п - й корень - nth root


Из Википедии, свободной энциклопедии

В математике , п - й корень из более числа х , где п обычно предполагается, что положительное целое число, такое число г , которое при возведенное в степень п урожайности  х :

где п есть степень корня. Корень степени 2 называется квадратный корень и корень степени 3, то кубический корень . Корни большей степени относятся используя порядковые номера, как и в корень четвертой степени , двадцатого корня и т.д.

Например:

  • 3 представляет собой квадратный корень из 9, так как 3 2 = 9.
  • -3 также корень квадратный из 9, так как (-3) 2 = 9.

Любое ненулевое число, рассматриваемое как комплексное число, имеет п различных «комплексных корней степени п » ( п й корни), в том числе с нулевой мнимой частью, т.е. каких - либо действительных корней. Корень 0 равен нулю для всех степеней п , так как 0 п = 0 . В частности, если п четно и х представляет собой положительное действительное число, один из его п - й корней положительна, один отрицательный, а остальное (при п > 2) являются сложными , но не реально; если п четно и х является отрицательным реальным, ни один из п - го корней не реально. Если п нечетно и х реальна, одна п - й корень является реальным и имеет тот же знак, что и х , в то время как другие ( п  - 1) корни не реально. Наконец, если й не является реальным, то ни один из его п - го корней не реально.

Корни, как правило , написаны с использованием радикального символа или десятичным с обозначающими главным квадратным корнем , обозначающим основной кубический корнем, обозначающим главным корнем четвертой, и так далее. В выражении , п называется индексом , является радикалом знак или Radix , и называется подкоренное . Так как радикальный символ обозначает функцию , она определена , чтобы возвращать только один результат для данного аргумента , который называется основной п - й корень . Обычно, действительный корень, предпочтительно неотрицательным, если таковой имеется, обозначается как основной п - й корень.

Дополнительный определение главного корня (хотя формально не определен или общепринятым), чтобы сказать , что это всегда комплексный корень , который имеет наименьшее значение аргумента среди всех корней; здесь «аргумент» связан и средства против часового угла в радианах между положительной вещественной осью и линией , соединяющей комплексным числом в начало координат.

Например:

  • имеет три кубические корни: , и с аргументами соответственно. Из них, имеет наименьший аргумент и , следовательно , в некоторых случаях считается основной кубический корень, в то время как в других контекстах , называется главным корнем куба , потому что это единственный реальный.
  • имеет четыре четвертые корня: и , имея аргументы и соответственно. Так всегда считается уникальный главный корень четвертой степени, потому что это положительная вещественная, которая обязательно имеет наименьший аргумент можно:  .

Нерешенная корень, особенно тот , с использованием радикального символа, иногда называют как Surd или его радикал . Любое выражение , содержащее радикал, является ли это квадратный корень, кубический корень, или более высокий корень, называется радикальное выражение , и если она не содержит трансцендентные функции или трансцендентные числа он называется алгебраическим выражением .

В исчислении , корни , рассматриваются как особые случаи экспоненциации , где показатель представляет собой фракцию :

Корни особенно важны в теории бесконечных рядов ; тест корня определяет радиус сходимости в виде степенных рядов . Корни также могут быть определены для комплексных чисел , а комплексные корни 1 ( корни из единицы ) играют важную роль в высшей математике. Теория Галуа может быть использована для определения того, какие алгебраических числа может быть выражена с помощью корней и доказать теорему Абеля-Руффини , в котором говорится , что общий полином уравнение степени пять или более не может быть решено с помощью корней в одиночку; этот результат также известен как «нерастворимость квинтика».

история

Архаичный термин для операции взятия п - й корней radication .

Определение и обозначение

Четыре 4 - й корни -1,
ни один из которых не является реальным
Три 3 - й корни -1,
один из которых является отрицательной реальной

П - й корень из числа х , где п представляет собой положительное целое число, является любым из п действительных или комплексных чисел г которого п - й степени является х :

Каждое положительное вещественное число х имеет один положительный п - й корень, называется основным п - й корень , который написан . При п , равном 2 , это называется главным квадратным корнем и п опущено. П - й корень также может быть представлен , используя возведение в степень , как х 1 / п .

Для четных значений п , положительные числа также имеют отрицательный п - й корень, а отрицательные числа не имеют реальный п - й корень. Для нечетных значений п , каждое отрицательное число х имеет реальный отрицательный п - й корень. Например, -2 имеет реальный корень 5 - й, но -2 не имеют реальные 6th корней.

Каждый ненулевое число х , реальный или комплекс , имеет п различное комплексное число п - й корни. (В случае х реальна, это число включает в себя какие - либо реальные п - е корней.) Единственный комплексный корень из 0 равен 0.

П е корни почти всех чисел (целых чисел , за исключением п - й степеней и всех рациональных чисел за исключением дробей двух п - й степеней) являются иррациональными . Например,

Все п - е корни целых чисел являются алгебраическими числами .

Термин иррациональное восходит к ал-Хорезми (с. 825), который сослался на рациональных и иррациональных чисел , как слышно и неразборчиво , соответственно. Это позже привело к арабскому слову « أصم » ( asamm , что означает «глухие» или «немой») для иррационального числа переводится на латинский как «surdus» ( что означает «глухие» или «немой»). Жерар Кремонского (с. 1150), Фибоначчи (1202), а затем Роберт Recorde (тысяча пятьсот пятьдесят один) все использовали термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней .

Квадратные корни

График .

Квадратный корень из числа х представляет собой число г , который, когда квадрат , становится х :

Каждый положительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Например, две квадратные корни из 25 являются 5 и -5. Положительный квадратный корень также известен как основной корень квадратного , и обозначается с подкоренным:

Так как квадрат любого действительного числа является положительным действительным числом, отрицательные числа не имеют реальный квадратные корни. Тем не менее, для каждого отрицательного действительного числа есть две мнимые квадратные корни. Так , например, квадратные корни -25 являются 5 I и -5 я , где я представляет собой число, квадрат которого -1 .

корни кубические

График .

Кубический корень из числа х представляет собой число г которого куб является х :

Каждое вещественное число х имеет ровно один вещественный корень куба, написанный . Например,

а также

Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных корней куб.

Тождества и свойства

Выражая степень в п - й корень в виде показателя степени, как и в , делает его легче манипулировать полномочия и корни.

Каждое положительное число имеет ровно один положительный реальный п - й корень, и поэтому правила для операций с участием surds положительных подкоренными просты в действительных числах:

Тонкости могут произойти при приеме п - е корней отрицательных или комплексных чисел . Например:

скорее

Поскольку правило строго справедливо для неотрицательных вещественных подкоренные только, его применение приводит к неравенству в первом шаге выше.

Упрощенная форма радикального выражения

Не-вложенный радикалом выражение называется в упрощенной форме , если

  1. Там нет фактора подкоренных, который может быть записан как мощность, превышающей или равной индексу.
  2. Там нет фракции под знаком радикала.
  3. Там нет радикалов в знаменателе.

Например, чтобы написать радикальное выражение в упрощенной форме, можно действовать следующим образом . Во- первых, обратите внимание на идеальный квадрат под квадратным корнем и удалить его:

Далее, существует фракция под знаком радикала, который мы изменяем следующим образом:

Наконец, мы удалим радикал из знаменателя следующим образом:

Когда есть знаменатель с участием surds всегда можно найти коэффициент умножить числитель и знаменатель для упрощения выражения. Например , используя разложение на множители суммы двух кубов :

Упрощая радикальные выражения , включающие вложенные радикал может быть довольно трудно. Это не очевидно, например , что:

Выше, могут быть получены путем:

бесконечный ряд

Радикал или корень может быть представлен бесконечной серии :

с . Это выражение может быть получено из биномиального ряда .

Вычисление главных корней

П - го корня из целого числа к только целое число , если к является произведением п - й степеней целых чисел. Во всех остальных случаях п - й корень из целого числа является иррациональным числом . Например, пятая корень

и пятый корень 34 является

где здесь многоточие означает не только то, что десятичное выражение не заканчивается после конечного числа цифр, но и о том, что цифры не вводить повторяющийся рисунок, потому что число иррационально.

Так как для положительных вещественных чисел а и Ь равенство имеет место, указанное свойство может быть продлено до положительных рациональных чисел. Пусть , с р и д взаимно простым и положительными целыми числами, рациональное число, то г имеет рациональный п - й корень, если как положительные , целые числа р и д есть целое число п - й корень, то есть, является произведением п - ем степеней рационального номера. Если один или оба п й корней р или д иррациональны, фактор нерационально, тоже.

п - й корень алгоритма

П - й корень из числа А может быть вычислена с помощью п - го корневого алгоритма , частный случай метода Ньютона . Начну с начальным приближением х 0 , а затем итерация с помощью рекуррентного соотношения

пока заданная точность не будет достигнута.

В зависимости от применения, может быть достаточно, чтобы использовать только первый аппроксимант Ньютона:

Например, чтобы найти пятый корень из 34, отметим , что 2 5 = 32 и , таким образом , принять х = 2, п = 5 и у = 2 в приведенной выше формуле. Это дает

Ошибка в приближении составляет лишь около 0,03%.

Метод Ньютона может быть модифицирован для получения обобщенной цепной дроби для п - го корня , который может быть изменен различными способами , как описано в этой статье. Например:

В случае пятого корня 34 выше (после деления из выбранных общих факторов):

Цифра-на-значный расчет главных корней десятичной (базовые) 10 чисел

Треугольник Паскаля показ .

Основываясь на расчете цифр, по-цифра квадратного корня , можно видеть , что формула используется там, или , следует образцу с участием треугольника Паскаля. Для п - й корень из числа определяется как значение элемента в строке треугольника Паскаля таким образом, что мы можем переписать выражение как . Для удобства называют результат этого выражения . С помощью этого более общего выражения, любой положительный главный корень может быть вычислен, цифры-по-цифра, как показано ниже.

Написать исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогичны столбиком алгоритма, и, как и в столбике, корень будет написано на строке выше. Теперь отдельные цифры на группы цифр приравнивая к корню принимаются, начиная с десятичной точки и происходит как слева , так и справа. Десятичная точка корня будет выше десятичной точки квадрата. Одна цифра корня появится над каждой группой цифр исходного числа.

Начиная с крайним слева группами цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:

  1. Начиная слева, обрушить наиболее значительной (крайнюю левую) группу цифр пока не используется (если были использованы все цифры, пишут «0», сколько раз требуется , чтобы сделать группу) и записать их справа от остаток от предыдущей стадии (на первом этапе, то не будет никакого остатка). Другими словами, умножение остатка на и добавить цифры из следующей группы. Это будет текущее значение с .
  2. Найти р и х , следующим образом :
    • Пусть будет часть корня найденного до сих пор , игнорируя десятичную точку. (Для первого шага, ).
    • Определить наибольшую цифру такой , что .
    • Поместите цифру в следующей цифре корня, то есть выше групп цифр вы просто сбитыми. Таким образом, следующий р будет старый р раз 10 плюс х .
  3. Вычитание из , чтобы сформировать новый остаток.
  4. Если остаток равен нулю, и нет больше цифр, чтобы обрушить, то алгоритм завершается. В противном случае вернитесь к шагу 1 для следующей итерации.

Примеры

Найти квадратный корень из 152.2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56
         01                   100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21         x = 1
         01                      y = 100·1·00·12   + 101·2·01·12   =  1 +    0   =     1
         00 52                100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31         x = 2
         00 44                   y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44
            08 27             100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41        x = 3
            07 29                y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729
               98 56          100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51       x = 4
               98 56             y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856
               00 00          Algorithm terminates: Answer is 12.34

Найти кубический корень из 4192 до ближайшей сотой.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000
      004                      100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21     x = 1
      001                         y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71     x = 6
      003 096                     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21    x = 1
          077 281                 y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31   x = 2
              015 571 928         y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51  x = 4
                               The desired precision is achieved:
                               The cube root of 4192 is about 16.12

Логарифмическая расчет

Основной п - й корень из положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Исходя из уравнения , которое определяет г как п - й корень из х , а именно с й положительными и , следовательно , его главным корнем г также положителен, один принимает логарифмы обоего сторон (любое основание логарифма будет делать) , чтобы получить

Корень г извлекают из этого, принимая антилогарифм :

(Примечание: Эта формула показывает , б , возведенной в степень в результате разделения, а не B умножается на результате деления.)

Для случая , в котором х имеет отрицательное значение, и п нечетно, есть один действительный корень г , который также отрицательный. Это может быть найден первый умножив обе части определяющего уравнения на -1 , чтобы получить затем продолжить , как и раньше , чтобы найти | г |, и с помощью г = - | г | ,

Геометрическая конструктивность

В древнегреческие математики знали , как использовать компас и угольник построить длину , равную квадратному корню из заданной длины. В 1837 году Ванцель доказал , что п - й корень заданной длины не может быть построена , если п не является степенью 2.

Комплексные корни

Каждый комплексное число , отличное от 0 имеет п другую п е корни.

Квадратные корни

Квадратные корни I

Две квадратные корни из комплексного числа всегда негативы друг друга. Так , например, квадратные корни -4 являются 2 I и -2 я , и квадратные корни I являются

Если выразить комплексное число в полярной форме, то квадратный корень может быть получен путем извлечения квадратного корня из радиуса и наполовину угла:

Основной корень комплексного числа может быть выбран различными способами, например ,

которая представляет отраслевой разрез в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 & le  ; & thetas ;  <2π , или вдоль отрицательной вещественной ось с -π <  & thetas ; &  le ; л .

Используя первый (последний) ветви вырезать основные квадратного корня карты в полуплоскость с неотрицательной мнимой (реальной) части. Последняя ветвь надрез предполагал в программно - математическом обеспечении , как Matlab или Scilab .

Корни единства

Три 3-корни 1

Номер 1 имеет п другую п - й корней в комплексной плоскости, а именно

где

Эти корни равномерно распределены вокруг единичной окружности в комплексной плоскости, под углами, кратными . Так , например, квадратные корни из единицы равны 1 и -1, а четвертый корни из единицы равны 1, -1, а .

п - й корни

Визуализация площади до шестых корней комплексного числа г , в полярной форме повторного , где φ = Arg г и г = | г  |  - если г вещественно, φ = 0 или π . Основные корни в черный цвет.

Каждый комплекс имеет номер п другой п х корней в комплексной плоскости. Это

где η является одной п - й корень и 1,  ωω 2 , ...  ω п -1 являются п - й корней из единицы. Так , например, четыре различных четвертые корней-

В полярной форме, один п - й корень может быть найден по формуле

Здесь г является величина (модуль, называемый также абсолютное значение ) числа, корень которого должно быть принято; если число можно записать в виде а + Ьх тогда . Кроме того , это угол , образованный , как один поворачивается по происхождению против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси на луч , идущий от начала координат до числа; он обладает свойствами , которые и

Таким образом , нахождение п - й корней в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во- первых, величина всех п - го корней является п - й корень из величины исходного числа. Во- вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом от начала координат до одного из п - го корней , где это угол , образованный таким же образом , для числа корни которого принимаются. Кроме того, все п о л е корни находятся на расстоянии друг от друга углами равномерно друг от друга.

Если п четно, комплексное число в п - е корней, из которых есть число четное, входит в аддитивных обратных парах, так что , если число г 1 является одним из п - я корней , то г 2 = - г 1 является другим. Это происходит потому , что повышение коэффициента последнего -1 к п - й степени для четных п выходов 1: то есть, (- г 1 ) п = (-1) п × г 1 п = г 1 н .

Как и квадратные корни, формула выше не определяет непрерывную функцию по всей комплексной плоскости, но вместо этого имеет ветвь разрез в точках , где θ  /  п разрывна.

Решение полиномов

Это было когда - то высказал предположение , что все полиномиальные уравнения могут быть решены алгебраически (то есть, что все корни полинома могут быть выражены в терминах конечного числа радикалов и элементарных операций ). Тем не менее, в то время как это верно для полиномов третьей степени ( Cubics ) и четвертой степени многочленов ( квартик ), то теорема Абеля-Руффини (1824) показывает , что это не так , в общем , когда степень 5 или больше. Например, решение уравнения

не могут быть выражены в терминах радикалов. ( Ср квинтика уравнение )

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка