Инфимум и супремум - Infimum and supremum

Множество действительных чисел (полые и заполненные кружки), подмножество из (закрашенных кружков), а нижняя грань Заметим , что для конечных, полностью упорядоченные множества инфимум и минимальное равны.${\ displaystyle P}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle S.}$

Набор действительных чисел (синие круги), набор верхних границ (красный ромб и круги) и наименьшая такая верхняя граница, то есть верхняя грань (красный ромб).${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

В математике , то нижняя грань (сокращенно инф ; множественном инфимумы ) из подмножества в виде частично упорядоченного множества является наибольшим элементом в том , что меньше или равна ко всем элементам , если такой элемент существует. Следовательно, термин наибольшая нижняя граница (сокращенно GLB ) также широко используется. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle S,}$

Супремумом (сокращенно SUP ; множественном супремумами ) подмножества частично упорядоченного множества является наименьшим элементом в том , что больше или равны ко всем элементам , если такой элемент существует. Следовательно, супремум также называется наименьшей верхней границей (или LUB ). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle S,}$

Инфимум в точном смысле двойственен понятию супремума. Инфима и верхняя граница действительных чисел - частные частные случаи, которые важны в анализе , и особенно в интеграции Лебега . Однако общие определения остаются в силе и в более абстрактном контексте теории порядка, где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.

Понятия infimum и supremum аналогичны понятиям минимума и максимума , но более полезны при анализе, поскольку они лучше характеризуют специальные множества, которые могут не иметь минимума или максимума . Например, набор положительных действительных чисел (не включая ) не имеет минимума, потому что любой заданный элемент можно просто разделить пополам, что приведет к меньшему числу, которое все еще находится в. Однако существует ровно одна точная нижняя грань положительного числа. вещественные числа: которое меньше всех положительных действительных чисел и больше любого другого действительного числа, которое может использоваться в качестве нижней границы. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}.}$${\ displaystyle 0,}$

Формальное определение

supremum = наименьшая верхняя граница

Нижняя граница подмножества частично упорядоченного множества является элементом из таким образом, что ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle P}$

• ${\ displaystyle a \ leq x}$ для всех ${\ displaystyle x \ in S.}$

Нижняя грань для называется точной гранью (или точной нижней границей , или совпадением ), если ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

• для всех нижних границ на в ( больше или равно любой другой нижней грани).${\ displaystyle y}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P,}$ ${\ displaystyle y \ leq a}$${\ displaystyle a}$

Аналогичным образом , верхняя граница подмножества частично упорядоченное множество является элементом из таким образом, что ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle P}$

• ${\ displaystyle b \ geq x}$ для всех ${\ displaystyle x \ in S.}$

Верхняя граница из называется супремумом (или минимум верхней границы или присоединиться к ) из если ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

• для всех верхних граней из в ( меньше или равна любой другой верхней грани).${\ displaystyle z}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P,}$ ${\ displaystyle z \ geq b}$${\ displaystyle b}$

Существование и уникальность

Инфима и супрема не обязательно существуют. Существование инфимума подмножества из не может потерпеть неудачу , если уже не нижняя границы вообще, или , если множество нижних границ не содержит наибольший элемент. Однако, если точная нижняя грань или супремум существует, она уникальна. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle S}$

Следовательно, частично упорядоченные множества, для которых, как известно, существуют определенные инфимы, становятся особенно интересными. Например, решетка - это частично упорядоченное множество, в котором все непустые конечные подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу, а полная решетка - это частично упорядоченное множество, в котором все подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу. Более подробную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, возникающих из таких соображений, можно найти в статье о свойствах полноты .

Если супремум подмножества существует, он уникален. Если содержит наибольший элемент, то этот элемент является супремумом; в противном случае супремум не принадлежит (или не существует). Точно так же, если нижняя грань существует, она уникальна. Если содержит наименьший элемент, то этот элемент является точной нижней гранью; в противном случае нижняя грань не принадлежит (или не существует). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Отношение к максимальным и минимальным элементам

Инфимумом подмножество частично упорядоченного множества предполагая , что она существует, не обязательно принадлежат Если это произойдет, это минимальное или наименьший элемент из Аналогично, если верхняя грань принадлежит к нему является максимальное или наибольший элемент из${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P,}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle S.}$

Например, рассмотрим набор отрицательных действительных чисел (исключая ноль). В этом наборе нет наибольшего элемента, поскольку для каждого элемента набора существует другой, более крупный элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа существует другое отрицательное действительное число, которое больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, безусловно, является верхней границей этого множества. Следовательно, это наименьшая верхняя граница отрицательных вещественных чисел, поэтому супремум равен 0. Это множество имеет супремум, но не имеет наибольшего элемента. ${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}},}$${\ displaystyle 0}$

Однако определение максимальных и минимальных элементов является более общим. В частности, в наборе может быть много максимальных и минимальных элементов, в то время как инфима и верхняя граница уникальны.

В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, нижняя грань и верхняя грань подмножества не обязательно должны быть членами этого подмножества.

Минимальные верхние границы

Наконец, частично упорядоченное множество может иметь множество минимальных верхних границ без точной верхней границы. Минимальные верхние границы - это те верхние границы, для которых не существует строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше, чем все другие верхние границы, это просто не больше. Различие между «минимальным» и «минимальным» возможно только в том случае, если данный заказ не является полным . В полностью упорядоченном наборе, как и в реальных числах, концепции те же.

В качестве примера, пусть будет набором всех конечных подмножеств натуральных чисел и рассмотрим частично упорядоченный набор, полученный путем взятия всех наборов вместе с набором целых чисел и набором положительных действительных чисел, упорядоченных по включению подмножества, как указано выше. Тогда очевидно, что оба и больше всех конечных наборов натуральных чисел. Тем не менее, ни одно из них не меньше и не обратное: оба набора являются минимальными верхними границами, но ни одно из них не является супремумом. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+},}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Свойство с наименьшей верхней границей

Свойство наименьшей верхней границы является примером вышеупомянутых свойств полноты, которые типичны для набора действительных чисел. Это свойство иногда называют дедекиндовской полнотой .

Если упорядоченный набор имеет свойство, заключающееся в том, что каждое непустое подмножество, имеющее верхнюю границу, также имеет наименьшую верхнюю границу, то говорят, что оно имеет свойство наименьшей верхней границы. Как отмечалось выше, набор всех действительных чисел имеет свойство наименьшей верхней границы. Точно так же набор целых чисел имеет свойство наименьшей верхней границы; если есть непустое подмножество и существует некоторое число такое , что каждый элемент из меньше или равно , то есть не менее верхняя граница для целого числа , что верхняя граница для и меньше или равна любой другой верхней границы для упорядоченная комплект также имеет наименее верхнюю границу собственности, а пустое подмножество имеет также верхнюю грань: минимум всего набора. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$

Примером набора, в котором отсутствует свойство наименьшей верхней границы, является набор рациональных чисел. Пусть будет набор всех рациональных чисел таких, что Then имеет верхнюю границу ( например, или ), но не имеет наименьшей верхней границы в : Если мы предполагаем, что это наименьшая верхняя граница, противоречие немедленно выводится, потому что между любыми двумя действительными числами и (включая и ) существует некоторое рациональное число, которое само должно быть наименьшей верхней границей (если ) или членом большего чем (если ). Другой пример - гиперреалы ; не существует точной верхней границы множества положительных бесконечно малых. ${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q ^ {2} <2.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle 1000,}$${\ displaystyle 6}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p,}$${\ displaystyle p> {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p <{\ sqrt {S}}}$

Имеется соответствующее свойство наибольшей нижней границы ; упорядоченный набор обладает свойством наибольшей нижней границы тогда и только тогда, когда он также обладает свойством наименьшей верхней границы; наименьшая верхняя граница набора нижних границ набора является наибольшей нижней границей, а наибольшая нижняя граница набора верхних границ набора является наименьшей верхней границей набора.

Если в частично упорядоченном множестве каждое ограниченное подмножество имеет супремум, это относится и для любого множества в пространстве функций , содержащее все функции из , чтобы , где , если и только если для всех Например, он применяется для вещественных функций, и, так как они могут рассматривать частные случаи функций, для вещественных чисел и последовательностей действительных чисел. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P,}$${\ displaystyle f \ leq g}$${\ Displaystyle е (х) \ leq g (х)}$${\ displaystyle x \ in X.}$${\ displaystyle n}$

Свойство наименьшей верхней границы является индикатором супремы.

Инфима и супрема действительных чисел

В анализе , инфимумы и супремумы подмножеств этих действительных чисел особенно важны. Например, отрицательные действительные числа не имеют наибольшего элемента, а их верхняя грань равна (что не является отрицательным действительным числом). Полнота действительных чисел влечет (и эквивалентно) , что любое ограниченное непустое подмножество действительных чисел имеет инфимум и супремум. Если не ограничена снизу, часто формально пишет Если есть пустые , одна запись${\ displaystyle S}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ inf _ {} S = - \ infty.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ inf _ {} S = + \ infty.}$

Характеристики

Следующие формулы зависят от обозначения, которое удобно обобщает арифметические операции над множествами: Пусть множества и скаляр определяют ${\ Displaystyle А, В \ substeq \ mathbb {R},}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}.}$

• ${\ displaystyle A \ neq \ varnothing}$тогда и только тогда и в противном случае${\ Displaystyle \ sup A \ geq \ inf A,}$${\ displaystyle - \ infty = \ sup \ varnothing <\ inf \ varnothing = \ infty.}$
• ${\ displaystyle rA = \ {r \ cdot a: a \ in A \}}$; скалярное произведение набора - это просто скаляр, умноженный на каждый элемент в наборе.
• ${\ displaystyle A + B = \ {a + b: a \ in A, b \ in B \}}$; называется суммой Минковского , это арифметическая сумма двух наборов - это сумма всех возможных пар чисел, по одной из каждого набора.
• ${\ Displaystyle A \ cdot B = \ {a \ cdot b: a \ in A, b \ in B \}}$; арифметическое произведение двух наборов - это все произведения пар элементов, по одному из каждого набора.
• Если то существует последовательность в таким образом, что Аналогичным образом , будет существовать (возможно другое) последовательность в таким образом, что Следовательно, если предел является действительным числом , и если непрерывная функция, то обязательно является точкой приверженцем из${\ Displaystyle \ varnothing \ neq S \ substeq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = \ sup S.}$${\ displaystyle s _ {\ bullet}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = \ inf S.}$${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} s_ {n} = \ sup S}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to X}$${\ Displaystyle е \ влево (\ sup S \ right)}$${\ displaystyle f (S).}$

В тех случаях, когда существуют нижняя и верхняя границы множеств и , выполняются следующие тождества: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

• ${\ displaystyle p = \ inf A}$если и только есть Минорант, и для каждого есть с${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle a _ {\ epsilon} \ in A}$${\ displaystyle a _ {\ epsilon} <p + \ epsilon.}$
• ${\ displaystyle p = \ sup A}$если и только это Мажорантный и если для каждого существует с${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle a _ {\ epsilon} \ in A}$${\ displaystyle a _ {\ epsilon}> p- \ epsilon}$
• Если и тогда и${\ displaystyle A \ substeq B}$${\ displaystyle \ inf A \ geq \ inf B}$${\ Displaystyle \ sup A \ leq \ sup B.}$

• Если тогда и${\ displaystyle r> 0}$${\ Displaystyle \ Inf (г \ CDOT A) = г \ влево (\ Inf A \ вправо)}$${\ Displaystyle \ sup (r \ cdot A) = r \ left (\ sup A \ right).}$
• Если тогда и${\ displaystyle r \ leq 0}$${\ Displaystyle \ Inf (г \ CDOT A) = г \ влево (\ sup A \ вправо)}$${\ Displaystyle \ sup (г \ CDOT A) = г \ влево (\ Inf A \ вправо).}$
• ${\ Displaystyle \ Inf (A + B) = \ влево (\ Inf A \ вправо) + \ влево (\ Inf B \ right)}$ а также ${\ Displaystyle \ sup (A + B) = \ left (\ sup A \ right) + \ left (\ sup B \ right).}$
• Если и - непустые множества положительных действительных чисел, то аналогично для супремумов${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle \ Inf (A \ CDOT B) = \ влево (\ Inf A \ вправо) \ CDOT \ влево (\ Inf B \ right)}$${\ Displaystyle \ sup (A \ cdot B) = \ left (\ sup A \ right) \ cdot \ left (\ sup B \ right).}$
• Если не пусто, и если тогда, где это уравнение также выполняется, когда используется определение . В качестве альтернативы это равенство может быть записано как Более того, тогда и только тогда, когда где если тогда${\ Displaystyle S \ substeq (0, \ infty)}$${\ displaystyle {\ frac {1} {S}}: = \ left \ {{\ frac {1} {s}}: s \ in S \ right \},}$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sup _ {} S}} = \ inf _ {} {\ frac {1} {S}}}$${\ Displaystyle \ sup _ {} S = \ infty}$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ infty}}: = 0}$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ displaystyle \ sup _ {s \ in S} s}} = \ inf _ {s \ in S} {\ frac {1} {s}}.}$${\ displaystyle \ inf _ {} S = 0}$${\ displaystyle \ sup _ {} {\ frac {1} {S}} = \ infty,}$${\ displaystyle \ inf _ {} S> 0,}$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ inf _ {} S}} = \ sup _ {} {\ frac {1} {S}}.}$

Двойственность

Если один обозначает частично упорядоченным множеством с противоположным отношением порядка ; то есть для всех заявляют: ${\ displaystyle P ^ {\ operatorname {op}}}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle х {\ текст {и}} у,}$

$${\ displaystyle x \ leq y {\ text {in}} P ^ {\ operatorname {op}} \ quad {\ text {тогда и только тогда, когда}} \ quad x \ geq y {\ text {in}} P, }$$

${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle P ^ {\ operatorname {op}}}$

Для подмножеств действительных чисел имеет место другой вид двойственности: где${\ Displaystyle \ Inf S = - \ sup (-S),}$${\ Displaystyle -S: = \ {- s ~: ~ s \ in S \}.}$

Примеры

Инфима

• Инфимумом множества чисел является число является нижней границей, но не самая большая нижняя граница, и , следовательно , не инфимумом.${\ displaystyle \ {2,3,4 \}}$${\ displaystyle 2.}$${\ displaystyle 1}$
• В более общем смысле, если набор имеет наименьший элемент, то наименьший элемент является точной нижней гранью для набора. В этом случае его еще называют минимумом набора.
• ${\ Displaystyle \ Inf \ {1,2,3, \ ldots \} = 1.}$
• ${\ displaystyle \ inf \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 <x <1 \} = 0.}$
• ${\ displaystyle \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ {3}> 2 \ right \} = {\ sqrt [{3}] {2}}.}$
• ${\ displaystyle \ inf \ left \ {(- 1) ^ {n} + {\ tfrac {1} {n}}: n = 1,2,3, \ ldots \ right \} = - 1.}$
• Если - убывающая последовательность с пределом, то${\ displaystyle \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle \ inf x_ {n} = x.}$

Супрема

• Верхняя грань набора чисел - это число - это верхняя граница, но не наименьшая верхняя граница, и, следовательно, не верхняя грань.${\ displaystyle \ {1,2,3 \}}$${\ displaystyle 3.}$${\ displaystyle 4}$
• ${\ displaystyle \ sup \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 <x <1 \} = \ sup \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 \ leq x \ leq 1 \} = 1.}$
• ${\ displaystyle \ sup \ left \ {(- 1) ^ {n} - {\ tfrac {1} {n}}: n = 1,2,3, \ ldots \ right \} = 1.}$
• ${\ Displaystyle \ sup \ {a + b: a \ in A, b \ in B \} = \ sup A + \ sup B.}$
• ${\ displaystyle \ sup \ left \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ {2} <2 \ right \} = {\ sqrt {2}}.}$

В последнем примере, супремумом множества рациональных чисел является иррациональным , что означает , что рациональные являются неполными .

Одно из основных свойств супремума:

$${\ Displaystyle \ sup \ {е (t) + g (t): t \ in A \} ~ \ leq ~ \ sup \ {f (t): t \ in A \} + \ sup \ {g (t ): t \ in A \}}$$

${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle g.}$

Супремумом подмножества из где обозначает « делит », является наименьшее общее кратное элементов${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle (\ mathbb {N}, \ mid \,)}$${\ displaystyle \, \ mid \,}$${\ displaystyle S.}$

Супремум подмножества из которых является набором мощности некоторого множества, является верхней гранью по отношению к (подмножеству) подмножеств из является объединением элементов${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (P, \ substeq),}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle \, \ substeq \,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle S.}$

Смотрите также

• Essential supremum и Essential infimum
• Наибольший элемент и наименьший элемент  - Элемент ≥ (или ≤) каждый другой элемент
• Максимальные и минимальные элементы  - элемент, который не ≤ (или ≥) какой-либо другой элемент.
• Ограничить верхний и нижний предел (нижний предел)
• Верхняя и нижняя оценки  - мажорант и минорант по математике

Примечания

использованная литература

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Дж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544 .

внешние ссылки

• "Верхняя и нижняя границы" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Брайтенбах, Джером Р. и Вайсштейн, Эрик В. "Infimum and supremum" . MathWorld .