Алгебраическая операция - Algebraic operation

Алгебраические операции над решением квадратного уравнения . Знак корня √, обозначающий квадратный корень , эквивалентен возведению в степень в степени ½. Знак ± означает, что уравнение может быть записано либо со знаком +, либо со знаком -.

В математике , основная алгебраическая операция представляет собой любое одно из наиболее распространенных операций в арифметическом , которые включают в себя сложение , вычитание , умножение , деление , возведение в целочисленной власть , и принимая корни (дробное питание). Эти операции могут выполняться с числами , и в этом случае их часто называют арифметическими операциями . Они также могут быть выполнены аналогичным образом для переменных , алгебраических выражений и, в более общем смысле, для элементов алгебраических структур , таких как группы и поля . Алгебраическая операция также может быть определена просто как функция от декартовой мощности в виде набора в том же набор.

Термин « алгебраическая операция» также может использоваться для операций, которые могут быть определены путем сложения основных алгебраических операций, таких как скалярное произведение . В исчислении и математическом анализе , алгебраическая операция также используется для операций , которые могут быть определены с помощью чисто алгебраических методов . Например, возведение в степень с целым или рациональным показателем степени является алгебраической операцией, но не возведение в степень с действительным или комплексным показателем степени. Кроме того, производная - это не алгебраическая операция.

Обозначение

Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда нет оператора между двумя переменными или членами, или когда используется коэффициент . Например, 3 × x ² записывается как 3 x ² , а 2 × x × y записывается как 2 xy . Иногда символы умножения заменяются точкой или центральной точкой, так что x  × y записывается как x . y или x · y . Обычный текст , языки программирования и калькуляторы также используют одну звездочку для обозначения символа умножения, и это должно использоваться явно; например, 3 x записывается как 3 * x .

Вместо того, чтобы использовать знак неоднозначного деления (÷), деление обычно представляется винкулумом , горизонтальной линией, как в3/х + 1. В виде простого текста и языков программирования, слэш (также называемый солидус ) используется, например , 3 / ( х + 1).

Экспоненты обычно форматируются с использованием надстрочных индексов, как в x ² . В простом тексте , языке разметки TeX и некоторых языках программирования, таких как MATLAB и Julia , символ каретки ^ представляет экспоненты, поэтому x ² записывается как x ^ 2. В таких языках программирования, как Ada , Fortran , Perl , Python и Ruby используется двойная звездочка, поэтому x ² записывается как x ** 2.

Знак плюс – минус , ±, используется как сокращенное обозначение для двух выражений, записанных как одно, представляющих одно выражение со знаком плюс, а другое со знаком минус. Например, y = x ± 1 представляет два уравнения y = x + 1 и y = x - 1. Иногда оно используется для обозначения положительно-отрицательного термина, такого как ± x .

Арифметические и алгебраические операции

Алгебраические операции работают так же, как арифметические операции , как показано в таблице ниже.

Операция	Арифметический пример	Пример алгебры	Комментарии ≡ означает «эквивалентно» ≢ означает «не эквивалентно»
Добавление	${\ Displaystyle (5 \ раз 5) + 5 + 5 + 3}$ эквивалент: ${\ displaystyle 5 ^ {2} + (2 \ times 5) +3}$	${\ Displaystyle (Ь \ раз Ь) + Ь + Ь + а}$ эквивалент: ${\ displaystyle b ^ {2} + 2b + a}$	${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} 2 \ times b & \ эквив 2b \\ b + b + b & \ эквив 3b \\ b \ times b & \ эквив б ^ {2} \ конец {выровнено}}}$
Вычитание	${\ displaystyle (7 \ times 7) -7-5}$ эквивалент: ${\ displaystyle 7 ^ {2} -7-5}$	${\ displaystyle (b \ times b) -ba}$ эквивалент: ${\ displaystyle b ^ {2} -ba}$	${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} b ^ {2} -b & \ not \ Equiv b \\ 3b-b & \ Equiv 2b \\ b ^ {2} -b & \ Equiv b (b-1) \ end {выровнено }}}$
Умножение	${\ displaystyle 3 \ times 5}$ или ${\ Displaystyle 3 \. \ 5}$   или   ${\ displaystyle 3 \ cdot 5}$ или   ${\ Displaystyle (3) (5)}$	${\ displaystyle a \ times b}$ или ${\ displaystyle ab}$   или   ${\ displaystyle a \ cdot b}$ или   ${\ displaystyle ab}$	${\ Displaystyle а \ раз а \ раз а}$ такой же как ${\ displaystyle a ^ {3}}$
Разделение	${\ displaystyle 12 \ div 4}$ или   ${\ displaystyle 12/4}$ или   ${\ displaystyle {\ frac {12} {4}}}$	${\ displaystyle b \ div a}$ или   ${\ displaystyle b / a}$ или   ${\ displaystyle {\ frac {b} {a}}}$	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {(а + б)} {3}} \ экв {\ tfrac {1} {3}} \ раз (а + б)}$
Возведение в степень	${\ displaystyle 3 ^ {\ frac {1} {2}}}$   ${\ displaystyle 2 ^ {3}}$	${\ displaystyle a ^ {\ frac {1} {2}}}$   ${\ displaystyle a ^ {3}}$	${\ displaystyle a ^ {\ frac {1} {2}}}$ такой же как ${\ displaystyle {\ sqrt {a}}}$   ${\ displaystyle a ^ {3}}$ такой же как ${\ Displaystyle а \ раз а \ раз а}$

Примечание: использование букв и является произвольным, и примеры были бы в равной степени действительными, если бы и использовались. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Свойства арифметических и алгебраических операций

Имущество	Арифметический пример	Пример алгебры	Комментарии ≡ означает «эквивалентно» ≢ означает «не эквивалентно»
Коммутативность	${\ Displaystyle 3 + 5 = 5 + 3}$ ${\ Displaystyle 3 \ раз 5 = 5 \ раз 3}$	${\ Displaystyle а + Ь = Ь + а}$ ${\ Displaystyle а \ раз Ь = Ь \ раз а}$	Сложение и умножение коммутативны и ассоциативны Вычитание и деление не являются: например ${\ Displaystyle (аб) \ не \ эквив (ба)}$
Ассоциативность	${\ Displaystyle (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7)}$ ${\ Displaystyle (3 \ раз 5) \ раз 7 = 3 \ раз (5 \ раз 7)}$	${\ Displaystyle (а + Ь) + с = а + (Ь + с)}$ ${\ Displaystyle (а \ раз Ь) \ раз с = а \ раз (Ь \ раз с)}$

Смотрите также

• Алгебраическое выражение
• Алгебраическая функция
• Элементарная алгебра
• Факторизация квадратичного выражения
• Порядок действий

Примечания

использованная литература