Покрытие пространства - Covering space

Покрывающее отображение удовлетворяет условию локальной тривиальности. Наглядно, такие карты локально проецировать «стопку блинов» выше в открытой области , U , на U .

В математике , в частности алгебраической топологии , А накрытие (также покрытие проекции ) является непрерывной функцией от топологического пространства на топологическом пространстве таким образом, что каждая точка имеет открытую окрестность , равномерно покрыта путем (как показано на рисунке). В этом случае, называются накрытием и базовым пространством проекции накрытия. Из определения следует, что каждое накрывающее отображение является локальным гомеоморфизмом .

Накрывающие пространства играют важную роль в теории гомотопий , гармоническом анализе , римановой геометрии и дифференциальной топологии . Например, в римановой геометрии ветвление является обобщением понятия покрывающих отображений. Накрывающие пространства также тесно связаны с изучением гомотопических групп и, в частности, фундаментальной группы . Важное применение исходит из результата , что, если это «достаточно хорошо» топологическое пространства , существует взаимно однозначное соответствие между совокупностью всех классов изоморфизма из связных покрытий и классов сопряженных с подгруппами в фундаментальных группы из .

Формальное определение

Позвольте быть топологическим пространством . Накрытие из топологического пространства вместе с непрерывной сюръективной картой

таким образом, что для каждого , существует открытая окрестность о , таким образом, что ( прообраз из Under ) является объединением непересекающихся открытых множеств в , каждый из которых отображается гомеоморфно на по .

Эквивалентно покрытие может быть определено как пучок волокон с дискретными волокнами.

Карта называется покрывающей картой , пространство часто называют базовым пространством покрытия, а пространство называется общим пространством покрытия. Для любой точки в базе прообраз in обязательно является дискретным пространством, называемым слоем над .

Специальные открытые окрестности из приведенных в определении называются равномерно покрыты окрестности . Равномерно укрытые кварталы образуют открытую обложку пространства . Гомеоморфные копии равномерно покрытой окрестности называются листами поверх . Обычно изображают как «парящий вверху» , с отображением «вниз», листы сверху укладываются горизонтально друг над другом и выше , а волокно состоит из тех точек, которые лежат «вертикально вверху» . В частности, накрывающие карты локально тривиальны. Это означает , что локально, каждое накрытие является «изоморфны» к проекции в том смысле , что существует гомеоморфизм, , от прообраза , из равномерно покрытых окрестностей , на , где это волокно, удовлетворяющее условию локальной тривиализации , который утверждает следующее: если это проекция на первый фактор, то композиция равна локально (внутри ).

Альтернативные определения

Многие авторы накладывают некоторые условия связности на пространства и в определение покрывающей карты. В частности, многие авторы требуют, чтобы оба пространства были линейно связанными и локально путевыми . Это может оказаться полезным, потому что многие теоремы верны только в том случае, если рассматриваемые пространства обладают этими свойствами. Некоторые авторы опускают предположение о сюръективности, поскольку если связно и непусто, то сюръективность покрывающего отображения фактически следует из других аксиом.

Примеры

  • Каждое пространство тривиально покрывает себя.
  • Связное и локально линейно связное топологическое пространство имеет универсальную оболочку тогда и только тогда, когда оно полулокально односвязно .
  • универсальная крышка круга
  • Спина группа представляет собой двойную крышку специальной ортогональной группы и универсальной накрывающей когда это . Случайные или исключительные изоморфизмы групп Ли затем дают изоморфизмы между спиновыми группами низкой размерности и классическими группами Ли.
  • Унитарная группа имеет универсальное покрытие .
  • Гиперсфера двойная крышка вещественного проективного пространства и является универсальным прикрытием .
  • Каждое многообразие имеет ориентируемое двойное покрытие , связное тогда и только тогда, когда многообразие неориентируемо.
  • Теорема униформизации утверждает, что каждая риманова поверхность имеет универсальное покрытие, конформно эквивалентное сфере Римана , комплексной плоскости или единичному кругу.
  • Универсальное покрытие клина окружностей - это граф Кэли свободной группы на образующих, т. Е. Решетка Бете .
  • Тор представляет собой двойную крышку бутылки Клейна . Это можно увидеть, используя многоугольники для тора и бутылки Клейна, и наблюдая за двойной крышкой круга (встраивание в отправку ).
  • Каждый граф имеет двудольное двойное покрытие . Поскольку каждый граф гомотопен клину окружностей, его универсальное покрытие является графом Кэли.
  • Каждое погружение с компактного многообразия на многообразие той же размерности является покрытием его образа.
  • Другой эффективный инструмент для построения покрывающих пространств - использование факторов по свободным действиям конечной группы.
  • Например, пространство определяется частным от (вложено в ) через -action . Это пространство, называемое линзовым пространством , имеет фундаментальную группу и универсальное покрытие .
  • Карта аффинных схем образует накрывающее пространство с группой преобразований колоды. Это пример циклического покрытия Галуа .

Характеристики

Общие местные свойства

  • Каждое покрытие является локальным гомеоморфизмом ; то есть, для каждого , существует окрестность о С и окрестность из таких , что сужение р на U дает гомеоморфизм из U в V . Это означает, что C и X разделяют все локальные свойства. Если Х является односвязной и С связано, то это имеет место во всем мире , а также, и покрытие р есть гомеоморфизм.
  • Если и покрывают карты, то также и карта, заданная .

Гомеоморфизм волокон

Для каждого х в X , слой над й является дискретным подмножеством C . На каждом компоненте связности из X , волокна гомеоморфны.

Если Х соединено, существует дискретное пространство F , что для любого х в Й слой над й является гомеоморфным к F и, кроме того, для каждого х в X найдется окрестность U из й таких , что ее полного прообраза р -1 ( U ) гомеоморфно U × F . В частности, мощность слоя над й равна мощностью Р , и это называется степенью крышки р  : CX . Таким образом, если в каждом слое n элементов, мы говорим о n -кратном покрытии (для случая n = 1 покрытие тривиально; при n = 2 покрытие является двойным покрытием ; при n = 3 покрытие является тройная крышка и так далее).

Подъемные свойства

Если p  : CX - покрытие, γ - путь в X (т. Е. Непрерывное отображение единичного интервала [0, 1] в X ) и cC - точка, «лежащая над» γ (0) (т. Е. p ( c ) = γ (0)) , то существует единственный путь Γ в C, лежащий над γ (т. е. p ∘ Γ = γ ), такой, что Γ (0) = c . Кривая Γ называется подъемом кривой γ. Если x и y - две точки в X, соединенные путем, то этот путь обеспечивает биекцию между слоем над x и слоем над y посредством свойства подъема.

В более общем плане , пусть F  : ZX непрерывное отображение на X из пути , подключенного и локально линейно связное пространство Z . Зафиксируем базовую точку zZ и выберем точку cC, «лежащую над» f ( z ) (т.е. p ( c ) = f ( z ) ). Тогда существует подъем из F (то есть, непрерывное отображение г  : ZC , для которых рг = е и г ( г ) = C ) тогда и только тогда , когда эти индуцированные гомоморфизмы F #  : π 1 ( Z , г ) → π 1 ( X , f ( z )) и p #  : π 1 ( C , c ) → π 1 ( X , f ( z )) на уровне фундаментальных групп удовлетворяют

 

 

 

 

( )

Более того, если такой подъем g функции f существует, он единственен.

В частности, если пространство Z предполагается односвязным (так что π 1 ( Z , z ) тривиально), условие (♠) автоматически выполняется, и любое непрерывное отображение из Z в X может быть поднято. Поскольку единичный интервал [0, 1] односвязен, свойство подъема для путей является частным случаем свойства подъема для отображений, указанных выше.

Если p  : CX - покрытие и cC и xX таковы, что p ( c ) = x , то p # инъективно на уровне фундаментальных групп и индуцированные гомоморфизмы p #  : π n ( C , c ) → π n ( X , x ) - изоморфизмы для всех n ≥ 2 . Оба эти утверждения могут быть выведены из свойства подъема для непрерывных отображений. Сюръективность р # для п ≥ 2 следует из того , что для всех таких п , то п -сферы S п односвязно и , следовательно , каждое непрерывное отображение из S п к X можно поднять до C .

Эквивалентность

Пусть p 1  : C 1X и p 2  : C 2X - два покрытия. Один говорит , что два покрытия р 1 и р 2 являются эквивалентны , если существует гомеоморфизм р 21  : С 2С 1 и такое , что р 2 = р 1р 21 . Классы эквивалентности покрытий соответствуют классам сопряженных подгрупп фундаментальной группы из X , как описано ниже. Если р 21  : С 2С 1 является покрытием (а не гомеоморфизму) и р 2 = р 1р 21 , то говорят , что р 2 доминирует р 1 .

Покрытие коллектора

Так как покрытия являются локальными гомеоморфизмами , покрытие топологического п - многообразие является п -многообразием. (Можно доказать, что накрывающее пространство счетно до второго, исходя из того факта, что фундаментальная группа многообразия всегда счетна .) Однако пространство, покрытое n -многообразием, может быть нехаусдорфовым многообразием . Например, пусть C будет плоскостью с удаленным началом, а X - фактор-пространством, полученным путем отождествления каждой точки ( x , y ) с (2 x , y / 2) . Если p  : CX - фактор-отображение, то это покрытие, поскольку действие Z на C, порожденное функцией f ( x , y ) = (2 x , y / 2) , собственно разрывно . Точки р (1, 0) и р (0, 1) не имеют непересекающиеся окрестности в X .

Любое накрывающее пространство дифференцируемого многообразия может быть оснащено (естественной) дифференцируемой структурой, которая превращает p (рассматриваемое накрывающее отображение) в локальный диффеоморфизм - отображение с постоянным рангом n .

Универсальные чехлы

Покрытие - это универсальное покрытие, если оно односвязно . Название универсальное покрытие происходит от следующего важного свойства: если отображение q : DX является универсальным покрытием пространства X, а отображение p  : CX является любым покрытием пространства X, где накрытие C связно, то существует накрывающее отображение f  : DC такое, что pf = q . Это можно сформулировать так:

Универсальное покрытие (пространства X ) покрывает любое связное покрытие (пространства X ).

Отображение f уникально в следующем смысле: если мы зафиксируем точку x в пространстве X и точку d в пространстве D с q ( d ) = x и точку c в пространстве C с p ( c ) = x , то существует единственное накрывающее отображение f  : DC такое, что pf = q и f ( d ) = c .

Если пространство X имеет универсальное покрытие, то это универсальное покрытие существенно уникально: если отображения q 1  : D 1X и q 2  : D 2X являются двумя универсальными покрытиями пространства X, то существует гомеоморфизм f  : D 1D 2 такое, что q 2f = q 1 .

Пространство X имеет универсальную оболочку, если оно связно , локально линейно связно и полулокально односвязно . Универсальное покрытие пространства X можно построить как некое пространство траекторий в пространстве X . Более явно, оно образует главное расслоение с фундаментальной группой π 1 ( X ) в качестве структурной группы.

Приведенный выше пример RS 1 является универсальной крышкой. Карта S 3 → SO (3) от единичных кватернионов до вращений трехмерного пространства, описанных в кватернионах и пространственном вращении , также является универсальным покрытием.

Если пространство несет некоторую дополнительную структуру, то его универсальное покрытие обычно наследует эту структуру:

Универсальная оболочка впервые возникла в теории аналитических функций как естественная область аналитического продолжения .

G-покрытия

Пусть G является дискретной группа действует на топологическом пространстве X . Это означает , что каждый элемент г из G ассоциируется с гомеоморфизм Н г из X на себя, таким образом , что Н г ч всегда равна Н г ∘ Н ч для любых двух элементов г и ч из G . (Или, другими словами, группа действие группы G на пространстве X это просто группа гомоморфизм группы G в группу Homeo ( X ) из автогомеоморфизмов X .) Естественно спросить , при каких условиях проекция из X в пространство орбит X / G является накрывающим отображением. Это не всегда верно, поскольку действие может иметь фиксированные точки. Примером этого является циклическая группа порядка 2, действующая на произведение X × X действием скручивания, где неединичный элемент действует как ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Таким образом, изучение связи между фундаментальными группами X и X / G не так просто.

Однако группа G действительно действует на фундаментальном группоиде X , и поэтому исследование лучше всего проводить, рассматривая группы, действующие на группоидах, и соответствующие группоиды орбит . Теория этого изложена в главе 11 книги « Топология и группоиды», упомянутой ниже. Основной результат состоит в том, что для разрывных действий группы G на хаусдорфовом пространстве X, допускающем универсальное покрытие, фундаментальный группоид пространства орбит X / G изоморфен группоиду орбит фундаментального группоида X , т. Е. Факторпространству из этого группоида под действием группы G . Это приводит к явным вычислениям, например, фундаментальной группы симметричного квадрата пространства.

Группа преобразований палубы (покрытия), регулярные покрытия

Покрытия преобразования или палубы преобразование или автоморфизм крышки является Гомеоморфизм таким образом, что . Множество всех преобразований колоды образует группу по композиции , группу преобразований колоды . Преобразования колоды также называются покрывающими преобразованиями . Каждое преобразование колоды переставляет элементы каждого слоя. Это определяет групповое действие группы преобразований колоды на каждом слое. Обратите внимание, что благодаря уникальному свойству подъема, если он не является тождественным и связан по пути, то не имеет фиксированных точек .

Теперь предположим, что это покрывающая карта и (а значит, также ) связная и локально связная. Воздействие на каждое волокно осуществляется бесплатно . Если это действие транзитивно на некотором слое, то оно транзитивно на всех слоях, и мы называем покрытие регулярным (или нормальным, или Галуа ). Каждое такое регулярное покрытие является главным -расслоением , рассматриваемым как дискретная топологическая группа.

Каждое универсальное покрытие является регулярным, причем группа преобразований колоды изоморфна фундаментальной группе .

В качестве еще одного важного примера рассмотрим комплексную плоскость и комплексную плоскость без начала координат. Тогда карта с является обычным покрытием. Преобразования колоды - это умножения с корнями -й степени из единицы, поэтому группа преобразований колоды изоморфна циклической группе . Точно так же карта с универсальной обложкой.

Монодромия действие

Снова предположим, что это покрывающая карта и C (а значит, и X ) связно и локально линейно связно. Если x находится в X, а c принадлежит слою над x (т. Е. ) И является путем с , то этот путь поднимается до уникального пути в C с начальной точкой c . Конечная точка этого поднятого пути не обязательно должна быть c , но она должна лежать в слое над x . Оказывается, этот конец зависит только от класса γ в фундаментальной группе π 1 ( X , x ) . Таким способом мы получаем правильную группу действия из П 1 ( X , х ) на слое над й . Это известно как действие монодромии .

На слое над x действуют два действия  : Aut ( p ) действует слева, а π 1 ( X , x ) действует справа. Эти два действия совместимы в следующем смысле: для всех f в Aut ( p ), c в p − 1 ( x ) и γ в π 1 ( X , x ) .

Если р является универсальной крышкой, то Aut ( р ) может быть естественным образом идентифицирован с противоположной группой из п 1 ( Х , х ) , так что левое действие противоположной группы П 1 ( Х , х ) совпадает с действием Aut ( p ) на слое над x . Заметим, что Aut ( p ) и π 1 ( X , x ) естественно изоморфны в этом случае (поскольку группа всегда естественно изоморфна своей противоположности через gg −1 ) .

Если p - регулярное покрытие, то Aut ( p ) естественно изоморфно частному от π 1 ( X , x ) .

В общем случае (для хороших пространств), Аи ( р ) естественно изоморфно частное от нормализатора из р * ( π 1 ( С , с )) в П 1 ( Х , х ) над р * ( П 1 ( C , c )) , где p ( c ) = x .

Подробнее о структуре группы

Пусть p  : CX - накрывающее отображение, где X и C линейно связны. Пусть xX - базовая точка X и cC - один из его прообразов в C , то есть p ( c ) = x . Существует индуцированный гомоморфизм из фундаментальной группы р #  : л 1 ( C , C ) → л 1 ( Х , х ) , который является инъективны подъемным свойством покрытий. В частности , если & gamma представляет собой замкнутую петлю в C таким образом, что р # ([ & gamma ]) = 1 , то есть р ∘ & gamma есть нуль-гомотопны в X , то рассмотрим нуль-гомотопию рГ как отображение F  : D 2X с 2-диска D 2 на X такое, что ограничение f на границу S 1 круга D 2 равно pγ . По свойству подъема отображение f поднимается до непрерывного отображения g  : D 2C такое, что ограничение g на границу S 1 области D 2 равно γ . Таким образом, γ является нуль-гомотопно в C , так что ядро из р #  : л 1 ( С , с ) → л 1 ( Х , х ) тривиален и , следовательно , р #  : л 1 ( С , с ) → л 1 ( X , x ) - инъективный гомоморфизм.

Следовательно, π 1 ( C , c ) изоморфна подгруппе p # ( π 1 ( C , c )) группы π 1 ( X , x ) . Если с 1C является еще прообраз х в С , то подгруппа р # ( π 1 ( C , гр )) и р # ( π 1 ( C , C 1 )) являются сопряженными в П 1 ( Х , х ) с помощью р -image кривой в C , соединяющей гр с с 1 . Таким образом, накрывающее отображение p  : CX определяет класс сопряженных подгрупп в π 1 ( X , x ), и можно показать, что эквивалентные покрытия X определяют один и тот же класс сопряженных подгрупп в π 1 ( X , x ) .

Можно видеть, что для покрытия p  : CX группа p # ( π 1 ( C , c )) равна

множество гомотопических классов тех замкнутых кривых γ, базирующихся в x, чьи подъемы γ C в C , начиная с c , являются замкнутыми кривыми в c . Если X и C линейно связны, степень покрытия p (то есть мощность любого слоя p ) равна индексу [ π 1 ( X , x ): p # ( π 1 ( C , c )) ] подгруппы p # ( π 1 ( C , c )) в π 1 ( X , x ) .

Ключевой результат теории покрывающих пространств гласит, что для «достаточно хорошего» пространства X (а именно, если X линейно связно, локально линейно связно и полулокально односвязно ) на самом деле существует биекция между классами эквивалентности путей -связные накрытия X и классы сопряженности подгрупп фундаментальной группы π 1 ( X , x ) . Основным шагом в доказательстве этого результата является установление существования универсального покрытия, то есть покрытия, соответствующего тривиальной подгруппе в π 1 ( X , x ) . После того, как существование универсальной накрывающей С из X устанавливается, если Hπ 1 ( X , х ) произвольная подгруппа, пространство С / Н является покрытие X , соответствующее H . Также необходимо проверить, что два покрытия X, соответствующие одной (классу сопряженности) подгруппе π 1 ( X , x ) , эквивалентны. Связные клеточные комплексы и связные многообразия являются примерами «достаточно хороших» пространств.

Пусть N ( Γ p ) - нормализатор Γ p в π 1 ( X , x ) . Группа преобразований колоды Aut ( p ) изоморфна фактор-группе Np ) / Γ p . Если p - универсальное покрытие, то Γ p - тривиальная группа , а Aut ( p ) изоморфна π 1 ( X ).

Давайте обратим этот аргумент. Пусть N будет нормальная подгруппа из П 1 ( Х , х ) . В силу сказанного выше аргументов, это определяет (обычный) , охватывающий р  : СХ . Пусть c 1 в C находится в слое x . Тогда для любого другого c 2 в слое x существует ровно одно преобразование колоды, переводящее c 1 в c 2 . Это преобразование колоды соответствует кривой g в C, соединяющей c 1 с c 2 .

Отношения с группоидами

Один из способов выражения алгебраического содержания теории накрывающих пространств - использование группоидов и фундаментального группоида . Последний функтор дает эквивалентность категорий

между категорией накрывающих пространств достаточно хорошего пространства X и категорией группоидных накрывающих морфизмов π 1 ( X ). Таким образом, определенный вид карты пространств хорошо моделируется определенным видом морфизма группоидов. Категория покрывающих морфизмов группоида G также эквивалентна категории действий G на множествах, и это позволяет восстановить более традиционные классификации покрытий.

Отношения с классифицирующими пространствами и когомологиями групп

Если Х является связным клеточным комплексом с гомотопических группами П п ( Х ) = 0 для все п ≥ 2 , то универсальное накрытие пространства Т из X является сжимаемым, как следует из применения теоремы Уайтхед к Т . В этом случае X - классифицирующее пространство или K ( G , 1) для G = π 1 ( X ) .

Кроме того, для каждого п ≥ 0 группы сотового п -цепи С п ( Т ) (то есть свободная абелева группа с базисом задается п -клеток в Т ) также имеет естественную Z G - модуль структуру. Здесь для n -клетки σ в T и для g в G клетка g σ является в точности сдвигом σ накрывающим преобразованием T, соответствующим g . Кроме того, С п ( Т ) является свободным Z G - модуль со свободным Z G -базиса от представителя G -орбит из п -клеток в Т . В этом случае стандартный топологический цепной комплекс

где ε является увеличение карты , является свободным Z G -Разрешение из Z (где Z оснащен тривиальным Z G - модуль структурой, GM = т для каждого гG и любой мZ ). Это разрешение можно использовать для вычисления групповых когомологий группы G с произвольными коэффициентами.

Метод Грэма Эллиса для вычисления резольвент групп и других аспектов гомологической алгебры, как показано в его статье в J. Symbolic Comp. и его веб-страница, указанная ниже, предназначена для индуктивного построения универсального покрытия предполагаемого K ( G , 1) одновременно с сжимающейся гомотопией этого универсального покрытия. Именно последний дает вычислительный метод.

Обобщения

В качестве теории гомотопии понятие покрывающих пространств хорошо работает, когда группа преобразований колоды дискретна или, что то же самое, когда пространство локально линейно связно . Однако, когда группа преобразований колоды является топологической группой с недискретной топологией , возникают трудности. Некоторый прогресс был достигнут в создании более сложных пространств, таких как гавайская серьга ; см. ссылки там для получения дополнительной информации.

Некоторые из этих трудностей решаются с понятием semicovering из - за Джереми Бразас, см цитируемой ниже. Каждое накрывающее отображение является полупокрытием, но полупокрытие удовлетворяет правилу «2 из 3»: если задана композиция h = fg отображений пространств, если две карты являются полупокрытиями, то третье тоже. Это правило не выполняется для покрытий, так как композиция покрывающих карт не обязательно должна быть покрывающей картой.

Другое обобщение относится к действиям группы, которые не являются бесплатными. Росс Геогеган в своем обзоре ( MR 0760769 ) 1986 года двух работ М.А. Армстронга о фундаментальных группах пространств орбит писал: «Эти две статьи показывают, какие части теории элементарных накрывающих пространств переходят из свободного в несвободный случай. своего рода базовый материал, который должен был быть в стандартных учебниках по фундаментальным группам в течение последних пятидесяти лет ». В настоящее время «Топология и группоиды», перечисленные ниже, по-видимому, являются единственным основным текстом по топологии, охватывающим такие результаты.

Приложения

Блокировка кардана происходит потому, что любая карта T 3RP 3 не является покрывающей картой. В частности, соответствующая карта переносит любой элемент T 3 , то есть упорядоченную тройку (a, b, c) углов (действительные числа по модулю 2 π ), в композицию трех вращений координатной оси R x (a) ∘R y (b) ∘R z (c) на эти углы соответственно. Каждое из этих вращений и их композиция является элементом группы вращений SO (3), которая топологически является RP 3 . На этой анимации показан набор из трех подвесов, установленных вместе, чтобы обеспечить три степени свободы. Когда все три кардана выровнены (в одной плоскости), система может двигаться только в двух измерениях из этой конфигурации, а не в трех, и находится в блокировке кардана . В этом случае он может наклоняться или рыскать, но не крениться (вращаться в плоскости, в которой лежат все оси).

Важное практическое применение покрывающих пространств происходит в картах на SO (3) , группе вращений . Эта группа широко встречается в инженерии из-за того, что трехмерное вращение широко используется в навигации , морской технике и аэрокосмической технике , а также во многих других областях. Топологически SO (3) - это вещественное проективное пространство RP 3 с фундаментальной группой Z / 2 и единственным (нетривиальным) накрывающим пространством гиперсфера S 3 , которая является группой Spin (3) и представлена ​​единичными кватернионами . Таким образом, кватернионы являются предпочтительным методом для представления пространственного вращения - см. Кватернионы и пространственное вращение .

Однако, часто желательно представлять ротацию набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (в многочисленных вариантах), и потому , что это концептуально проще для кого - то знакомого с планарным вращением, и потому , что можно построить комбинацию из трех кардановых в производить вращения в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению 3-тора T 3 трех углов в реальное проективное пространство RP 3 вращений, и результирующее отображение имеет недостатки из-за того, что это отображение не может быть покрывающим отображением. В частности, неспособность карты быть локальным гомеоморфизмом в определенных точках называется блокировкой кардана и демонстрируется на анимации справа - в некоторых точках (когда оси копланарны) ранг карты равен 2, а не 3, что означает, что только 2 измерения вращения могут быть реализованы из этой точки, изменяя углы. Это вызывает проблемы в приложениях и формализуется понятием покрытия.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации