Аппроксимация Паде - Padé approximant

В математике , аппроксимация Пада является «лучшим» приближением функции с помощью рациональной функции заданного порядка - по этой методике, аппроксиманты в степенном ряде согласуется с степенным рядом функции она аппроксимирующая. Этот метод был разработан примерно в 1890 году Анри Паде , но восходит к Георгу Фробениусу , который представил идею и исследовал особенности рациональных приближений степенных рядов.

Аппроксимация Паде часто дает лучшее приближение функции, чем усечение ее ряда Тейлора , и может работать там, где ряд Тейлора не сходится . По этим причинам аппроксимации Паде широко используются в компьютерных расчетах . Они также использовались в качестве вспомогательных функций в диофантовом приближении и трансцендентной теории чисел , хотя для получения точных результатов их обычно заменяют специальные методы, в некотором смысле вдохновленные теорией Паде. Поскольку аппроксимация Паде является рациональной функцией, в качестве приближения может возникнуть искусственная особая точка, но этого можно избежать с помощью анализа Бореля-Паде .

Причина, по которой аппроксимация Паде имеет тенденцию быть лучшим приближением, чем усекающий ряд Тейлора, ясна с точки зрения метода многоточечного суммирования. Так как во многих случаях асимптотическое разложение на бесконечности становится 0 или константой, его можно интерпретировать как «неполное двухточечное приближение Паде», в котором обычное приближение Паде улучшает метод усечения ряда Тейлора .

Определение

Для функции f и двух целых чисел m ≥ 0 и n ≥ 1 аппроксимация Паде порядка [ m / n ] является рациональной функцией

${\ displaystyle R (x) = {\ frac {\ sum _ {j = 0} ^ {m} a_ {j} x ^ {j}} {1+ \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x ^ {k}}} = {\ frac {a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ dots + a_ {m} x ^ {m}} { 1 + b_ {1} x + b_ {2} x ^ {2} + \ dots + b_ {n} x ^ {n}}},}$

что согласуется с f ( x ) в максимально возможном порядке, который составляет

${\ displaystyle {\ begin {align} f (0) & = R (0), \\ f '(0) & = R' (0), \\ f '' (0) & = R '' (0) ), \\ & \ vdots \\ f ^ {(m + n)} (0) & = R ^ {(m + n)} (0). \ end {выравнивается}}}$

Эквивалентно, если раскрывается в ряд Маклорена (ряд Тейлора в 0), его первые члены отменяют первые члены , и как таковые ${\ Displaystyle R (х)}$${\ displaystyle m + n}$${\ displaystyle m + n}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle f (x) -R (x) = c_ {m + n + 1} x ^ {m + n + 1} + c_ {m + n + 2} x ^ {m + n + 2} + \ точки}$

Аппроксимация Паде единственна для заданных m и n , то есть коэффициенты могут быть определены однозначно. По причинам уникальности член нулевого порядка в знаменателе был выбран равным 1, иначе числитель и знаменатель были бы уникальными только с точностью до умножения на константу. ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ dots, a_ {m}, b_ {1}, \ dots, b_ {n}}$${\ Displaystyle R (х)}$${\ Displaystyle R (х)}$

Аппроксиманта Паде, определенная выше, также обозначается как

${\ displaystyle [m / n] _ {f} (x).}$

Вычисление

Для данного x аппроксимации Паде могут быть вычислены с помощью эпсилон-алгоритма Винна, а также других преобразований последовательностей из частичных сумм.

${\ displaystyle T_ {N} (x) = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + \ cdots + c_ {N} x ^ {N}}$

ряда Тейлора функции f , т. е. имеем

${\ displaystyle c_ {k} = {\ frac {f ^ {(k)} (0)} {k!}}.}$

f также может быть формальным степенным рядом , и, следовательно, аппроксимации Паде также могут применяться для суммирования расходящихся рядов .

Одним из способов вычисления аппроксимации Паде является расширенный алгоритм Евклида для полиномиального наибольшего общего делителя . Отношение

${\ Displaystyle R (x) = P (x) / Q (x) = T_ {m + n} (x) {\ text {mod}} x ^ {m + n + 1}}$

равносильно существованию такого фактора , что ${\ Displaystyle К (х)}$

${\ Displaystyle P (x) = Q (x) T_ {m + n} (x) + K (x) x ^ {m + n + 1},}$

которое можно интерпретировать как тождество Безу одного шага в вычислении расширенного наибольшего общего делителя многочленов и . ${\ Displaystyle Т_ {м + п} (х)}$${\ Displaystyle х ^ {м + п + 1}}$

Резюмируя: чтобы вычислить наибольший общий делитель двух многочленов p и q , нужно вычислить посредством длинного деления остаток последовательности

${\ displaystyle r_ {0} = p, \; r_ {1} = q, \ quad r_ {k-1} = q_ {k} r_ {k} + r_ {k + 1},}$

k = 1, 2, 3, ... с , до . Для тождеств Безу расширенного наибольшего общего делителя одновременно вычисляются две полиномиальные последовательности ${\ Displaystyle \ deg r_ {к + 1} <\ deg r_ {k} \,}$${\ displaystyle r_ {k + 1} = 0}$

${\ displaystyle u_ {0} = 1, \; v_ {0} = 0, \ quad u_ {1} = 0, \; v_ {1} = 1, \ quad u_ {k + 1} = u_ {k- 1} -q_ {k} u_ {k}, \; v_ {k + 1} = v_ {k-1} -q_ {k} v_ {k}}$

для получения на каждом шаге тождества Безу

${\ displaystyle r_ {k} (x) = u_ {k} (x) p (x) + v_ {k} (x) q (x).}$

Для аппроксимации [ m / n ], таким образом, выполняется расширенный алгоритм Евклида для

${\ displaystyle r_ {0} = x ^ {m + n + 1}, \; r_ {1} = T_ {m + n} (x)}$

и останавливает его в последний момент степени n или меньше. ${\ displaystyle v_ {k}}$

Тогда многочлены дают аппроксимацию [ m / n ] Паде. Если бы нужно было вычислить все шаги расширенного вычисления наибольшего общего делителя, то можно было бы получить антидиагональ таблицы Паде . ${\ Displaystyle P = r_ {k}, \; Q = v_ {k}}$

Дзета-функция Римана – Паде

Чтобы изучить повторное суммирование расходящегося ряда , скажем

${\ Displaystyle \ сумма _ {г = 1} ^ {\ infty} е (г),}$

может быть полезно ввести Паде или просто рациональную дзета-функцию в виде

${\ Displaystyle \ zeta _ {R} (s) = \ sum _ {z = 1} ^ {\ infty} {\ frac {R (z)} {z ^ {s}}},}$

куда

${\ Displaystyle Р (х) = [м / п] _ {е} (х) \,}$

- аппроксимация Паде порядка ( m , n ) функции f ( x ). Значение дзета-регуляризации при s = 0 берется как сумма расходящегося ряда.

Функциональное уравнение для этой дзета-функции Паде имеет вид

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {j} \ zeta _ {R} (sj) = \ sum _ {j = 0} ^ {m} b_ {j} \ zeta _ {0 } (sj),}$

где a _j и b _j - коэффициенты в приближении Паде. Нижний индекс «0» означает, что Паде имеет порядок [0/0] и, следовательно, у нас есть дзета-функция Римана.

Метод DLog Padé

Аппроксимации Паде можно использовать для извлечения критических точек и показателей функций. В термодинамике, если функция f ( x ) ведет себя неаналитическим образом вблизи точки x = r, например , x = r называется критической точкой, а p - ассоциированным критическим показателем f . Если известны достаточные члены разложения f в ряд , можно приблизительно извлечь критические точки и критические показатели из полюсов и вычетов аппроксимаций Паде соответственно, где . ${\ Displaystyle е (х) \ sim | xr | ^ {p}}$${\ Displaystyle [п / п + 1] _ {г} (х)}$${\ displaystyle g = {\ frac {f '} {f}}}$

Обобщения

Аппроксимация Паде приближает функцию от одной переменной. Аппроксимация двух переменных называется аппроксимацией Чисхолма (от JSR Chisholm ), а аппроксимация нескольких переменных - Кентерберийской аппроксимацией (по Грейвсу-Моррису в Кентском университете).

Аппроксимация Паде двух точек

Установлено, что обычное приближение Паде воспроизводит разложение Маклорена до заданного порядка. Следовательно, приближение к значению, отличному от точки расширения, может быть плохим. Этого можно избежать с помощью 2-точечного приближения Паде, которое представляет собой тип метода многоточечного суммирования. При рассмотрим случай, когда функция, которая выражается асимптотическим поведением , ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {0} (х)}$

${\ displaystyle f \ sim f_ {0} (x) + o (f_ {0} (x)) (x \ rightarrow 0)}$

Помимо этого, при дополнительной асимптотике${\ Displaystyle х \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle f _ {\ infty} (х)}$

${\ Displaystyle е (х) \ сим е _ {\ infty} (х) + о (е _ {\ infty} (х)) (х \ rightarrow \ infty)}$

Выбирая основное поведение , можно найти приближенные функции , которые одновременно воспроизводят асимптотическое поведение, развивая приближение Паде в различных случаях. В результате в точке, где точность аппроксимации может быть наихудшей в обычном приближении Паде, гарантируется хорошая точность двухточечной аппроксимации Паде. Следовательно, двухточечная аппроксимация Паде может быть методом, который дает хорошее приближение в целом для . ${\ displaystyle f_ {0} (x), f _ {\ infty} (x)}$${\ Displaystyle F (х)}$${\ Displaystyle х \ rightarrow \ infty}$${\ Displaystyle х = 0 \ сим \ infty}$

В случаях, которые выражаются полиномами или сериями отрицательных степеней, экспоненциальной функцией, логарифмической функцией или , мы можем применить 2-точечную аппроксимацию Паде к . Существует метод использования этого для получения приближенного решения дифференциального уравнения с высокой точностью. Кроме того, для нетривиальных нулей дзета-функции Римана первый нетривиальный нуль можно оценить с некоторой точностью из асимптотики на действительной оси. ${\ displaystyle f_ {0} (x), f _ {\ infty} (x)}$${\ Displaystyle х \ ln х}$${\ displaystyle f (x)}$

Многоточечная аппроксимация Паде

Дальнейшим расширением двухточечной аппроксимации Паде является многоточечная аппроксимация Паде. Этот метод рассматривает сингулярности точки одной функции , которая должна быть аппроксимирована. Рассмотрим случаи, когда особенности функции выражаются индексом через ${\ Displaystyle х = х_ {j} (j = 1,2,3 \ cdots, N)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle n_ {j}}$

${\ displaystyle f (x) \ sim {\ frac {A_ {j}} {(x-x_ {j}) ^ {n_ {j}}}} (x \ rightarrow x_ {j})}$

Помимо 2-точечной аппроксимации Паде, которая включает информацию в , этот метод приближает, чтобы уменьшить свойство расхождения в . В результате, поскольку информация об особенностях функции фиксируется, аппроксимация функции может выполняться с более высокой точностью. ${\ Displaystyle х = 0, х \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle x \ sim x_ {j}}$${\ displaystyle f (x)}$

Примеры

грех ( х )

${\ displaystyle \ sin (x) \ приблизительно {\ frac {(12671/4363920) x ^ {5} - (2363/18183) x ^ {3} + x} {1+ (445/12122) x ^ {2 } + (601/872784) x ^ {4} + (121/16662240) x ^ {6}}}}$

ехр ( х )

${\ Displaystyle \ ехр (х) \ приблизительно {\ гидроразрыва {1+ (1/2) х + (1/9) х ^ {2} + (1/72) х ^ {3} + (1/1008) х ^ {4} + (1/30240) x ^ {5}} {1- (1/2) x + (1/9) x ^ {2} - (1/72) x ^ {3} + (1 / 1008) x ^ {4} - (1/30240) x ^ {5}}}}$

Якоби ${\ Displaystyle \ mathrm {SN} (г, 3)}$

${\ displaystyle \ mathrm {sn} (z | 3) \ приблизительно {\ frac {- (9851629/283609260) z ^ {5} - (572744/4726821) z ^ {3} + z} {1+ (859490 / 1575607) z ^ {2} - (5922035/56721852) z ^ {4} + (62531591/2977897230) z ^ {6}}}}$

Бессель Дж (5, х )

${\ displaystyle J_ {5} (x) \ приблизительно {\ frac {- (107/28416000) x ^ {7} + (1/3840) x ^ {5}} {1+ (151/5550) x ^ { 2} + (1453/3729600) x ^ {4} + (1339/358041600) x ^ {6} + (2767/120301977600) x ^ {8}}}}$

erf ( x )

${\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно {\ frac {(2/15) \ cdot (49140x + 3570x ^ {3} + 739x ^ {5})} {{\ sqrt {\ pi}} \ cdot (165x ^ {4} + 1330x ^ {2} +3276)}}}$

Френель ${\ Displaystyle C (х)}$

${\ displaystyle C (x) \ приблизительно {\ frac {(1/135) \ cdot (990791x ^ {9} \ pi ^ {4} -147189744x ^ {5} \ pi ^ {2} + 8714684160x)} {( 1749 \ pi ^ {4} x ^ {8} +523536 \ pi ^ {2} x ^ {4} +64553216)}}}$

Смотрите также

• Стол Паде

использованная литература

Литература

• Бейкер, Джорджия, мл .; и Грейвс-Моррис, Аппроксимации П. Паде . Кембриджский университет, 1996 г.
• Бейкер, Г.А., Аппроксимант Паде младшего , Scholarpedia , 7 (6): 9756.
• Брезинский, Ц .; и Редиво Заглия, М. Методы экстраполяции. Теория и практика . Северная Голландия, 1991 г.
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 5.12 Аппроксимации Паде» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Frobenius, G .; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen , [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Crelle)]. Том 1881, выпуск 90, страницы 1–17
• Грэгг, ВБ; Таблица Паде и ее связь с некоторыми алгоритмами численного анализа [Обзор SIAM], Vol. 14, № 1, 1972, с. 1–62.
• Padé, H .; Sur la répresentation Approchée d'une fonction par des fractions rationelles , Thesis, [Ann. \ 'Ecole Nor. (3), 9, 1892, с. 1–93 приложение.
• Винн П. (1966), «О системах рекурсий, которые возникают среди частных таблицы Паде», Numerische Mathematik , 8 (3): 264–269, doi : 10.1007 / BF02162562 , S2CID  123789548

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Аппроксимант Паде» . MathWorld .
• Аппроксимации Паде , Александр Павлик, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Краткое руководство по анализу данных: приближение Паде , Европейская лаборатория физики элементарных частиц им. Рудольфа К. Бока , ЦЕРН .
• Sinewave , Скотт Даттало, последний доступ 11 ноября 2010 г.
• Функция MATLAB для аппроксимации моделей Паде с временными задержками.