Каменно-чешское уплотнение - Stone–Čech compactification

В математической дисциплине общей топологии , стоун-чеховский (или Чех-Стоун ) представляет собой метод для построения универсальной карты из топологического пространства X в компактном Хаусдорфе пространство Ого . Компактификация Стоуна – Чеха βX топологического пространства X является самым большим, наиболее общим компактным хаусдорфовым пространством, «порожденным» X , в том смысле, что любое непрерывное отображение из X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX (единственным способом). Если X - тихоновское пространство, то отображение X в его образ в βX является гомеоморфизмом , поэтому X можно рассматривать как (плотное) подпространство в βX ; каждый Бикомпакт , что плотно содержит X является частным от Ого . Для общих топологических пространств X отображение из X в βX может не быть инъективным.

Форма аксиомы выбора требуется, чтобы доказать, что каждое топологическое пространство имеет компактификацию Стоуна – Чеха. Даже для довольно простых пространств X доступное конкретное описание βX часто остается неуловимым. В частности, доказательство того, что Зе  \  X непусто не дает явное описание какой - либо конкретной точка в Зх  \  X .

Компактификация Стоуна – Чеха неявно встречается в статье Андрея Николаевича Тихонова  ( 1930 ) и была явно дана Маршаллом Стоуном  ( 1937 ) и Эдуардом Чехом  ( 1937 ).

История

Андрей Николаевич Тихонов ввел полностью регулярные пространства в 1930 году, чтобы избежать патологической ситуации с хаусдорфовыми пространствами , единственными непрерывными вещественнозначными функциями которых являются постоянные отображения.

В той же статье 1930 года, в которой Тихонов определил вполне регулярные пространства, он также доказал, что каждое тихоновское пространство (т.е. хаусдорфово вполне регулярное пространство) имеет компактификацию Хаусдорфа (в этой же статье он также доказал теорему Тихонова ). В 1937 году Чех расширил технику Тихонова и ввел обозначение β X для этой компактификации. Стоун также построил β X в статье 1937 года, хотя и использовал совсем другой метод. Несмотря на статье Тихонова является первой работой по теме стоун-чеховского и несмотря на статью Тихонова которые ссылаются как Стоун и Чехом, имя Тихонова редко связываются с бетой X .

Универсальное свойство и функториальность

Компактификация Стоуна – Чеха топологического пространства X - это компактное хаусдорфово пространство βX вместе с непрерывным отображением i _X  : X → βX, которое обладает следующим универсальным свойством : любое непрерывное отображение f  : X → K , где K - компактное хаусдорфово пространство однозначно продолжается до непрерывного отображения βf  : βX → K , т. е. ( βf ) i _X = f .

Как обычно для универсальных свойств, это универсальное свойство характеризует βX с точностью до гомеоморфизма .

Как указано в п конструкций , ниже, можно доказать ( с помощью аксиомы выбора) , что такой камень-чеховское я _X  : X → Зх существует для любого топологического пространства X . Кроме того, образ i _X ( X ) плотен в βX .

Некоторые авторы добавляют предположение, что начальное пространство X является тихоновским (или даже локально компактным по Хаусдорфу) по следующим причинам:

• Отображение X в его образ в βX является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда X тихоновский.
• Отображение X в его образ в βX является гомеоморфизмом открытого подпространства тогда и только тогда, когда X локально компактно по Хаусдорфу.

Конструкция Стоуна – Чеха может быть выполнена для более общих пространств X , но в этом случае отображение X → βX не обязательно должно быть гомеоморфизмом к образу X (а иногда даже не инъективно).

Как обычно для универсальных конструкций , как это, расширение свойство делает р а функтор из Top ( категория топологических пространств ) в Чаус (категории бикомпактов). Далее, если мы допустим, что U - функтор включения из CHaus в Top , отображения из βX в K (для K в CHaus ) биективно соответствуют отображениям из X в UK (с учетом их ограничения на X и использования универсального свойства βX ). т.е.

Hom ( βX , K ) ≅ Hom ( X , UK ),

что означает , что β является левым сопряженным к U . Это означает , что Чаус является рефлективной подкатегорией из Top с рефлектором р .

Примеры

Если X - компактное хаусдорфово пространство, то оно совпадает со своей компактификацией Стоуна – Чеха. Большинство других компактификаций Стоуна – Чеха не имеют конкретных описаний и чрезвычайно громоздки. Исключения включают:

Компактификация Стоуна – Чеха первого несчетного ординала с порядковой топологией является ординалом . Каменно-чешская компактификация удаленной Тихоновской доски - Тихоновская доска. ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1} +1}$

Конструкции

Строительство с использованием продуктов

Одна попытка построить компактификацию Стоуна – Чеха X состоит в том, чтобы взять замыкание образа X в

${\ displaystyle \ prod \ nolimits _ {f: X \ to K} K}$

где произведение берется по всем картам из X в бикомпакты K . По теореме Тихонова это произведение компактных пространств компактно, поэтому замыкание X в этом пространстве также компактно. Это работает интуитивно, но не работает по технической причине, что набор всех таких карт является правильным классом, а не набором. Есть несколько способов изменить эту идею, чтобы она работала; например, можно ограничить компактные хаусдорфовы пространства K базовым множеством P ( P ( X )) ( набором степеней множества X ), которое достаточно велико, чтобы его мощность была не меньше, чем у любого компакта. Хаусдорфово пространство, в которое X может быть отображено плотным образом.

Построение с использованием единичного интервала

Один из способов построения βX состоит в том, чтобы позволить C быть множеством всех непрерывных функций из X в [0, 1] и рассмотреть отображение, где ${\ displaystyle e: X \ к [0,1] ^ {C}}$

${\ Displaystyle е (х): е \ mapsto f (х)}$

Это можно рассматривать как непрерывное отображение на его изображение, если [0, 1] ^C задана топология продукта . По теореме Тихонова [0, 1] ^C компактно, поскольку [0, 1] компактно. Следовательно, замыкание X в [0, 1] ^С является компактификация X .

Фактически, это замыкание и есть компактификация Стоуна – Чеха. Чтобы убедиться в этом, нам просто нужно убедиться, что замыкание удовлетворяет соответствующему универсальному свойству. Мы делаем это сначала для K = [0, 1], где искомое продолжение F  : X → [0, 1] является лишь проекция на F координат в [0, 1] ^C . Чтобы затем получить это для общего компактного Хаусдорфа K, мы используем вышесказанное, чтобы отметить, что K можно вложить в некоторый куб, расширить каждую из координатных функций, а затем взять произведение этих расширений.

Специальное свойство единичного интервала, необходимое для работы этой конструкции, состоит в том, что он является когенератором категории компактных хаусдорфовых пространств: это означает, что если A и B - компактные хаусдорфовы пространства, а f и g - различные отображения из A в B. , то существует отображение h  : B → [0, 1] такое, что hf и hg различны. В этом строительстве можно использовать любой другой когенератор (или когенерационную установку).

Строительство с использованием ультрафильтров

В качестве альтернативы, если это дискретно , то можно построить как совокупность всех ультрафильтров на с элементами соответствующих главных ультрафильтров . Топология на множестве ультрафильтров, известная как${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ beta X}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$ Каменная топология генерируется наборами формыдляподмножества${\ displaystyle \ {F: U \ in F \}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X.}$

Снова мы проверяем универсальное свойство: ведь с компактным Хаусдорфом и ультрафильтром на у нас есть база ультрафильтров на прямом пути Это имеет единственный предел, потому что он компактный Хаусдорф, скажем, и мы определяем Это может быть проверено как непрерывное расширение${\ displaystyle f: X \ to K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f (F)}$${\ displaystyle K,}$${\ displaystyle F.}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle x,}$${\ Displaystyle \ бета е (F) = х.}$${\ displaystyle f.}$

Эквивалентное можно взять камень пространства в полной булевой алгебре всех подмножеств , как стоун-чеховского. Это действительно та же конструкция, поскольку пространство Стоуна этой булевой алгебры является набором ультрафильтров (или, что эквивалентно, простых идеалов , или гомоморфизмов двухэлементной булевой алгебры) булевой алгебры, которая совпадает с набором ультрафильтров на${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$

Конструкция может быть обобщена на произвольные тихоновские пространства, используя максимальные фильтры нулевых множеств вместо ультрафильтров. (Фильтры замкнутых множеств достаточно, если пространство нормальное .)

Построение с использованием C * -алгебр

Компактификация Стоуна – Чеха естественно гомеоморфна спектру C _b ( X ). Здесь C _b ( X ) обозначает C * -алгебру всех непрерывных ограниченных комплекснозначных функций на X с sup-нормой. Обратите внимание, что C _b ( X ) канонически изоморфна алгебре мультипликаторов C ₀ ( X ).

Компактификация Стоуна – Чеха натуральных чисел

В случае , когда Х является локально компактной , например , Н или R , образ X образует открытое подмножество Ого , или действительно любой компактификации, (это также является необходимым условием, так как открытое подмножество бикомпакта локально компактный). В этом случае один часто изучает оставшуюся часть пространства, Зе  \  X . Это замкнутое подмножество βX , поэтому оно компактно. Мы рассматриваем N с его дискретной топологией и пишем β N  \  N = N * (но это не кажется стандартным обозначением для общего X ).

Как объяснялось выше, можно просмотреть β N как множество ультрафильтров на N , с топологией , порожденной множествами вида для U подмножество N . Набор N соответствует набору основных ультрафильтров , а набор N * - набору свободных ультрафильтров . ${\ displaystyle \ {F: U \ in F \}}$

Изучение β N , и в частности N *, является важной областью современной теоретико-множественной топологии . Основными результатами, мотивировавшими это, являются теоремы Паровиченко , по существу характеризующие его поведение в предположении гипотезы континуума .

В них говорится:

• Каждое компактное хаусдорфово пространство веса не выше (см. Число Алеф ) является непрерывным образом N * (это не требует гипотезы континуума, но менее интересно в ее отсутствие).${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$
• Если гипотеза континуума верна, то N * - единственное пространство Паровиченко с точностью до изоморфизма.

Первоначально они были доказаны путем рассмотрения булевых алгебр и применения двойственности Стоуна .

Ян ван Милль описал β N как «трехголового монстра»: три головы - это улыбающаяся и дружелюбная голова (поведение в предположении гипотезы континуума), уродливая голова независимости, которая постоянно пытается сбить вас с толку (определяя, что поведение возможно в разных моделях теории множеств), а третья голова самая маленькая из всех (что вы можете доказать по этому поводу в ZFC ). Относительно недавно было замечено, что эта характеристика не совсем верна - на самом деле существует четвертая глава β N , в которой аксиомы принуждения и аксиомы типа Рамсея придают свойства β N, почти диаметрально противоположные тем, которые находятся в гипотезе континуума, давая действительно очень мало карт от N *. Примеры этих аксиом включают в себя сочетание аксиомы Мартина и окраски аксиомы Open , который, например, доказать , что ( N *) ² ≠ Н *, в то время как гипотеза континуума означает противоположную.

Приложение: двойственное пространство к пространству ограниченных последовательностей вещественных чисел.

Компактификацию Стоуна – Чеха β N можно использовать для характеристики ( банахово пространство всех ограниченных последовательностей в скалярном поле R или C с нормой супремума ) и его двойственное пространство . ${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Для ограниченной последовательности существует замкнутый шар B в скалярном поле, содержащий образ a . является функцией от N до B . Поскольку N дискретно, а B компактно и хаусдорфово, a непрерывно. Согласно универсальному свойству, существует единственное расширение βa  : & beta ; N → B . Это расширение не зависит от шара B мы рассмотрим. ${\ Displaystyle а \ ин \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Мы определили карту расширения из пространства ограниченных нормированных последовательностей скалярных в пространство непрерывных функций над & beta ; N .

${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N}) \ к С (\ бета \ mathbf {N})}$

Это отображение биективно, поскольку каждая функция из C ( β N ) должна быть ограниченной, а затем может быть ограничена ограниченной скалярной последовательностью.

Если мы далее рассмотрим оба пространства с sup нормой, отображение расширения станет изометрией. Действительно, если в приведенной выше конструкции мы возьмем наименьший возможный шар B , мы увидим, что sup-норма расширенной последовательности не растет (хотя изображение расширенной функции может быть больше).

Таким образом, можно отождествить с C ( β N ). Это позволяет использовать теорему Рисса и находим , что двойственное пространство может быть идентифицировано с пространством конечных борелевских мер на & beta ; N . ${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Наконец, следует отметить , что этот метод обобщается на L ^∞ пространства произвольной меры пространства X . Однако вместо того, чтобы просто рассматривать пространство βX ультрафильтров на X , правильным способом обобщения этой конструкции является рассмотрение пространства Стоуна Y алгебры меры X : пространства C ( Y ) и L ^∞ ( X ) изоморфны как C * -алгебры, пока X удовлетворяет разумному условию конечности (что любое множество положительной меры содержит подмножество конечной положительной меры).

Моноидная операция над компактификацией натуральных чисел Стоуна – Чеха

Натуральные числа при сложении образуют моноид . Оказывается, эта операция может быть расширена (обычно более чем одним способом, но однозначно при дополнительном условии) до β N , превращая это пространство также в моноид, хотя, как ни странно, некоммутативный.

Для любого подмножества A из N и положительного целого числа n из N мы определяем

${\ displaystyle An = \ {k \ in \ mathbf {N} \ mid k + n \ in A \}.}$

Для двух ультрафильтров F и G на N определим их сумму как

${\ Displaystyle F + G = {\ Big \ {} A \ substeq \ mathbf {N} \ mid \ {n \ in \ mathbf {N} \ mid An \ in F \} \ in G {\ Big \}} ;}$

можно проверить, что это снова ультрафильтр, и что операция + ассоциативна (но не коммутативна) на β N и расширяет сложение на N ; 0 служит в качестве нейтрального элемента для операции + на & beta ; N . Операция также непрерывна справа в том смысле, что для любого ультрафильтра F отображение

${\ displaystyle {\ begin {case} \ beta \ mathbf {N} \ to \ beta \ mathbf {N} \\ G \ mapsto F + G \ end {cases}}}$

непрерывно.

В более общем смысле, если S - полугруппа с дискретной топологией, операция S может быть расширена до βS , получив ассоциативную операцию, непрерывную справа.

Смотрите также

• Компактификация (математика)  - вложение топологического пространства в компактное пространство как плотное подмножество.
• Коронное множество пространства, дополнение его образа в компактификации Стоуна – Чеха.
• Фильтры в топологии  - использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Компактификация по одной точке
• Компактификация Уоллмана

Примечания

использованная литература

• Чех, Эдуард (1937), "О бикомпактных пространствах", Анналы математики , 38 (4): 823-844, DOI : 10,2307 / 1968839 , ЛВП : 10338.dmlcz / 100420 , JSTOR  1968839
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы, часть I: общая теория (ред. Wiley Classics). Джон Вили и сыновья. п. 276.
• Хиндман, Нил; Штраус, Дона (1998), Алгебра в компактификации Стоуна – Чеха. Теория и приложения , de Gruyter Expositions in Mathematics, 27 (2-е исправленное и расширенное издание 2012 г.), Берлин: Walter de Gruyter & Co., стр. Xiv + 485 стр., DOI : 10.1515 / 9783110809220 , ISBN 978-3-11-015420-7, Руководство по ремонту  1642231
• Кошевникова, И.Г. (2001) [1994], "Компактификация Стоуна-Чеха" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Щиты, Allen (1987), " Несколько лет назад", Математическая Intelligencer , 9 (2): 61-63, DOI : 10.1007 / BF03025901 , S2CID  189886579
• Камень, Маршалл H. (1937), "Применение теории булевых колец к общей топологии", Труды Американского математического общества , 41 (3): 375-481, DOI : 10,2307 / 1989788 , JSTOR  1989788
• Тихоновское, Андрей (1930), "Убер умереть topologische Erweiterung фон Räumen", Mathematische Annalen , 102 : 544-561, DOI : 10.1007 / BF01782364 , ISSN  0025-5831 , S2CID  124737286

внешние ссылки

• Компактификация Стоуна-Чеха в Planet Math
• Дрор Бар-Натан, Ультрафильтры, компактность и компактификация Стоуна – Чеха.