n- й корень - nth root

В математике , п - й корень из числа х представляет собой число г , которое при возведенное в степень п , дает  х :

где n - натуральное число , иногда называемое степенью корня. Корень степени 2 называется квадратным корнем, а корень степени 3 - кубическим корнем . Корни большей степени относятся используя порядковые номера, как и в корень четвертой степени , двадцатого корня и т.д. вычисления с п й корень является извлечение корня .

Например, 3 является квадратным корнем из 9, поскольку 3 2 = 9, а −3 также является квадратным корнем из 9, поскольку (−3) 2 = 9.

Любое ненулевое число, рассматриваемое как комплексное, имеет n различных комплексных корней n- й степени, включая действительные (не более двух). П - й корень 0 равен нулю для всех положительных целых чисел п , так как 0 п = 0 . В частности, если n четно, а x - положительное действительное число, один из его корней n- й степени действительный и положительный, один отрицательный, а остальные (когда n > 2 ) не являются действительными комплексными числами ; если n четно, а x - отрицательное действительное число, ни один из корней n не является действительным. Если n нечетно, а x вещественно, один корень n- й степени вещественен и имеет тот же знак, что и x , в то время как другие ( n - 1 ) корни не являются действительными. Наконец, если x не является действительным, то ни один из его корней n- й степени не является действительным.

Корни действительных чисел обычно записываются с использованием радикального символа или системы счисления с обозначением положительного квадратного корня из x, если x положительно; для более высоких корней обозначает действительный корень n- й степени, если n нечетно, и положительный корень n- й степени, если n четно, а x положительно. В других случаях символ обычно не используется как неоднозначный. В выражении целое число n называется индексом, а x - подкоренным выражением .

Когда рассматриваются комплексные корни n- й степени, часто бывает полезно выбрать один из корней, называемый главным корнем , в качестве главного значения . Обычно выбирают главный корень n- й степени из x как корень n- й степени с наибольшей действительной частью, а когда их два (для действительного и отрицательного x ), корень с положительной мнимой частью . Это делает корень n- й степени функцией, которая является действительной и положительной для x, действительной и положительной, и непрерывной во всей комплексной плоскости , за исключением значений x, которые являются действительными и отрицательными.

Сложность с этим выбором состоит в том, что для отрицательного действительного числа и нечетного индекса главный корень n- й степени не является действительным. Например, имеют три кубические корни, , и корень реального куба и корень основного куба

Неразрешенный корень, особенно тот, в котором используется символ радикала, иногда называют сурдом или радикалом . Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или более высокий корень, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, оно называется алгебраическим выражением .

Корни также можно определить как частные случаи возведения в степень , где показатель степени является дробью :

Корни используются для определения радиуса сходимости в виде степенного ряда с испытанием корня . В п - е корни 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, такие как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .

История

Архаичный термин для извлечения корней n - это радикализация .

Определение и обозначения

Четыре корня четвертой степени из −1,
ни один из которых не является действительным
Три корня третьей степени из −1,
один из которых является отрицательным вещественным числом.

П - й корень из числа х , где п представляет собой положительное целое число, является любым из п действительных или комплексных чисел г которого п - й мощности х :

Каждое положительное действительное число x имеет единственный положительный корень n- й степени, называемый главным корнем n- й степени , который записывается . Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, а n опускается. П - й корень также может быть представлен , используя возведение в степень , как х 1 / п .

Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, в то время как отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n- й степени. Например, у -2 есть действительный корень 5-й степени, а у -2 нет действительных корней 6-й степени.

Каждое ненулевое число x , вещественное или комплексное , имеет n различных корней n- й степени комплексного числа . (В случае, если x действительный, это число включает любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 - это 0.

П е корни почти всех чисел (все целые числа , за исключением п - й степеней, и все рациональные за исключением частных двух п - й степеней) являются иррациональными . Например,

Все корни n- й степени целых чисел являются алгебраическими числами .

Термин « сурд» восходит к аль-Хваризми (ок. 825 г.), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышными соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово « م » ( асамм , означающее «глухой» или «немой») для иррационального числа было переведено на латынь как «сурдус» (что означает «глухой» или «немой»). Герард Кремонский (ок. 1150 г.), Фибоначчи (1202 г.), а затем Роберт Рекорд (1551 г.) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений в форме, в которых и являются целыми числами, а все выражение обозначает иррациональное число. Квадратичные иррациональные числа , то есть иррациональные числа вида , также известны как «квадратичные сурды».

Квадратные корни

График .

Квадратный корень из числа х представляет собой число г , который, когда квадрат , становится х :

Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком радикала:

Поскольку квадрат каждого действительного числа неотрицателен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет собой число, квадрат которого равен −1 .

Кубические корни

График .

Кубический корень из числа х представляет собой число г которого куб является х :

У каждого действительного числа x записан ровно один действительный кубический корень . Например,

а также

Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.

Личности и свойства

Выражение степени корня n- й степени в ее экспоненциальной форме, например, в , упрощает манипулирование степенями и корнями. Если - неотрицательное действительное число ,

Каждое неотрицательное число имеет ровно один неотрицательное реал п - й корень, и поэтому правила для операций с участием surds неотрицательных подкоренных и просты в действительных числах:

Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n- й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:

скорее,

Поскольку правило строго выполняется только для неотрицательных вещественных подкоренных выражений, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше.

Упрощенная форма радикального выражения

Говорят, что невложенное радикальное выражение имеет упрощенную форму, если

  1. Нет множителя при подкоренном выражении, который можно было бы записать как степень, большую или равную индексу.
  2. Под знаком радикала нет дробей.
  3. В знаменателе нет радикалов.

Например, чтобы записать радикальное выражение в упрощенном виде, можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его:

Далее стоит дробь под знаком корня, которую мы меняем следующим образом:

Наконец, удаляем радикал из знаменателя следующим образом:

Когда есть знаменатель, включающий сурды, всегда можно найти множитель, на который можно умножить числитель и знаменатель, чтобы упростить выражение. Например, используя факторизацию суммы двух кубов :

Упростить радикальные выражения, содержащие вложенные радикалы, может быть довольно сложно. Например, неочевидно, что:

Вышеупомянутое можно получить с помощью:

Пусть , с p и q взаимно простыми и положительными целыми числами. Тогда рационально тогда и только тогда, когда оба и являются целыми числами, что означает, что и p, и q являются n- ю степенями некоторого целого числа.

Бесконечная серия

Корень или корень могут быть представлены бесконечным рядом :

с . Это выражение может быть получено из биномиального ряда .

Вычисление главных корней

Используя метод Ньютона

П - й корень из числа А может быть вычислен с методом Ньютона . Начните с первоначального предположения x 0, а затем повторите, используя рекуррентное соотношение

пока не будет достигнута желаемая точность. Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, мы подставляем n = 5, A = 34 и x 0 = 2 (первоначальное предположение). Первые 5 итераций приблизительно равны:
x 0 = 2
x 1 = 2,025
x 2 = 2,024397817
x 3 = 2,024397458
x 4 = 2,024397458
. Приближение x 4 имеет точность до 25 знаков после запятой.

Метод Ньютона можно модифицировать для получения различных обобщенных непрерывных дробей для корня n- й степени. Например,

Поразрядное вычисление главных корней десятичных (основание 10) чисел

Треугольник Паскаля показ .

Основываясь на вычислении квадратного корня по цифрам , можно увидеть, что используемая здесь формула, или , следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Для n- го корня числа определяется значение элемента в строке Треугольника Паскаля, так что мы можем переписать выражение как . Для удобства назовите результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень может быть вычислен цифра за цифрой следующим образом.

Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму длинного деления , и, как и при длинном делении, корень будет записан в строке выше. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующих корню, начиная с десятичной точки и идя как влево, так и вправо. Десятичная точка корня будет выше десятичной точки подкоренного выражения. Одна цифра корня появится над каждой группой цифр исходного номера.

Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:

  1. Начиная слева, опустите наиболее значимую (крайнюю левую) группу цифр, которые еще не используются (если все цифры были использованы, напишите «0» количество раз, необходимое для создания группы) и запишите их справа от остаток от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на и сложите цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c .
  2. Найдите p и x следующим образом:
    • Позвольте быть частью корня, найденного до сих пор , игнорируя любую десятичную точку. (Для первого шага ).
    • Определите наибольшую цифру, такую ​​что .
    • Поместите цифру как следующую цифру корня, т. Е. Над группой цифр, которую вы только что набрали. Таким образом, следующий p будет старым p, умноженным на 10 плюс x .
  3. Вычтите из, чтобы получить новый остаток.
  4. Если остаток равен нулю и нет больше цифр, которые нужно сбрасывать, то алгоритм завершен. В противном случае вернитесь к шагу 1 для другой итерации.

Примеры

Найдите квадратный корень из 152,2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56
         01                   100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21         x = 1
         01                      y = 100·1·00·12   + 101·2·01·12   =  1 +    0   =     1
         00 52                100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31         x = 2
         00 44                   y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44
            08 27             100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41        x = 3
            07 29                y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729
               98 56          100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51       x = 4
               98 56             y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856
               00 00          Algorithm terminates: Answer is 12.34

Найдите кубический корень из 4192 до ближайшей сотой.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000
      004                      100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21     x = 1
      001                         y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71     x = 6
      003 096                     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21    x = 1
          077 281                 y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31   x = 2
              015 571 928         y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51  x = 4
                               The desired precision is achieved:
                               The cube root of 4192 is about 16.12

Логарифмический расчет

Главный корень n- й степени положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n- й степени из x , а именно с положительным x и, следовательно, его главный корень r также положительным, нужно логарифмировать обе части ( подойдет любое основание логарифма ), чтобы получить

Корень r восстанавливается из этого путем взятия антилогарифма :

(Примечание: эта формула показывает b, возведенное в степень результата деления, а не b, умноженное на результат деления.)

В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один действительный корень r, который также отрицателен. Его можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на −1, чтобы получить, а затем действуя, как и раньше, чтобы найти | r |, и используя r = - | г | .

Геометрическая конструктивность

В древнегреческие математики знали , как использовать компас и Straightedge построить длину , равную квадратному корню из заданной длины, когда вспомогательная линия единичной длины дается. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины не может быть построен, если n не является степенью двойки.

Сложные корни

Каждое комплексное число, отличное от 0, имеет n различных корней n- й степени.

Квадратные корни

Квадратные корни из i

Два квадратных корня комплексного числа всегда отрицательны друг другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны

Если мы выразим комплексное число в полярной форме, то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол вдвое:

Основной корень комплексного числа может быть выбран различными способами, например ,

который вводит разрез ветви в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤  θ  <2 π , или вдоль отрицательной вещественной оси с - π  <  θ  ≤  π .

Используя первый (последний) ветви вырезать главный квадратный корень карты на полуплоскость с неотрицательной мнимой (реальной) части. Последний отрезок ветки предполагается в математическом программном обеспечении, таком как Matlab или Scilab .

Корни единства

Три третьих корня из 1

Число 1 имеет n различных корней n- й степени на комплексной плоскости, а именно

куда

Эти корни равномерно расположены вокруг единичного круга в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и −1, а корни четвертой степени из единицы равны 1 ,, −1 и .

n- ые корни

Геометрическое представление корней 2–6 комплексного числа z в полярной форме re iφ, где r = | z  | и φ = arg z . Если z вещественное число, φ = 0 или π . Основные корни показаны черным.

Каждое комплексное число имеет n различных корней n- й степени на комплексной плоскости. Эти

где η - единственный корень n- й степени, а 1,  ωω 2 , ...  ω n −1 - корни n- й степени из единицы. Например, четыре разных корня четвертой степени из 2 равны

В полярной форме единственный корень n- й степени может быть найден по формуле

Здесь r - величина (модуль, также называемый абсолютным значением ) числа, из которого следует извлечь корень; если число можно записать как + bi, тогда . Кроме того, это угол, образованный при повороте в исходной точке против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он имеет свойства, которые и

Таким образом, поиск корней n- й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во- первых, величина всех п - й корней является п - й корень из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом от начала координат до одного из корней n- го порядка равен , где - угол, определенный таким же образом для числа, из которого извлекается корень. Кроме того, все корни n из n расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.

Если n четно, n- е корни комплексного числа , из которых есть четное число, входят в аддитивные обратные пары, так что если число r 1 является одним из корней n- й степени, то r 2 = - r 1 является другим. Это связано с тем, что повышение коэффициента –1 последнего до степени n для четного n дает 1: то есть (- r 1 ) n = (–1) n × r 1 n = r 1 n .

Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет разветвление в точках, где θ  /  n является разрывным.

Решение многочленов

Когда-то было высказано предположение, что все полиномиальные уравнения могут быть решены алгебраически (то есть, что все корни полинома могут быть выражены в терминах конечного числа радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для многочленов третьей степени ( кубики ) и полиномов четвертой степени ( квартики ), теорема Абеля – Руффини (1824) показывает, что это неверно в общем случае, когда степень равна 5 или больше. Например, решения уравнения

не могут быть выражены в терминах радикалов. ( ср. уравнение пятой степени )

Доказательство иррациональности несовершенного п - й степени х

Предположим, что это рационально. То есть его можно сократить до дроби , где a и b - целые числа без общего множителя.

Это значит что .

Поскольку x является целым числом и должен иметь общий множитель, если . Это означает, что если , не в простейшей форме. Таким образом, b должно быть равно 1.

Так как и , .

Это означает , что и , таким образом, . Это означает, что это целое число. Поскольку x не является совершенной степенью n , это невозможно. Таким образом, это иррационально.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки