Положительные действительные числа - Positive real numbers

В математике , множество положительных действительных чисел , является подмножеством тех действительных чисел , которые больше нуля. В неотрицательных действительных числах , также включают в себя нуль. Хотя символы и неоднозначно используются для любого из них, обозначения или для и или для также широко использовались, они соответствуют практике в алгебре обозначения исключения нулевого элемента звездочкой и должны быть понятны большинству. практикующие математики.

В комплексной плоскости , идентифицируется с положительной вещественной оси , и, как правило , изображается в виде горизонтального луча . Этот луч используется как ссылка в полярной форме комплексного числа . Действительная положительная ось соответствует комплексным числам с аргументом

Характеристики

Набор будет закрыт под сложение, умножение и деление. Он наследует топологию из реальной линии и, таким образом, имеет структуру мультипликативной топологической группы или аддитивной топологической полугруппы .

Для заданного положительного вещественного числа последовательность его целых степеней имеет три разные судьбы: Когда предел равен нулю; когда последовательность постоянна; и когда последовательность неограниченна .

а мультипликативная обратная функция меняет интервалы. Функции пола , и избыток , были использованы для описания элемента в виде цепной дроби , которая является последовательность целых чисел , полученных от функции пол после того, как избыток был возвратно - поступательное движение. Для рационального последовательность заканчивается точным дробным выражением, а для квадратичного иррационального последовательность становится периодической непрерывной дробью .

Упорядоченный набор формирует общий порядок, но не является хорошо упорядоченным набором . Вдвойне бесконечная геометрическая прогрессия , где это целое число , целиком лежит в и служит для раздела его для доступа. образует шкалу отношения , самый высокий уровень измерения . Элементы могут быть записаны в научных обозначениях как где и - целое число в дважды бесконечной прогрессии, и это называется декадой . При изучении физических величин порядок десятилетий обеспечивает положительные и отрицательные порядковые значения, относящиеся к порядковой шкале, неявной в шкале отношений.

При изучении классических групп , для каждого определитель дает карту из матриц над полем действительных чисел до действительных чисел: Ограничиваясь обратимыми матрицы дает карту из общей линейной группы к ненулевым действительным числам: Ограничиваясь матрицы с положительным определителем дает карту ; интерпретация образа как фактор-группы по нормальной подгруппе, называемой специальной линейной группой , выражает положительные действительные числа как группу Ли .

Шкала соотношения

Среди уровней измерения мельчайшие детали даёт шкала отношения. Функция деления принимает значение один (1), когда числитель и знаменатель равны. Другие отношения сравниваются с одним логарифмом, часто - десятичным логарифмом с основанием 10. Затем шкала отношений делится на порядки, используемые в науке и технике, выраженные в различных единицах измерения .

Раннее выражение шкалы отношений было геометрически сформулировано Евдоксом : «это было ... на геометрическом языке, что была разработана общая теория пропорций Евдокса, которая эквивалентна теории положительных действительных чисел».

Логарифмическая мера

Если - интервал , то определяет меру на некоторых подмножествах, соответствующую обратному вызову обычной меры Лебега на действительных числах под логарифмом: это длина в логарифмической шкале . Фактически, это инвариантная мера относительно умножения на a так же, как мера Лебега инвариантна относительно сложения. В контексте топологических групп эта мера является примером меры Хаара .

Полезность этой меры показана в ее использовании для описания звездных величин и уровней шума в децибелах , среди других приложений логарифмической шкалы . В международных стандартах ISO 80000-3 безразмерные величины называются уровнями .

Приложения

Неотрицательные числа служат изображением для показателей , норм и мер в математике.

Включая 0, набор имеет структуру полукольца (0 - аддитивное тождество ), известную как полукольцо вероятности ; взятие логарифмов (с выбором основания, задающим логарифмическую единицу ) дает изоморфизм с логарифмическим полукольцом (с 0, соответствующим ), а его единицы (конечные числа, исключая ) соответствуют положительным действительным числам.

Квадрат

Пусть первый квадрант декартовой плоскости. Сам квадрант разделен на четыре части линией и стандартной гиперболой.

Форма трезубца, в то время как центральная точка. Это элемент идентичности двух пересекающихся здесь однопараметрических групп :

Поскольку является группой , является прямым произведением групп . Однопараметрические подгруппы L и H в Q профилируют активность в продукте и являются разрешением типов групповых действий.

Сферы бизнеса и науки изобилуют соотношениями, и любое изменение соотношений привлекает внимание. Исследование относится к гиперболическим координатам в Q . Движение против оси L указывает на изменение среднего геометрического, в то время как изменение вдоль H указывает на новый гиперболический угол .

Смотрите также

  • Полутело  - одно из двух обобщений полей, либо расслабляющая ассоциативность и коммутативность умножения, либо ослабляющая существование аддитивных обратных
  • Знак (математика)

использованная литература

Библиография

  • Кист, Иосиф; Леетсма, Сэнфорд (1970). «Аддитивные полугруппы положительных действительных чисел». Mathematische Annalen . 188 (3): 214–218. DOI : 10.1007 / BF01350237 .