Связность - Connectedness

Эта статья про математику. Для использования в других целях, см Связность (значения) .

В математике , связанность используется для обозначения различных свойств , означающих, в некотором смысле, «все одно целое». Когда математический объект обладает таким свойством, мы говорим, что он связан ; в противном случае он отключается . Когда отключенный объект может быть естественным образом разделен на связанные части, каждая часть обычно называется компонентом (или связанным компонентом ).

Связность в топологии

Основная статья: Подключенное пространство

Топологическое пространство называется связано , если оно не является объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств . Множество является открытым , если он не содержит ни одной точки , лежащие на его границе ; таким образом, в неформальном, интуитивном смысле, тот факт, что пространство может быть разделено на непересекающиеся открытые множества, предполагает, что граница между двумя наборами не является частью пространства, и, таким образом, разделяет его на две отдельные части.

Другие понятия связности

Области математики обычно связаны с объектами особого типа. Часто такой объект называется связным, если, когда он рассматривается как топологическое пространство, он является связным пространством. Таким образом, многообразия , группы Ли и графы называются связными, если они связаны как топологические пространства, а их компоненты являются топологическими компонентами. Иногда бывает удобно перефразировать определение связности в таких областях. Например, график называется подключен , если каждая пара вершин в графе соединена путем . Это определение эквивалентно топологическому в применении к графам, но с ним легче иметь дело в контексте теории графов . Теория графов также предлагает неконтекстную меру связности, называемую коэффициентом кластеризации .

Другие области математики связаны с объектами, которые редко рассматриваются как топологические пространства. Тем не менее, определения связности часто так или иначе отражают топологический смысл. Например, в теории категорий , категория называется подключена , если каждая пара объектов в ней присоединяются последовательностью морфизмов . Таким образом, категория связана, если интуитивно все это одно целое.

Могут существовать разные понятия связности , которые интуитивно похожи, но отличаются от формально определенных понятий. Мы могли бы пожелать , чтобы вызвать топологическое пространство , связанное , если каждая пару точек в ней присоединяются путем . Однако это условие оказывается сильнее стандартной топологической связности; в частности, существуют связные топологические пространства, для которых это свойство не выполняется. Из-за этого используется другая терминология; пространства с этим свойством называются линейно связными . Хотя не все связанные пространства связаны путями, все пространства, соединенные путями, связаны.

Термины, связанные с подключением , также используются для свойств, которые связаны со связностью, но явно отличаются от нее. Например, линейно-связное топологическое пространство является односвязным, если каждый цикл (путь от точки к себе) в нем стягиваем ; то есть интуитивно, если существует только один способ добраться из любой точки в любую другую. Таким образом, сфера и диск односвязны, а тор - нет. В качестве другого примера, ориентированный граф является сильно связным, если каждая упорядоченная пара вершин соединена направленным путем (то есть тем, который «следует по стрелкам»).

Другие концепции выражают способ, которым объект не связан. Например, топологическое пространство полностью разъединено, если каждый из его компонентов представляет собой одну точку.

Связь

Основная статья: Связность (теория графов)

Свойства и параметры, основанные на идее связности, часто включают слово связность . Например, в теории графов связный граф - это такой граф, из которого мы должны удалить хотя бы одну вершину, чтобы создать несвязный граф. В связи с этим такие графы также называются односвязными . Точно так же граф является 2-связным, если мы должны удалить из него хотя бы две вершины, чтобы создать несвязный граф. 3-подключенный график требует удаления по меньшей мере , три вершины, и так далее. Связность графа называется минимальное число вершин , которые должны быть удалены , чтобы отключить его. Эквивалентно связность графа - это наибольшее целое число k, для которого граф является k -связным.

Хотя терминология варьируется, формы существительных свойств, связанных со связностью, часто включают термин связность . Таким образом, обсуждая односвязные топологические пространства, гораздо чаще говорят о простой связности, чем о простой связности . С другой стороны, в полях без формально определенного понятия связности это слово может использоваться как синоним связности .

Другой пример связности можно найти в обычных мозаиках. Здесь связность описывает количество соседей, доступных из одной плитки :

Смотрите также

Рекомендации