Краевая задача - Boundary value problem

Показывает область, в которой действует дифференциальное уравнение, и соответствующие граничные значения.

В математике , в области дифференциальных уравнений , краевая задача - это дифференциальное уравнение вместе с набором дополнительных ограничений, называемых граничными условиями . Решение краевой задачи - это решение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничным условиям.

Краевые задачи возникают в нескольких разделах физики, как и любое физическое дифференциальное уравнение. Задачи, связанные с волновым уравнением , такие как определение нормальных режимов , часто формулируются как краевые задачи. Большой класс важных краевых задач - это задачи Штурма – Лиувилля . Анализ этих проблем включает в себя собственные функции оператора А дифференциального оператора .

Чтобы быть полезной в приложениях, краевая задача должна быть хорошо поставлена . Это означает, что для данной проблемы существует единственное решение, которое непрерывно зависит от входных данных. Много теоретических работ в области дифференциальных уравнений в частных производных посвящено доказательству того, что краевые задачи, возникающие из научных и инженерных приложений, на самом деле корректны.

К числу наиболее ранних краевых задач, требующих изучения, относится задача Дирихле о нахождении гармонических функций (решений уравнения Лапласа ); решение было дано по принципу Дирихле .

Объяснение

Краевые задачи аналогичны задачам с начальными значениями . Краевая задача имеет условия, указанные на крайних точках («границах») независимой переменной в уравнении, тогда как задача с начальным значением имеет все условия, указанные для одного и того же значения независимой переменной (и это значение находится на нижней границе домена, отсюда и термин "начальное" значение). Краевой представляет собой значение данных , которое соответствует минимальной или максимальной входному, внутреннему или выходному значению , заданные для системы или компоненты.

Например, если независимая переменная - это время в области [0,1], задача граничного значения будет определять значения для обоих и , тогда как задача начального значения будет указывать значение и в момент времени .

Определение температуры во всех точках железного стержня, у которого на одном конце поддерживается абсолютный ноль, а на другом конце - точка замерзания воды, было бы краевой задачей.

Если проблема зависит как от пространства, так и от времени, можно указать значение проблемы в данной точке для всего времени или в данное время для всего пространства.

Конкретно, примером граничного значения (в одном пространственном измерении) является задача

для решения неизвестной функции с граничными условиями

Без граничных условий общее решение этого уравнения есть

Из граничного условия получаем

откуда следует, что Из граничного условия находим

Таким образом, видно, что наложение граничных условий позволило найти единственное решение, которое в данном случае является

Типы краевых задач

Граничные условия

Нахождение функции, описывающей температуру этого идеализированного двумерного стержня, представляет собой краевую задачу с граничными условиями Дирихле . Любая функция решения одновременно решает уравнение теплопроводности и удовлетворяет граничным условиям: температура 0 K на левой границе и температура 273,15 K на правой границе.

Граничное условие, которое определяет значение самой функции, является граничным условием Дирихле или граничным условием первого типа. Например, если один конец железного стержня удерживается на абсолютном нуле, тогда значение проблемы будет известно в этой точке пространства.

Граничное условие, которое определяет значение нормальной производной функции, является граничным условием Неймана или граничным условием второго типа. Например, если на одном конце железного стержня установлен нагреватель, то энергия будет добавляться с постоянной скоростью, но фактическая температура не будет известна.

Если граница имеет форму кривой или поверхности, которая дает значение нормальной производной и самой переменной, то это граничное условие Коши .

Примеры

Сводка граничных условий для неизвестной функции ,, констант и, заданных граничными условиями, и известных скалярных функций и заданных граничными условиями.

Имя Форма на 1-й части границы Форма на 2-й части границы
Дирихле
Neumann
Робин
Смешанный
Коши оба и

Дифференциальные операторы

Помимо граничного условия, краевые задачи также классифицируются по типу задействованного дифференциального оператора. Для эллиптического оператора обсуждаются эллиптические краевые задачи . Для гиперболического оператора обсуждаются граничные задачи гиперболического типа . Эти категории далее подразделяются на линейные и различные нелинейные типы.

Приложения

Электромагнитный потенциал

В электростатике общая проблема - найти функцию, которая описывает электрический потенциал данной области. Если область не содержит заряда, потенциал должен быть решением уравнения Лапласа (так называемая гармоническая функция ). Граничными условиями в этом случае являются условия интерфейса для электромагнитных полей . Если в области нет плотности тока , можно также определить магнитный скалярный потенциал, используя аналогичную процедуру.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • А.Д. Полянин и В.Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание) , Chapman & Hall / CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN  1-58488-297-2 .
  • А.Д. Полянин, Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN  1-58488-299-9 .

внешние ссылки