Оператор закрытия - Closure operator

В математике , А оператор замыкания на множество S является функцией от набора мощности от S к себе , которая удовлетворяет следующие условия для всех наборов${\ displaystyle \ operatorname {cl}: {\ mathcal {P}} (S) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (S)}$${\ displaystyle X, Y \ substeq S}$

${\ Displaystyle X \ substeq \ OperatorName {cl} (X)}$	(cl является обширным ),
${\ displaystyle X \ substeq Y \ Rightarrow \ operatorname {cl} (X) \ substeq \ operatorname {cl} (Y)}$	(cl монотонный ),
${\ Displaystyle \ OperatorName {cl} (\ Operatorname {cl} (X)) = \ OperatorName {cl} (X)}$	(cl идемпотентно ).

Операторы Затворы определяются их замкнутых множеств , т.е. множествами вида Cl ( X ), так как замыкание сл ( Х ) множества X представляет собой наименьшее замкнутое множество , содержащее X . Такие семейства «замкнутых множеств» иногда называют системами замыкания или « семействами Мура » в честь Э. Х. Мура, который изучал операторы замыкания в своем « Введении» 1910 г. в форму общего анализа , тогда как концепция замыкания подмножества возникла в работа Фриджеса Рисса в связи с топологическими пространствами. Хотя в то время это не было официально оформлено, идея закрытия возникла в конце 19 века при заметном вкладе Эрнста Шредера , Ричарда Дедекинда и Георга Кантора .

Операторы замыкания также называются « операторами оболочки », что позволяет избежать путаницы с «операторами замыкания», изучаемыми в топологии . Множество вместе с оператором замыкания на нем иногда называют закрывающим пространством .

Приложения

Операторы замыкания имеют множество применений:

В топологии операторы замыкания являются топологическими операторами замыкания , которые должны удовлетворять

${\ displaystyle \ operatorname {cl} (X_ {1} \ cup \ dots \ cup X_ {n}) = \ operatorname {cl} (X_ {1}) \ cup \ dots \ cup \ operatorname {cl} (X_ { n})}$

для всех (учтите, что за это дает ). ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$${\ displaystyle n = 0}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} (\ varnothing) = \ varnothing}$

В алгебре и логике многие операторы замыкания являются операторами конечного замыкания , т. Е. Удовлетворяют

${\ displaystyle \ operatorname {cl} (X) = \ bigcup \ left \ {\ operatorname {cl} (Y): Y \ substeq X {\ text {and}} Y {\ text {конечный}} \ right \} .}$

В теории частично упорядоченных множеств , которые важны в теоретической информатике , операторы замыкания имеют более общее определение, которое заменяется на . (См. § Операторы замыкания на частично упорядоченных множествах .) ${\ displaystyle \ substeq}$${\ displaystyle \ leq}$

Операторы замыкания в топологии

Топологическое замыкание подмножества X в виде топологического пространства состоит из всех точек у пространства, таким образом, что каждая окрестность в г содержит точку X . Функция, которая связывает с каждым подмножеством X его замыкание, является оператором топологического замыкания. Наоборот, каждый топологический оператор замыкания на множестве порождает топологическое пространство, замкнутые множества которого являются в точности замкнутыми множествами относительно оператора замыкания.

Операторы замыкания в алгебре

Операторы конечного замыкания играют относительно важную роль в универсальной алгебре , и в этом контексте они традиционно называются операторами алгебраического замыкания . Каждое подмножество алгебры порождает в подалгебру : наименьшая подалгебра , содержащая множество. Это дает начало оператору финального закрытия.

Возможно, наиболее известным примером этого является функция, которая связывает каждому подмножеству данного векторного пространства его линейную оболочку . Аналогично, функция , которая сопоставляет каждую подгруппу данной группы подгруппы , порожденная ней, а так же для полей и всех других типов алгебраических структур .

Линейная оболочка в векторном пространстве и аналогичное алгебраическое замыкание в поле удовлетворяют свойству обмена: если x находится в замыкании объединения A и { y }, но не в замыкании A , то y находится в замыкании объединения A и { x }. Оператор финитарного замыкания с этим свойством называется матроидом . Размерность векторного пространства, или степени трансцендентности поля (над его простым полем ) именно ранг соответствующей матроиды.

Функция, отображающая каждое подмножество данного поля в его алгебраическое замыкание , также является оператором конечного замыкания и в целом отличается от оператора, упомянутого ранее. Операторы финитарного замыкания, которые обобщают эти два оператора, изучаются в теории моделей как dcl (для определимого замыкания ) и acl (для алгебраического замыкания ).

Выпуклая оболочка в п - мерное евклидово пространства является еще одним примером финитарного оператора замыкания. Он удовлетворяет свойству анти-обмена: если x находится в замыкании объединения { y } и A , но не в объединении { y } и замыкании A , то y не входит в замыкание объединения { х } и . Операторы финитарного замыкания с этим свойством порождают антиматроидов .

В качестве другого примера оператора замыкания , используемого в алгебре, если некоторая алгебра имеет вселенную А и Х представляет собой набор пара А , то оператор присваивания X наималейшую конгруэнтность , содержащую X является финитным оператором замыкания A X A .

Операторы замыкания в логике

Предположим, у вас есть некоторый логический формализм , содержащий определенные правила, позволяющие выводить новые формулы из заданных. Рассмотрим множество F всех возможных формул, и пусть P будет булеан из F , по заказу ⊆. Для множества X формул, пусть сл ( Х ) будет множество всех формул , которые могут быть получены из X . Тогда сл является оператором замыкания на P . Точнее, cl можно получить следующим образом. Вызов «непрерывный» оператор J такой , что для каждого направленного класса Т ,

J ( lim T ) = lim J ( T ).

Это условие непрерывности на основе теоремы о неподвижной точке для J . Рассмотрим одношаговый оператор J монотонной логики. Это оператор ассоциирования любого множество X формул с заданным J ( X ) формул , которые являются либо логическими аксиомами или получены с помощью правила вывода из формул в X или находятся в X . Тогда такой оператор является непрерывным , и мы можем определить Cl ( X ) как минимум за фиксированную точку J больше или равен X . В соответствии с такой точкой зрения Тарский, Браун, Сушко и другие авторы предложили общий подход к логике, основанный на теории операторов замыкания. Кроме того, такая идея предлагается в логике программирования (см. Lloyd 1987) и в нечеткой логике (см. Gerla 2000).

Операторы следствия

Примерно в 1930 году Альфред Тарский разработал абстрактную теорию логических выводов, которая моделирует некоторые свойства логических исчислений. Математически то, что он описал, является просто оператором конечного замыкания на множестве (множестве предложений ). В абстрактной алгебраической логике операторы конечного замыкания все еще изучаются под названием « оператор следствия» , который был введен Тарским. Множество S представляет собой набор предложений, подмножество T в S - теорию, а cl ( T ) - это множество всех предложений, которые следуют из теории. В настоящее время этот термин может относиться к операторам закрытия, которые не обязательно должны быть конечными; Тогда операторы финитарного замыкания иногда называют операторами конечных следствий .

Замкнутые и псевдозамкнутые множества

Замкнутые множества относительно оператора замыкания на S образуют подмножество C множества степеней P ( S ). Любое пересечение множеств C снова в C . Другими словами, C - полная пересекающаяся подполурешетка в P ( S ). Наоборот, если C ⊆ P ( S ) замкнуто относительно произвольных пересечений, то функция, которая сопоставляет каждому подмножеству X множества S наименьшее множество Y ∈ C, такое, что X ⊆ Y, является оператором замыкания.

Существует простой и быстрый алгоритм генерации всех замкнутых множеств данного оператора замыкания.

Оператор замыкания на множестве топологичен тогда и только тогда, когда множество замкнутых множеств замкнуто относительно конечных объединений, т. Е. C является полностью полной подрешеткой в P ( S ). Даже для нетопологических операторов замыкания C можно рассматривать как имеющую структуру решетки. (Соединение двух множеств X , Y ⊆ P ( S ) есть cl ( X Y ).) Но тогда C не является подрешеткой решетки P ( S ). ${\ Displaystyle \ чашка}$

Для данного оператора конечного замыкания на множестве замыкания конечных множеств - это в точности компактные элементы множества C замкнутых множеств. Отсюда следует, что C - алгебраическое уп . Поскольку C также является решеткой, в этом контексте ее часто называют алгебраической решеткой. Наоборот, если C - алгебраическое ч.у., то оператор замыкания финитен.

Каждый оператор замыкания на конечном множестве S однозначно определяется своими образами его псевдозамкнутых множеств. Они рекурсивно определены: набор является псевдозамкнутым, если он не замкнут, и содержит замыкание каждого из своих псевдозамкнутых собственных подмножеств. Формально: P  ⊆  S псевдозамкнуто тогда и только тогда, когда

• P  ≠ cl ( P ) и
• если Q  ⊂  P является псевдо-замкнут, то сл ( Q ) ⊆  P .

Операторы замыкания на частично упорядоченных множествах

Частично упорядоченное множество (ч.у.м.) представляет собой набор вместе с частичным порядком ≤, т.е. бинарное отношение , которое рефлексивно ( ≤ с ), переходной ( ≤ б ≤ C означает на ≤ C ) и антисимметричные ( ≤ B ≤ следует a  =  b ). Любое мощное множество P ( S ) вместе с включением ⊆ является частично упорядоченным множеством.

Функция сл: P → P из частичного порядка P в себя называется оператором замыкания , если он удовлетворяет следующие аксиомы для всех элементов х , у в Р .

х ≤ cl ( х )	(cl является обширным )
x ≤ y влечет cl ( x ) ≤ cl ( y )	(cl увеличивается )
cl (cl ( x )) = cl ( x )	(cl идемпотентно )

Доступны более сжатые альтернативы: приведенное выше определение эквивалентно единственной аксиоме

x ≤ cl ( y ) тогда и только тогда, когда cl ( x ) ≤ cl ( y )

для всех х , у в Р .

Используя точечный порядок функций между множествами, можно в качестве альтернативы записать свойство экстенсивности как id _P ≤ cl, где id - функция идентичности . Собственное отображение k , которое возрастает и идемпотентно, но удовлетворяет двойственному свойству экстенсивности, то есть k ≤ id _P , называется оператором ядра , внутренним оператором или двойным замыканием . Например, если A является подмножеством множества B , то отображение в себя на множестве степеней B, заданное как μ _A ( X ) = A ∪ X, является оператором замыкания, тогда как λ _A ( X ) = A ∩ X является оператор ядра. Функция потолка от действительных чисел к действительным числам, которая присваивает каждому действительному x наименьшее целое число не меньше x , является еще одним примером оператора замыкания.

Fixpoint функции п, т.е. элемента с из Р , который удовлетворяет сл ( с ) =  с , называется закрытым элементом . Оператор замыкания на частично упорядоченном множестве определяется его замкнутыми элементами. Если c - замкнутый элемент, то x ≤ c и cl ( x ) ≤ c - эквивалентные условия.

Каждое соединение Галуа (или остаточное отображение ) порождает закрывающий оператор (как объясняется в этой статье). Фактически, каждый оператор замыкания возникает таким образом из подходящей связности Галуа. Связь Галуа не определяется однозначно оператором замыкания. Одна связность Галуа, которая порождает оператор замыкания cl, может быть описана следующим образом: если A - множество замкнутых элементов относительно cl, то cl: P → A - нижний сопряженный элемент связи Галуа между P и A , причем верхний сопряженный быть вложения A в P . Более того, каждый нижний сопряженный элемент вложения некоторого подмножества в P является оператором замыкания. «Операторы замыкания - это нижние сопряжения вложений». Однако обратите внимание, что не каждое вложение имеет нижний сопряженный элемент.

Любое частично упорядоченное множество P можно рассматривать как категорию с единственным морфизмом от x до y тогда и только тогда, когда x ≤ y . Операторы замыкания на частично упорядоченное множество P не то иное, как монады по категории Р . Эквивалентно, оператор замыкания можно рассматривать как эндофунктор в категории частично упорядоченных множеств, который имеет дополнительные идемпотентные и обширные свойства.

Если P - полная решетка , то подмножество A в P является множеством замкнутых элементов для некоторого оператора замыкания на P тогда и только тогда, когда A является семейством Мура на P , т. Е. Наибольший элемент P находится в A , а точная нижняя грань (встречаются) любого непустого подмножества A снова в A . Любой такой набор A сам по себе является полной решеткой с порядком, унаследованным от P (но операция супремума (соединения) может отличаться от таковой для P ). Когда P является Powerset Булева алгебра из множества X , то семейство Мур на Р называется системой замыкания на X .

Операторы замыкания на P образуют полную решетку; порядок на операторов замыкания определяется сл ₁ ≤ сл ₂ тогда и только тогда сл ₁ ( х ) ≤ сл ₂ ( х ) для всех х в Р .

Смотрите также

• Čech оператор закрытия
• Связь Галуа
• Внутренняя алгебра
• Аксиомы замыкания Куратовского
• Замыкание (топология) и Интерьер (топология)

Примечания

использованная литература

• Гаррет Биркгоф . 1967 (1940). Теория решеток, 3-е изд . Американское математическое общество.
• Беррис, Стэнли Н. и HP Sankappanavar (1981) Курс универсальной алгебры Springer-Verlag. ISBN  3-540-90578-2 Бесплатная онлайн-версия .
• Браун Д. Д. и Сушко Р. (1973) "Абстрактная логика", Математические диссертации 102-9-42.
• Кастеллини, Г. (2003) Операторы категориального замыкания . Бостон Массачусетс: Birkhaeuser.
• Эдельман, Пол Х. (1980) Встречно-распределительные решетки и антиобменное замыкание, Algebra Universalis 10: 290-299.
• Гантер, Бернхард и Обьедков, Сергей (2016) Концептуальные исследования . Springer, ISBN  978-3-662-49290-1 .
• Герла, Г. (2000) Нечеткая логика: математические инструменты для приближенного рассуждения . Kluwer Academic Publishers .
• Ллойд, JW (1987) Основы логического программирования . Springer-Verlag .
• Тарский, Альфред (1983) "Основные концепции методологии дедуктивных наук" в логике, семантике, метаматематике . Hackett (изд. 1956 г., Oxford University Press ).
• Альфред Тарский (1956) Логика, семантика и метаматематика . Издательство Оксфордского университета .
• Уорд, Морган (1942) "Операторы замыкания решетки", Annals of Mathematics 43: 191-96.
• Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймель, Дж. Д. Лоусон, М. Мислав, Д. С. Скотт: Непрерывные решетки и домены , Cambridge University Press, 2003
• ТС Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры , Springer, 2005, ISBN  1-85233-905-5 .
• М. Эрне, Дж. Кословски, А. Мелтон, Г. Е. Стрекер, Учебник по связям Галуа , в: Материалы Летней конференции 1991 г. по общей топологии и приложениям в честь Мэри Эллен Рудин и ее работ, Анналы Нью-Йоркской академии наук, Vol. 704, 1993, стр. 103–125. Доступно в Интернете в различных форматах файлов: PS.GZ PS

внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии : « Алгебраическая логика высказываний» - Рамон Янсана.