Суммирование Эйлера - Euler summation

В математике сходящихся и расходящихся рядов , Эйлера суммирования является метод суммирования. То есть это метод присвоения значения ряду, отличный от обычного метода определения пределов частичных сумм. Для ряда Σ a _n , если его преобразование Эйлера сходится к сумме, то эта сумма называется суммой Эйлера исходного ряда. Помимо определения значений расходящихся рядов, суммирование Эйлера может использоваться для ускорения сходимости рядов.

Суммирование Эйлера можно обобщить до семейства методов, обозначенных (E, q ), где q ≥ 0. Сумма (E, 1) - это обычная сумма Эйлера. Все эти методы строго слабее борелевского суммирования ; при q > 0 они несравнимы с суммированием Абеля .

Определение

Для некоторого значения y мы можем определить сумму Эйлера (если она сходится для этого значения y ), соответствующую конкретному формальному суммированию, как:

${\ displaystyle _ {E_ {y}} \, \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j}: = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1 + y) ^ {i + 1}}} \ sum _ {j = 0} ^ {i} {\ binom {i} {j}} y ^ {j + 1} a_ {j}.}$

Если все формальные суммы действительно сходятся, сумма Эйлера будет равна левой части. Однако суммирование Эйлера может ускорить сходимость (это особенно полезно для чередующихся рядов); иногда это может также дать полезный смысл расходящимся суммам.

Чтобы оправдать этот подход, обратите внимание, что для переставленной суммы суммирование Эйлера сводится к исходному ряду, потому что

${\ displaystyle y ^ {j + 1} \ sum _ {i = j} ^ {\ infty} {\ binom {i} {j}} {\ frac {1} {(1 + y) ^ {i + 1 }}} = 1.}$

Сам этот метод не может быть улучшен итеративным приложением, так как

${\ displaystyle _ {E_ {y_ {1}}} {} _ {E_ {y_ {2}}} \ sum = \, _ {E _ {\ frac {y_ {1} y_ {2}} {1 + y_ {1} + y_ {2}}}} \ sum.}$

Примеры

• Используя y = 1 для формальной суммы
  $${\ Displaystyle \ сумма _ {j = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {j} P_ {k} (j)}$$

  
  мы получаем
  $${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {k} {\ frac {1} {2 ^ {i + 1}}} \ sum _ {j = 0} ^ {i} {\ binom {i} { j}} (- 1) ^ {j} P_ {k} (j),}$$

  
  если P _k - многочлен степени k . Обратите внимание, что внутренняя сумма будет равна нулю при i > k , поэтому в этом случае суммирование Эйлера сводит бесконечный ряд к конечной сумме.
• Особый выбор
  $${\ Displaystyle P_ {k} (j): = (j + 1) ^ {k}}$$

  
  дает явное представление чисел Бернулли , поскольку
  $${\ displaystyle {\ frac {B_ {k + 1}} {k + 1}} = - \ zeta (-k)}$$

  
  ( дзета-функция Римана ). Действительно, формальная сумма в этом случае расходится, поскольку k положительно, но применение суммирования Эйлера к дзета-функции (или, скорее, к связанной с ней эта-функции Дирихле ) дает (см. Глобально сходящийся ряд )
  $${\ displaystyle {\ frac {1} {1-2 ^ {k + 1}}} \ sum _ {i = 0} ^ {k} {\ frac {1} {2 ^ {i + 1}}} \ сумма _ {j = 0} ^ {i} {\ binom {i} {j}} (- 1) ^ {j} (j + 1) ^ {k}}$$

  
  который имеет закрытую форму .
• ${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} z ^ {j} = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1 + y) ^ {i +1}}} \ sum _ {j = 0} ^ {i} {\ binom {i} {j}} y ^ {j + 1} z ^ {j} = {\ frac {y} {1 + y }} \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1 + yz} {1 + y}} \ right) ^ {i}}$

При соответствующем выборе y (т.е. равным или близким к - 1/z) этот ряд сходится к 1/1 - z.

Смотрите также

• Биномиальное преобразование
• Борелевское суммирование
• Чезаро суммирование
• Суммирование Ламберта
• Формула Перрона
• Абелевы и тауберовы теоремы
• Формула Абеля – Планы
• Формула суммирования Абеля
• Преобразование ван вийнгаардена
• Суммирование Эйлера – Буля

использованная литература