Слабое измерение - Weak dimension

В абстрактной алгебре , то слабая размерность ненулевого правого модуль M над кольцом R является наибольшим числом п таким образом, что группа Тор не равна нулем для некоторых левого R - модуля N (или бесконечности , если не по величине , такой п не существует), и слабое Аналогично определяется размерность левого R -модуля. Слабая размерность была введена Анри Картаном и Самуэлем Эйленбергом  ( 1956 , стр.122). Слабый размер иногда называют плоским размером, поскольку это кратчайшая длина разрешения модуля плоскими модулями . Слабая размерность модуля не более чем равна его проективной размерности . ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {n} ^ {R} (M, N)}$

Слабая глобальная размерность кольца наибольшее число п такое , что не равен нулю для некоторого правого R - модуля M и левого R - модуля N . Если такого наибольшего числа n нет , слабая глобальная размерность определяется как бесконечная. Это самое большее равна левой или правой глобальной размерности кольца R . ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {n} ^ {R} (M, N)}$

Примеры

• Модуль из рациональных чисел над кольцом целых чисел имеет слабую размерность 0, но проективную размерность 1.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Модуль над кольцом имеет слабую размерность 1, но инъективную размерность 0.${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Модуль над кольцом имеет слабую размерность 0, но инъективную размерность 1.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Prüfer домен имеет слабое глобальное измерение, самые большие 1.
• Фон Нейман регулярное кольцо имеет слабое глобальное измерение 0.
• Произведение бесконечного числа полей имеет слабую глобальную размерность 0, но его глобальная размерность отлична от нуля.
• Если кольцо является правым нётеровым, то правое глобальное измерение совпадает со слабым глобальным измерением и является не более чем левым глобальным измерением. В частности, если кольцо является правым и левым нётеровым, то левое и правое глобальные измерения и слабое глобальное измерение одинаковы.
• Треугольная матрица кольцо имеет правое глобальное измерение 1, слабое глобальное измерение 1, но оставил глобальное измерение 2. Это право нетеровы, но не оставили нётеровость.${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbb {Z} & \ mathbb {Q} \\ 0 & \ mathbb {Q} \ end {bmatrix}}}$

Рекомендации

• Картан, Анри ; Эйленберг, Самуэль (1956), гомологическая алгебра , Princeton Mathematical Series, 19 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5, Руководство по ремонту  0077480
• Нэстэсеску, Константин; Ван Ойстэйен, Фредди (1987), Измерения теории колец , математики и ее приложений, 36 , D. Reidel Publishing Co., DOI : 10.1007 / 978-94-009-3835-9 , ISBN 9789027724618, Руководство по ремонту  0894033