Регулярное местное кольцо - Regular local ring

В коммутативной алгебре , регулярное локальное кольцо является нётеровым локальное кольцо , обладающее тем свойством , что минимальное число образующих его максимального идеала равна его размерности Крулля . В символах, пусть A - нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом m, и пусть a ₁ , ..., a _n - минимальное множество образующих m. Тогда по основной теореме Крулля идеального п ≥ тусклым А и определяется регулярным , если п = тусклый .

Обозначение правильное обосновано геометрическим значением. Точка х на алгебраическом многообразии X является неособо тогда и только тогда , когда локальное кольцо из ростков в х является регулярным. (См. Также: регулярная схема .) Регулярные локальные кольца не связаны с регулярными кольцами фон Неймана . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x}}$

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений:

Универсально катенарных кольца ⊃ Коэн-Маколея кольца ⊃ горенштейновых кольца ⊃ полное пересечения кольца ⊃ регулярные локальные кольца

Характеристики

Существует ряд полезных определений регулярного локального кольца, одно из которых упомянуто выше. В частности, если это нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом , то следующие определения эквивалентны ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

• Пусть где выбрано как можно меньше. Тогда правильно, если${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} = (а_ {1}, \ ldots, а_ {п})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle {\ mbox {dim}} А = п \,}$,

где размерность - это размерность Крулля. Тогда минимальный набор образующих называется регулярной системой параметров .${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$

• Позвольте быть поле вычетов . Тогда правильно, если${\ Displaystyle К = А / {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ dim _ {k} {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2} = \ dim A \,}$,

где второе измерение - это измерение Крулля .

• Пусть будет глобальное измерение из (т.е. супремуму проекционных размеров всех модулей.) Тогда является регулярным , если${\ displaystyle {\ mbox {gl dim}} A: = \ sup \ {{\ mbox {pd}} M {\ mbox {}} | {\ mbox {}} M {\ mbox {это}} A { \ mbox {-module}} \}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle {\ mbox {gl dim}} А <\ infty \,}$,

в этом случае .${\ displaystyle {\ mbox {gl dim}} A = \ dim A}$

Кратность один критерий гласит: если завершение нётерового локального кольца А является unimixed (в том смысле , что нет встроенных простого делитель нулевого идеала и для каждого минимального простого р , ) , и если кратность из А один, то регулярно. (Обратное всегда верно: кратность регулярного локального кольца равна единице.) Этот критерий соответствует геометрической интуиции в алгебраической геометрии, что локальное кольцо пересечения является регулярным тогда и только тогда, когда пересечение является трансверсальным пересечением . ${\ displaystyle \ dim {\ widehat {A}} / p = \ dim {\ widehat {A}}}$

В случае положительной характеристики, существует следующий важный результат из - за Кунец: Нётеры локального кольцо положительной характеристики р является регулярным тогда и только тогда , когда морфизм Фробениуса является плоским , и это уменьшается . Для нулевой характеристики подобный результат неизвестен (просто потому, что неясно, как заменить Фробениуса). ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R \ to R, r \ mapsto r ^ {p}}$${\ displaystyle R}$

Примеры

1. Каждое поле - это правильное локальное кольцо. Они имеют размерность (Крулля) 0. Фактически, поля - это в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
2. Любое кольцо дискретной оценки является регулярным локальным кольцом размерности 1, а регулярные локальные кольца размерности 1 в точности являются кольцами дискретной оценки. В частности, если k - поле, а X - неопределенное, то кольцо формальных степенных рядов k [[ X ]] является регулярным локальным кольцом, имеющим (Крулля) размерность 1.
3. Если p - обычное простое число, кольцо p-адических целых чисел является примером кольца дискретной оценки и, следовательно, регулярного локального кольца, не содержащего поля.
4. В более общем смысле, если k - поле, а X ₁ , X ₂ , ..., X _d - неопределенные, то кольцо формальных степенных рядов k [[ X ₁ , X ₂ , ..., X _d ]] является регулярное локальное кольцо размерности (Крулля) d .
5. Если A - регулярное локальное кольцо, то кольцо A [[ x ]] формальных степенных рядов регулярно локально.
6. Если Z - кольцо целых чисел, а X - неопределенное, кольцо Z [ X ] _{(2, X )} (т. Е. Кольцо Z [ X ], локализованное в первичном идеале (2, X )) является примером 2- размерное регулярное локальное кольцо, не содержащее поля.
7. По структурной теореме о Irvin Коэна , в полной равнохарактеристическое регулярного локального кольца Крулля размерности г и содержащий поле представляет собой степенной ряд кольцо над полем.

Без примеров

Кольцо не является регулярным локальным кольцом, поскольку оно конечномерно, но не имеет конечной глобальной размерности. Например, есть бесконечное разрешение ${\ Displaystyle А = К [х] / (х ^ {2})}$

${\ displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {\ cdot x}} {\ frac {k [x]} {(x ^ {2})}} {\ xrightarrow {\ cdot x}} {\ frac {k [x] } {(x ^ {2})}} \ to k \ to 0}$

Используя другую характеристику, имеет ровно один первичный идеал , поэтому кольцо имеет размерность Крулля , но является нулевым идеалом, поэтому имеет размерность как минимум . (Фактически он равен, поскольку является основой.)${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = {\ frac {(x)} {(x ^ {2})}}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 1}$${\ Displaystyle х + {\ mathfrak {m}}}$

Основные свойства

Теорема Ослендера – Буксбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо является единственной областью факторизации .

Каждая локализация регулярного локального кольца регулярна.

Завершение регулярного локального кольца является регулярным.

Если - полное регулярное локальное кольцо, содержащее поле, то ${\ displaystyle (А, {\ mathfrak {m}})}$

${\ Displaystyle А \ конг К [[x_ {1}, \ ldots, x_ {d}]]}$,

где - поле вычетов , а - размерность Крулля. ${\ Displaystyle К = А / {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle d = \ dim A}$

См. Также: неравенство Серра по высоте и гипотезы Серра о множественности .

Происхождение основных понятий

Регулярные локальные кольца были первоначально определены Вольфгангом Круллем в 1937 году, но впервые они стали заметными в работе Оскара Зариски несколько лет спустя, который показал, что геометрически правильное локальное кольцо соответствует гладкой точке на алгебраическом многообразии . Пусть Y - алгебраическое многообразие, содержащееся в аффинном n -пространстве над совершенным полем, и пусть Y - множество исчезающих многочленов f ₁ , ..., f _m . Y невырожден в P, если Y удовлетворяет условию Якоби : если M = (∂ f _i / ∂ x _j ) - матрица частных производных определяющих уравнений многообразия, то ранг матрицы, найденной путем вычисления M в P является п - тусклый Y . Зариский доказал, что Y неособо в P тогда и только тогда, когда локальное кольцо Y в P регулярно. (Зариски заметил, что это может дать сбой в несовершенных полях.) Это означает, что гладкость является внутренним свойством многообразия, другими словами, она не зависит от того, где и как многообразие вложено в аффинное пространство. Это также предполагает, что регулярные локальные кольца должны обладать хорошими свойствами, но до введения методов гомологической алгебры в этом направлении было известно очень мало. После того, как такие методы были введены в 1950-х годах, Ауслендер и Бухсбаум доказали, что каждое регулярное локальное кольцо является уникальной областью факторизации .

Другое свойство, подсказываемое геометрической интуицией, состоит в том, что локализация регулярного локального кольца снова должна быть регулярной. Опять же, это оставалось нерешенным до введения гомологических методов. Это был Жан-Пьер Серр , который нашел гомологическую характеризацию регулярных локальных колец: Локальное кольцо регулярно тогда и только тогда , когда имеет конечное глобальное измерение , то есть , если каждый модуль имеет проективное разрешение конечной длины. Легко показать, что свойство иметь конечную глобальную размерность сохраняется при локализации, и, следовательно, локализации регулярных локальных колец в простых идеалах снова регулярны.

Это оправдывает определение регулярности нелокальных коммутативных колец, данное в следующем разделе.

Обычное кольцо

В коммутативной алгебре , регулярное кольцо является коммутативной нётерово кольцо , такое , что локализация на каждом простом идеале регулярное локальное кольцо: то есть, каждая такая локализация обладает свойством , что минимальное число образующих его максимального идеала равно его Измерение Крулля .

Происхождение термина регулярное кольцо состоит в том , что аффинное многообразие является неособым (то есть каждая точка является регулярным ) , если и только если его кольцо регулярных функций является регулярным.

Для регулярных колец размерность Крулля согласуется с глобальной гомологической размерностью .

Жан-Пьер Серр определил регулярное кольцо как коммутативное нётерово кольцо конечной глобальной гомологической размерности. Его определение сильнее, чем определение выше, которое допускает регулярные кольца бесконечной размерности Крулля.

Примеры регулярных колец включают поля (нулевой размерности) и дедекиндовы области . Если является регулярным , то так [ X ], с одной размерности больше , чем у А .

В частности, если k - поле, кольцо целых чисел или область главных идеалов , то кольцо многочленов регулярно. В случае поля это теорема Гильберта о сизигии . ${\ Displaystyle к [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$

Регулярна и любая локализация регулярного кольца.

Регулярное кольцо редуцировано, но может не быть областью целостности. Например, произведение двух регулярных областей целостности является регулярным, но не областью целостности.

Смотрите также

• Геометрически правильное кольцо

Примечания

Цитаты

использованная литература

• Атья, Майкл Ф .; Макдональд, Ян Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley , MR  0242802
• Кунц, Характеризации регулярных локальных колец характеристики p. Амер. J. Math. 91 (1969), 772–784.
• Цит-Юэн Лам , Лекции по модулям и кольцам , Springer-Verlag , 1999, ISBN  978-1-4612-0525-8 . Глава 5.G.
• Жан-Пьер Серр , Локальная алгебра , Springer-Verlag , 2000, ISBN  3-540-66641-9 . Глава IV.D.
• Обычные кольца в The Stacks Project