Точка разветвления - Branch point

В математической области комплексного анализа , А точку ветвления из многозначной функции (обычно называют «многофункциональным» в контексте комплексного анализа) является точка, что функция является прерывистой , когда происходит вокруг сколь угодно малый обход эта точка. Многозначные функции строго изучаются с помощью римановых поверхностей , и формальное определение точек ветвления использует это понятие.

Точки ветвления делятся на три широкие категории: алгебраические точки ветвления, трансцендентные точки ветвления и логарифмические точки ветвления. Алгебраические точки ветвления чаще всего возникают из функций, в которых существует неоднозначность при извлечении корня, таких как решение уравнения w ² = z для w как функции от z . Здесь точка ветвления - это начало координат, потому что аналитическое продолжение любого решения вокруг замкнутого цикла, содержащего начало координат, приведет к другой функции: существует нетривиальная монодромия . Несмотря на алгебраическую точку ветвления, функция w хорошо определена как многозначная функция и, в соответствующем смысле, непрерывна в начале координат. Это контрастирует с трансцендентными и логарифмическими точками ветвления, то есть точками, в которых многозначная функция имеет нетривиальную монодромию и существенную особенность . В геометрической теории функций безоговорочное использование термина « точка ветвления» обычно означает предыдущий более ограничительный вид: алгебраические точки ветвления. В других областях комплексного анализа неквалифицированный термин может также относиться к более общим точкам ветвления трансцендентного типа.

Алгебра

Пусть Ω - связное открытое множество на комплексной плоскости C и ƒ : Ω → C - голоморфная функция . Если ƒ не является постоянной, то набор критических точек из ƒ , то есть нули производной ƒ «( г ), не имеет предельную точку в Ом. Таким образом , каждый критическая точка г ₀ из ƒ лежит в центре диска B ( г ₀ , г ) , не содержащий другую критическую точки ƒ в его закрытии.

Пусть γ - граница B ( z ₀ , r ), взятая с его положительной ориентацией. Обмотки число из ƒ ( & gamma ; ) по отношению к точке ƒ ( г ₀ ) представляет собой положительное целое число называется ветвление индекс из г ₀ . Если индекс ветвления больше , чем 1, то г ₀ называется точкой ветвления из ƒ , и соответствующее критическое значение ƒ ( г ₀ ) называется (алгебраической) точки ветвления . Эквивалентно, z ₀ является точкой ветвления, если существует голоморфная функция φ, определенная в окрестности z _0, такая, что ƒ ( z ) = φ ( z ) ( z - z ₀ ) ^k для некоторого натурального числа k > 1.

Как правило, один не заинтересован в ƒ сам по себе, но в обратной функции . Однако функция, обратная голоморфной функции в окрестности точки ветвления, не существует должным образом, и поэтому человек вынужден определять ее в многозначном смысле как глобальную аналитическую функцию . Часто злоупотребляют языком и называют точку ветвления w ₀ = ƒ ( z ₀ ) функции ƒ точкой ветвления глобальной аналитической функции ƒ ⁻¹ . Более общие определения точек ветвления возможны для других видов многозначных глобальных аналитических функций, таких как те, которые определены неявно . Объединяющая структура для работы с такими примерами предоставляется на языке римановых поверхностей ниже. В частности, в этой более общей картине полюса порядка больше 1 также могут считаться точками разветвления.

В терминах обратной глобальной аналитической функции ƒ ⁻¹ точки ветвления - это те точки, вокруг которых существует нетривиальная монодромия . Например, функция ƒ ( z ) = z ² имеет точку ветвления при z ₀ = 0. Обратной функцией является квадратный корень ƒ ⁻¹ ( w ) = w ^1/2 , который имеет точку ветвления при w ₀ = 0. Действительно, обход замкнутого контура w = e ^{i θ} начинается с θ = 0 и e ^{i0 / 2} = 1. Но после обхода контура до θ = 2 $π$ получается e ^{2 $π$ i / 2} = −1. Таким образом, вокруг этого цикла, охватывающего начало координат, существует монодромия.

Трансцендентные и логарифмические точки ветвления

Предположим, что g - глобальная аналитическая функция, определенная на проколотом диске около z ₀ . Тогда г имеет трансцендентную точку ветвления , если г ₀ является существенно особой точкой в г такой , что аналитическое продолжение некоторой функции элемента один раз вокруг некоторой простой замкнутой кривой , окружающей точку г ₀ дает другую функцию элемента.

Примером трансцендентной точки ветвления является начало многозначной функции

{\ Displaystyle г (г) = \ ехр \ влево (г ^ {- 1 / к} \ вправо) \,}

для некоторого целого k > 1. Здесь группа монодромии обхода вокруг начала координат конечна. Аналитическое продолжение k полных схем возвращает функцию к исходной.

Если группа монодромии бесконечна, то есть невозможно вернуться к исходному функциональному элементу путем аналитического продолжения по кривой с ненулевым числом намотки вокруг z ₀ , то точка z ₀ называется точкой логарифмического ветвления . Это так называется, потому что типичным примером этого явления является точка ветвления комплексного логарифма в начале координат. Обойдя один раз против часовой стрелки по простой замкнутой кривой, охватывающей начало координат, комплексный логарифм увеличивается на 2 $π$ i . Обводя петлю с номером витка w , логарифм увеличивается на 2 $π$ i w, и группа монодромии является бесконечной циклической группой . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Логарифмические точки ветвления - это частные случаи трансцендентных точек ветвления.

Соответствующего понятия ветвления для трансцендентных и логарифмических точек ветвления не существует, поскольку ассоциированная накрывающая риманова поверхность не может быть аналитически продолжена до накрытия самой точки ветвления. Поэтому такие покрытия всегда неразветвленные.

Примеры

0 - точка ветвления функции квадратного корня . Пусть ш = г ^1/2 , а г начинается в 4 и движется по окружности с радиусом 4 в комплексной плоскости с центром в точке 0. зависимой переменной ш изменяется в то время как в зависимости от г в непрерывном режиме. Когда z сделает один полный круг, снова вернувшись от 4 к 4, w будет образовывать один полукруг, переходя от положительного квадратного корня из 4, то есть от 2, к отрицательному квадратному корню из 4, то есть: 2.
0 также является точкой ветвления натурального логарифма . Поскольку e ⁰ совпадает с e ^{2 $π$ i} , как 0, так и 2 $π$ i входят в число нескольких значений ln (1). Когда z движется по окружности радиуса 1 с центром в 0, w = ln ( z ) изменяется от 0 до 2 $π$ i .
В тригонометрии , поскольку tan ( $π$ / 4) и tan (5 $π$ / 4) равны 1, два числа $π$ / 4 и 5 $π$ / 4 входят в число нескольких значений arctan (1). Мнимые единицы i и - i являются точками ветвления функции арктангенса arctan ( z ) = (1/2 i ) log [( i - z ) / ( i + z )]. Это можно увидеть, заметив, что производная ( d / dz ) arctan ( z ) = 1 / (1 + z ² ) имеет простые полюсы в этих двух точках, поскольку знаменатель в этих точках равен нулю.
Если производная ƒ 'функции ƒ имеет простой полюс в точке а , то ƒ имеет логарифмическую точку ветвления в точке а . Обратное неверно, поскольку функция ƒ ( z ) = z ^α для иррационального α имеет логарифмическую точку ветвления, а ее производная сингулярна, но не является полюсом.

Отрезки веток

Грубо говоря, точки ветвления - это точки, где сходятся различные листы многозначной функции. Ветви функции - это различные листы функции. Например, функция w = z ^1/2 имеет две ветви: в одной квадратный корень идет со знаком плюс, а в другой - со знаком минус. Ветвь разрез представляет собой кривую в комплексной плоскости таким образом, что можно определить одну аналитическую ветвь многозначной функции на плоскости минус этой кривой. Срезы ветвей обычно, но не всегда, выполняются между парами точек ветвления.

Сечения ветвей позволяют работать с набором однозначных функций, «склеенных» вместе по сечению ветвей, вместо многозначной функции. Например, чтобы сделать функцию

{\ Displaystyle F (z) = {\ sqrt {z}} {\ sqrt {1-z}} \,}

однозначный, делается разветвление по отрезку [0, 1] на вещественной оси, соединяющее две точки ветвления функции. Ту же идею можно применить и к функции √ z ; но в этом случае нужно понимать, что бесконечно удаленная точка является подходящей «другой» точкой ветвления для соединения с 0, например, вдоль всей отрицательной действительной оси.

Устройство обрезки ветки может показаться произвольным (и это так); но это очень полезно, например, в теории специальных функций. Инвариантное объяснение явления ветвления разработано в теории римановой поверхности (из которой она исторически является источником), и в более общем плане в теории ветвления и монодромии алгебраических функций и дифференциальных уравнений .

Комплексный логарифм

График многозначной мнимой части функции комплексного логарифма, на которой показаны ветви. Когда комплексное число z обходит начало координат, мнимая часть логарифма увеличивается или уменьшается. Это делает начало координат точкой ветвления функции.

Типичный пример сечения ветки - комплексный логарифм. Если комплексное число представлено в полярной форме z = r e ^{i θ} , то логарифм z равен

{\ Displaystyle \ пер г = \ пер г + я \ тета. \,}

Однако существует очевидная двусмысленность в определении угла θ : добавление к θ любого целого числа, кратного 2 $π$ , даст другой возможный угол. Ветвь логарифма - это непрерывная функция L ( z ), дающая логарифм z для всех z в связном открытом множестве на комплексной плоскости. В частности, ветвь логарифма существует в дополнении любого луча от начала координат до бесконечности: разрез ветки . Обычный выбор отрезания ответвления - отрицательная действительная ось, хотя выбор в значительной степени вопрос удобства.

Логарифм имеет скачок 2 $π$ i при пересечении сечения ветви. Логарифм можно сделать непрерывным, склеив счетное количество копий, называемых листами , комплексной плоскости вдоль разреза ветви. На каждом листе значение журнала отличается от его основного значения на 2 $π$ i. Эти поверхности склеены друг с другом по разрезу ветки уникальным образом, чтобы логарифм был непрерывным. Каждый раз, когда переменная обходит начало координат, логарифм перемещается в другую ветвь.

Континуум полюсов

Одна из причин того, что сечения ветвей являются общими чертами комплексного анализа, состоит в том, что сечения ветвей можно рассматривать как сумму бесконечно большого числа полюсов, расположенных вдоль прямой в комплексной плоскости с бесконечно малыми вычетами. Например,

{\ displaystyle f_ {a} (z) = {1 \ over za}}

- функция с простым полюсом в точке z = a . Интегрируя по положению полюса:

{\ displaystyle u (z) = \ int _ {a = -1} ^ {a = 1} f_ {a} (z) \, da = \ int _ {a = -1} ^ {a = 1} { 1 \ над za} \, da = \ log \ left ({z + 1 \ over z-1} \ right)}

определяет функцию u ( z ) с разрезом от -1 до 1. Разрез ветви можно перемещать, поскольку линию интегрирования можно сдвигать без изменения значения интеграла, пока линия не проходит через точку z .

Римановы поверхности

Понятие точки ветвления определено для голоморфной функции ƒ: X → Y от компактной связной римановой поверхности X до компактной римановой поверхности Y (обычно римановой сферы ). Если она не постоянна, функция ƒ будет покрывающей картой на свой образ во всех точках, кроме конечного. Точки X, где не может быть покрытием, являются точками ветвления, а образ точки ветвления под называется точкой ветвления.

Для любой точки P ∈ X и Q = ƒ ( P ) ∈ Y существуют голоморфные локальные координаты z для X около P и w для Y около Q, в терминах которых функция ƒ ( z ) имеет вид

{\ Displaystyle ш = г ^ {к}}

для некоторого целого k . Это целое число называется индексом ветвления P . Обычно индекс ветвления равен единице. Но если индекс ветвления не равен единице, то P по определению является точкой ветвления, а Q - точкой ветвления.

Если Y - это просто сфера Римана, а Q находится в конечной части Y , то нет необходимости выбирать специальные координаты. Индекс ветвления можно явно рассчитать по интегральной формуле Коши. Пусть γ простая спрямляемая петля в X вокруг P . Индекс ветвления в точке P равен

{\ displaystyle e_ {P} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {f '(z)} {f (z) -f (P)}} \, dz.}

Этот интеграл число раз , ƒ (Г) ветры вокруг точки Q . Как и выше, P - точка ветвления, а Q - точка ветвления, если e _P > 1.

Алгебраическая геометрия

В контексте алгебраической геометрии понятие точек ветвления может быть обобщено на отображения между произвольными алгебраическими кривыми . Пусть ƒ: X → Y - морфизм алгебраических кривых. Потянув назад рациональные функции от Y до рациональных функций на X , K ( X ) является расширение поля из K ( Y ). Степень определяется как степень этого расширения поля [ K ( X ): K ( Y )], а ƒ называется конечной, если степень конечна.

Предположим, что конечно. Для точки P ∈ X индекс ветвления e _P определяется следующим образом. Пусть Q = ƒ ( P ) и t - локальный униформизирующий параметр в P ; то есть t - регулярная функция, определенная в окрестности Q с t ( Q ) = 0, дифференциал которой отличен от нуля. Отходили т по ƒ определяет регулярную функцию на X . потом

{\ displaystyle e_ {P} = v_ {P} (t \ circ f)}

где v _Р является оценка в локальном кольце регулярных функций на P . То есть e _P - это порядок, до которого в P обращается в нуль . Если е _Р > 1, то ƒ называется разветвленным в P . В этом случае Q называется точкой ветвления. ${\ displaystyle t \ circ f}$

Languages

In other projects