Вместимость комплекта - Capacity of a set

В математике , то емкость множества в евклидовом пространстве является мерой «размер» этого сета. В отличие, скажем, от меры Лебега , которая измеряет объем или физическую протяженность набора , емкость является математическим аналогом способности набора удерживать электрический заряд . Точнее, это емкость набора: общий заряд, который набор может удерживать при сохранении заданной потенциальной энергии . Потенциальная энергия вычисляется относительно идеализированной земли на бесконечности для гармонической или ньютоновской емкости и относительно поверхности для емкости конденсатора .

Историческая справка

Понятия емкости набора и "емкостного" набора были введены Гюставом Шоке в 1950 году: подробное описание см. В справочнике ( Choquet 1986 ).

Определения

Емкость конденсатора

Пусть Σ является замкнутой , гладкой, ( п - 1) - мерная гиперповерхность в п - мерном евклидовом пространстве ℝ ^п , п ≥ 3; K будет обозначать n -мерное компактное (т. Е. Замкнутое и ограниченное ) множество, граница которого Σ . Пусть S будет другой ( n - 1) -мерной гиперповерхностью, которая окружает Σ: со ссылкой на ее происхождение в электромагнетизме пара (Σ, S ) известна как конденсатор . Конденсатора емкости из Е по отношению к S , обозначается C (E, S ) или колпачок (a, S ), задается поверхностный интеграл

{\ Displaystyle C (\ Sigma, S) = - {\ frac {1} {(n-2) \ sigma _ {n}}} \ int _ {S '} {\ frac {\ partial u} {\ partial \ nu}} \, \ mathrm {d} \ sigma ',}

куда:

u - единственная гармоническая функция, определенная в области D между Σ и S с граничными условиями u ( x ) = 1 на Σ и u ( x ) = 0 на S ;
S ′ - любая промежуточная поверхность между Σ и S ;
ν - внешнее единичное нормальное поле к S ′ и

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial \ nu}} (x) = \ nabla u (x) \ cdot \ nu (x)}

является нормальной производной от функции и через S '; и

σ _n = 2 π ^{n ⁄2} ⁄ Γ ( n ⁄ 2) - площадь поверхности единичной сферы в ⁿ .

C (Σ, S ) эквивалентно определяется интегралом по объему

{\ Displaystyle C (\ Sigma, S) = {\ frac {1} {(п-2) \ sigma _ {n}}} \ int _ {D} | \ nabla и | ^ {2} \ mathrm {d } Икс.}

Емкость конденсатора также имеет вариационную характеристику : C (Σ, S ) является инфимумом из энергии Дирихля функционала

{\ displaystyle I [v] = {\ frac {1} {(n-2) \ sigma _ {n}}} \ int _ {D} | \ nabla v | ^ {2} \ mathrm {d} x}

по всем непрерывно дифференцируемые функции v на D с V ( х ) = 1 на Е и V ( х ) = 0 на S .

Гармоническая / ньютоновская емкость

Эвристически гармоническая емкость K , область, ограниченная Σ, может быть найдена, взяв емкость конденсатора Σ относительно бесконечности. Точнее, пусть у будет гармоническая функция в дополнении К , удовлетворяющих у = 1 на Е и у ( х ) → 0 при х → ∞. Таким образом, u - ньютоновский потенциал простого слоя Σ. Тогда гармоническая емкость (также известная как ньютоновская емкость ) K , обозначаемая C ( K ) или cap ( K ), тогда определяется как

{\ Displaystyle C (K) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus K} | \ nabla u | ^ {2} \ mathrm {d} x.}

Если S - спрямляемая гиперповерхность, полностью охватывающая K , то гармоническая емкость может быть эквивалентно переписана как интеграл по S от внешней нормальной производной функции u :

{\ displaystyle C (K) = \ int _ {S} {\ frac {\ partial u} {\ partial \ nu}} \, \ mathrm {d} \ sigma.}

Гармоническую емкость также можно понимать как предел емкости конденсатора. То есть, пусть S _r обозначает сферу радиуса r вокруг начала координат в ℝ ⁿ . Так как К ограничено, при достаточно больших г , С _г будет заключить K и (Е, S _г ) образуют пару конденсатора. Таким образом, гармоническая емкость является пределом, поскольку r стремится к бесконечности:

{\ Displaystyle C (K) = \ lim _ {r \ to \ infty} C (\ Sigma, S_ {r}).}

Гармоническая емкость является математически абстрактной версией электростатической емкости проводника K и всегда неотрицательна и конечна: 0 ≤ C ( K ) <+ ∞.

Обобщения

Приведенная выше характеристика емкости набора как минимума функционала энергии, достигающего определенных граничных значений, может быть распространена на другие функционалы энергии в вариационном исчислении .

Эллиптические операторы с дивергентной формой

Решения равномерно эллиптического уравнения в частных производных с дивергентной формой

{\ Displaystyle \ набла \ cdot (А \ набла и) = 0}

являются минимизаторами ассоциированного функционала энергии

{\ displaystyle I [u] = \ int _ {D} (\ nabla u) ^ {T} A (\ nabla u) \, \ mathrm {d} x}

при соответствующих граничных условиях.

Емкость множества E относительно области D, содержащей E , определяется как нижняя грань энергии по всем непрерывно дифференцируемым функциям v на D с v ( x ) = 1 на E ; и v ( х ) = 0 на границе D .

Минимальная энергия достигается с помощью функции , известной как capacitary потенциала в Е по отношению к D , и это решает проблему препятствий на D с функцией препятствий , предоставленной функцией индикатора из E . Емкостной потенциал поочередно характеризуется как единственное решение уравнения с соответствующими граничными условиями.

Languages

In other projects