystyle \ alpha ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ beta ^ {q}}$

{\ displaystyle (\ alpha ^ {p} \ smile \ beta ^ {q}) (\ sigma) = \ alpha ^ {p} (\ sigma \ circ \ iota _ {0,1, ... p}) \ cdot \ beta ^ {q} (\ sigma \ circ \ iota _ {p, p + 1, ..., p + q})}

где σ - особый ( p + q ) - симплекс и - каноническое вложение симплекса, натянутого на S, в -симплекс, вершины которого индексируются . ${\ displaystyle \ iota _ {S}, S \ subset \ {0,1, ..., p + q \}}$ ${\ Displaystyle (п + д)}$ ${\ displaystyle \ {0, ..., p + q \}}$

Неформально, представляет собой P -го передняя поверхность и является д -я задняя поверхность из а, соответственно. ${\ Displaystyle \ sigma \ circ \ iota _ {0,1, ..., p}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ circ \ iota _ {p, p + 1, ..., p + q}}$

Кограница из чашки продукта коцепей и даются ${\ displaystyle \ alpha ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ beta ^ {q}}$

{\ displaystyle \ delta (\ alpha ^ {p} \ smile \ beta ^ {q}) = \ delta {\ alpha ^ {p}} \ smile \ beta ^ {q} + (- 1) ^ {p} ( \ alpha ^ {p} \ smile \ delta {\ beta ^ {q}}).}

Чашечное произведение двух коциклов снова является коциклом, а произведение кограницы с коциклом (в любом порядке) является кограницей. Операция произведения чашки индуцирует билинейную операцию над когомологиями,

{\ Displaystyle H ^ {p} (X) \ times H ^ {q} (X) \ to H ^ {p + q} (X).}

Характеристики

Операция произведения чашки в когомологиях удовлетворяет тождеству

{\ displaystyle \ alpha ^ {p} \ smile \ beta ^ {q} = (- 1) ^ {pq} (\ beta ^ {q} \ smile \ alpha ^ {p})}

так что соответствующее умножение будет градуированно-коммутативным .

Продукт чашки функториален , в следующем смысле: если

{\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}

- непрерывная функция, а

{\ displaystyle f ^ {*} \ двоеточие H ^ {*} (Y) \ to H ^ {*} (X)}

индуцированный гомоморфизм в когомологиях, то

{\ Displaystyle е ^ {*} (\ альфа \ улыбка \ бета) = е ^ {*} (\ альфа) \ улыбка е ^ {*} (\ бета),}

для всех классов α, β в H ^* ( Y ). Другими словами, f ^* - (градуированный) кольцевой гомоморфизм .

Интерпретация

Можно рассматривать чашечный продукт как индуцированный из следующего состава: ${\ Displaystyle \ улыбка \ двоеточие H ^ {p} (X) \ times H ^ {q} (X) \ to H ^ {p + q} (X)}$

${\ displaystyle \ displaystyle C ^ {\ bullet} (X) \ times C ^ {\ bullet} (X) \ to C ^ {\ bullet} (X \ times X) {\ overset {\ Delta ^ {*}} {\ to}} C ^ {\ bullet} (X)}$

в терминах цепных комплексов из и , где первая карта является карта Кюннета , а второй представляет собой отображение , индуцированное диагонали . ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X \ раз X}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ двоеточие X \ в X \ раз X}$

Эта композиция переходит в частное, чтобы получить четко определенную карту с точки зрения когомологий, это произведение чашки. Этот подход объясняет существование чашеобразного продукта для когомологий, но не для гомологии: индуцирует отображение, но также индуцирует отображение , которое идет неверным путем, чтобы мы могли определить продукт. Однако это полезно для определения продукта крышки . ${\ Displaystyle \ Delta \ двоеточие X \ в X \ раз X}$ ${\ Displaystyle \ Delta ^ {*} \ двоеточие H ^ {\ bullet} (X \ times X) \ to H ^ {\ bullet} (X)}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {*} \ двоеточие H _ {\ bullet} (X) \ to H _ {\ bullet} (X \ times X)}$

Билинейность следует из презентации продукта чашки, то есть и ${\ displaystyle (u_ {1} + u_ {2}) \ smile v = u_ {1} \ smile v + u_ {2} \ smile v}$ ${\ displaystyle u \ smile (v_ {1} + v_ {2}) = u \ smile v_ {1} + u \ smile v_ {2}.}$

Примеры

Чашечные произведения можно использовать, чтобы отличать многообразия от клиньев пространств с одинаковыми группами когомологий. Пространство имеет те же группы когомологий, что и тор T , но с другим чашечным произведением. В случае X умножение коцепей, связанных с копиями, является вырожденным, тогда как в T умножение в первой группе когомологий можно использовать для разложения тора как двухклеточной диаграммы, таким образом, имея произведение, равное Z (в более общем смысле M, где это базовый модуль). ${\ Displaystyle X: = S ^ {2} \ vee S ^ {1} \ vee S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Другие определения

Чашечное изделие и дифференциальные формы

В когомологиях де Рама чашечное произведение дифференциальных форм индуцируется произведением клина . Другими словами, произведение двух замкнутых дифференциальных форм на клин принадлежит классу де Рама чашеобразного произведения двух исходных классов де Рама.

Изделие чашки и геометрические пересечения

Номер ссылки может быть определен в терминах неисчезающего продукта чашки в дополнении ссылки. Дополнение этих двух связанных окружностей деформация втягивается в тор, имеющий неисчезающую чашечку.

Для ориентированных многообразий существует геометрическая эвристика, согласно которой «чашеобразное произведение двойственно пересечениям».

Действительно, пусть - ориентированное гладкое многообразие размерности . Если два подмногообразия коразмерности и трансверсально пересекаются , то их пересечение снова является подмногообразием коразмерности . Взяв образы фундаментальных классов гомологии этих многообразий при включении, можно получить билинейное произведение на гомологиях. Это произведение двойственно по Пуанкаре чашечному произведению в том смысле, что взяв пары Пуанкаре, имеет место следующее равенство: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle A, B}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle A \ cap B}$ ${\ displaystyle i + j}$ ${\ displaystyle [A] ^ {*}, [B] ^ {*} \ in H ^ {i}, H ^ {j}}$

${\ Displaystyle [A] ^ {*} \ улыбка [B] ^ {*} = [A \ cap B] ^ {*} \ in H ^ {i + j} (X, \ mathbb {Z})}$ .

Точно так же номер связи может быть определен в терминах пересечений, сдвига размеров на 1 или, альтернативно, в терминах неисчезающего продукта чашки на дополнении ссылки.

Продукция Massey

Продукты Massey обобщают чашечный продукт, позволяя определять «связующие числа более высокого порядка», инварианты Милнора .

Чашечное произведение представляет собой бинарную (2-арную) операцию; можно определить тернарную (3-арную) операцию и операцию более высокого порядка, называемую произведением Месси , которая обобщает чашечное произведение. Это операция когомологий более высокого порядка , которая определена только частично (определена только для некоторых троек).

Languages

In other projects