Подструктура (математика) - Substructure (mathematics)

В математической логике ( индуцированная ) подструктура или ( индуцированная ) подалгебра - это структура , область определения которой является подмножеством области большей структуры, а функции и отношения ограничиваются областью области подструктуры. Некоторыми примерами подалгебр являются подгруппы , подмоноиды , подкольца , подполя , подалгебры алгебр над полем или индуцированные подграфы . С другой стороны, более крупная структура называется расширением или надстройкой ее подструктуры.

В теории моделей термин « субмодель » часто используется как синоним субструктуры, особенно когда контекст предлагает теорию, в которой обе структуры являются моделями.

При наличии отношений (то есть для таких структур , как упорядоченных групп или графиков , чьи подписи не является функциональным) может иметь смысл ослабить условия на подалгебры так , что отношения на слабой несущей конструкции (или слабой подалгебры ) являются в большинстве тех , индуцировано большей структурой. Подграфы - это пример, когда различие имеет значение, а термин «подграф» действительно относится к слабым подструктурам. С другой стороны, упорядоченные группы обладают тем особым свойством, что каждая подструктура упорядоченной группы, которая сама является упорядоченной группой, является индуцированной подструктурой.

Определение

Учитывая две структуры A и B одной и той же сигнатуры а, называется быть слабым подструктуры из B , или слабая подалгебра в B , если

• область определения A является подмножеством области B ,
• f ^A = f ^B | _{A ⁿ} для любого n -арного функционального символа f в σ и
• R ^A R ^B A ⁿ для любого n -арного символа отношения R в σ.${\ displaystyle \ substeq}$ ${\ displaystyle \ cap}$

Называется быть подструктурой из B , или подалгебра в B , если является слабой подалгеброй B и, кроме того,

• R ^A = R ^B A ⁿ для любого n -арного символа отношения R в σ.${\ displaystyle \ cap}$

Если является подструктурой B , то B называется надстройкой из A или, в особенности , если является индуцированной подструктурой, продолжение из A .

пример

В языке, состоящем из двоичных функций + и ×, двоичного отношения <и констант 0 и 1, структура ( Q , +, ×, <, 0, 1) является подструктурой ( R , +, ×, <, 0, 1). В более общем смысле, подструктуры упорядоченного поля (или просто поля ) являются в точности его подполями. Аналогично, в языке групп (×, ⁻¹ , 1) подструктурами группы являются ее подгруппы . Однако на языке моноидов (×, 1) подструктурами группы являются ее подмоноиды . Им не обязательно быть группами; и даже если они являются группами, они не обязательно должны быть подгруппами.

В случае графов (в сигнатуре, состоящей из одного бинарного отношения) подграфы и его слабые подструктуры являются в точности его подграфами.

Как подобъекты

Для каждой сигнатуры σ индуцированные подструктуры σ-структур являются подобъектами в конкретной категории σ-структур и сильных гомоморфизмов (а также в конкретной категории σ-структур и σ- вложений ). Слабые подструктуры σ-структур - это подобъекты в конкретной категории σ-структур и гомоморфизмов в обычном смысле.

Подмодель

В теории моделей, дана структура М , которая является моделью теории Т , А подмодель из М в некотором смысле является более узкой подструктурой М , который также является модель T . Например, если T - теория абелевых групп в сигнатуре (+, 0), то подмодели группы целых чисел ( Z , +, 0) - это подструктуры, которые также являются абелевыми группами. Таким образом, натуральные числа ( N , +, 0) образуют подструктуру ( Z , +, 0), которая не является подмоделью, а четные числа (2 Z , +, 0) образуют подмодель.

Другие примеры:

1. В алгебраические числа образуют подмоделью комплексных чисел в теории алгебраически замкнутых полей .
2. В рациональных числах образуют подмодель действительных чисел в теории полей .
3. Каждая элементарная подструктура модели теории T также удовлетворяет T ; следовательно, это подмодель.

В категории моделей теории и вложений между ними подмодели модели являются ее подобъектами .

Смотрите также

• Элементарная подструктура
• Конец расширения
• Теорема Лёвенгейма – Сколема
• Prime модель

Ссылки

• Беррис, Стэнли Н .; Санкаппанавар, HP (1981), курс универсальной алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Дистель, Рейнхард (2005) [1997], Теория графов , Тексты для выпускников по математике, 173 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-26183-4
• Ходжес, Уилфрид (1997), более короткая теория модели , Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6