Элементарная алгебра - Elementary algebra

Элементарная алгебра охватывает некоторые из основных понятий алгебры , одного из основных разделов математики . Его обычно преподают учащимся средней школы, и он основан на их понимании арифметики . В то время как арифметика имеет дело с заданными числами , алгебра вводит величины без фиксированных значений, известные как переменные . Такое использование переменных влечет за собой использование алгебраических обозначений и понимание общих правил операций, введенных в арифметике. В отличие от абстрактной алгебры , элементарная алгебра не занимается алгебраическими структурами за пределами области действительных и комплексных чисел .

Использование переменных для обозначения величин позволяет формально и кратко выразить общие отношения между величинами и, таким образом, позволяет решать более широкий круг проблем. Многие количественные отношения в науке и математике выражаются в виде алгебраических уравнений .

Алгебраические обозначения

Алгебраическая нотация описывает правила и соглашения для написания математических выражений , а также терминологию, используемую для описания частей выражений. Например, выражение имеет следующие компоненты: ${\ displaystyle 3x ^ {2} -2xy + c}$

Коэффициент представляет собой числовое значение, или буква , представляющая собой численную константу, которая умножает переменный (оператор опущен). Термин является слагаемого или слагаемым , группа коэффициентов, переменных, констант и показателей , которые могут быть отделены от других условий на плюс и минус операторов. Буквы обозначают переменные и константы. По соглашению, буквы в начале алфавита (например, ) обычно используются для представления констант , а буквы в конце алфавита (например, и z ) используются для представления переменных . Обычно они пишутся курсивом. ${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle x, y}$

Алгебраические операции работают так же, как арифметические операции , такие как сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . и применяются к алгебраическим переменным и термам. Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда нет пробела между двумя переменными или членами, или когда используется коэффициент . Например, записывается как , и может быть написано . ${\ Displaystyle 3 \ раз х ^ {2}}$${\ displaystyle 3x ^ {2}}$${\ Displaystyle 2 \ раз х \ раз у}$${\ displaystyle 2xy}$

Обычно члены с наибольшей степенью ( показателем степени ) пишутся слева, например, слева от x . Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например , записывается ). Аналогично, когда показатель степени (степень) равен единице (например , написано ). Когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например , всегда перезаписывается на 1 ). Однако , будучи неопределенным, он не должен появляться в выражении, и следует проявлять осторожность при упрощении выражений, в которых переменные могут появляться в показателях степени. ${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 1x ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 3x ^ {1}}$${\ displaystyle 3x}$${\ displaystyle x ^ {0}}$${\ displaystyle 0 ^ {0}}$

Альтернативная нотация

Другие типы обозначений используются в алгебраических выражениях, когда требуемое форматирование недоступно или не может подразумеваться, например, когда доступны только буквы и символы. В качестве иллюстрации этого, хотя показатели степени обычно форматируются с использованием надстрочных индексов, например, в обычном тексте и на языке разметки TeX , символ вставки «^» представляет возведение в степень, поэтому записывается как «x ^ 2»., а также некоторые языки программирования, такие как Lua. В языках программирования, таких как Ada , Fortran , Perl , Python и Ruby , используется двойная звездочка, поэтому пишется как «x ** 2». Многие языки программирования и калькуляторы используют одну звездочку для обозначения символа умножения, и он должен использоваться явно, например, это пишется «3 * x». ${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 3x}$

Концепции

Переменные

Элементарная алгебра основывается на арифметике и расширяет ее, вводя буквы, называемые переменными, для представления общих (неуказанных) чисел. Это полезно по нескольким причинам.

1. Переменные могут представлять числа, значения которых еще не известны . Например, если температура текущего дня, C, на 20 градусов выше, чем температура предыдущего дня, P, тогда проблема может быть описана алгебраически как .${\ Displaystyle C = P + 20}$
2. Переменные позволяют описывать общие проблемы без указания значений задействованных величин. Например, можно конкретно указать, что 5 минут эквивалентны секундам. В более общем (алгебраическом) описании может быть указано, что количество секунд,, где m - количество минут.${\ displaystyle 60 \ times 5 = 300}$${\ displaystyle s = 60 \ times m}$
3. Переменные позволяют описывать математические отношения между величинами, которые могут варьироваться. Например, связь между длиной окружности c и диаметром d окружности описывается как .${\ displaystyle \ pi = c / d}$
4. Переменные позволяют описывать некоторые математические свойства. Например, основным свойством сложения является коммутативность , согласно которой порядок суммирования чисел не имеет значения. Коммутативность алгебраически формулируется как .${\ Displaystyle (а + Ь) = (Ь + а)}$

Упрощение выражений

Алгебраические выражения могут быть вычислены и упрощены на основе основных свойств арифметических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень ). Например,

• Добавленные термины упрощаются с помощью коэффициентов. Например, можно упростить как (где 3 - числовой коэффициент).${\ Displaystyle х + х + х}$${\ displaystyle 3x}$
• Умноженные члены упрощаются с помощью экспонент. Например, представлен как${\ Displaystyle х \ раз х \ раз х}$${\ displaystyle x ^ {3}}$
• Подобные термины складываются вместе, например, записывается как , потому что термины, содержащие , складываются вместе, а термины, содержащие , складываются вместе.${\ displaystyle 2x ^ {2} + 3ab-x ^ {2} + ab}$${\ displaystyle x ^ {2} + 4ab}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle ab}$
• Скобки можно «размножить», используя распределительное свойство . Например, можно записать как который можно записать как${\ Displaystyle х (2x + 3)}$${\ Displaystyle (х \ раз 2х) + (х \ раз 3)}$${\ displaystyle 2x ^ {2} + 3x}$
• Выражения можно факторизовать. Например, разделив оба термина на, можно записать как${\ displaystyle 6x ^ {5} + 3x ^ {2}}$${\ displaystyle 3x ^ {2}}$${\ displaystyle 3x ^ {2} (2x ^ {3} +1)}$

Уравнения

Уравнение утверждает, что два выражения равны, используя символ равенства = ( знак равенства ). Одно из самых известных уравнений описывает закон Пифагора о длине сторон прямоугольного треугольника:

${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$

Это уравнение утверждает, что , представляя квадрат длины стороны гипотенузы, стороны, противоположной прямому углу, равняется сумме (сложению) квадратов двух других сторон, длины которых представлены буквами a и b. . ${\ displaystyle c ^ {2}}$

Уравнение - это утверждение, что два выражения имеют одинаковое значение и равны. Некоторые уравнения верны для всех значений задействованных переменных (например, ); такие уравнения называются тождествами . Условные уравнения верны только для некоторых значений задействованных переменных, например, только для и . Значения переменных, которые делают уравнение истинным, являются решениями уравнения и могут быть найдены путем решения уравнения . ${\ Displaystyle а + Ь = Ь + а}$${\ displaystyle x ^ {2} -1 = 8}$${\ displaystyle x = 3}$${\ displaystyle x = -3}$

Другой тип уравнения - неравенство. Неравенства используются, чтобы показать, что одна сторона уравнения больше или меньше другой. Для этого используются следующие символы: где означает «больше, чем», а где - «меньше». Как и стандартные уравнения равенства, числа можно складывать, вычитать, умножать или делить. Единственное исключение - при умножении или делении на отрицательное число символ неравенства нужно переворачивать. ${\ displaystyle a> b}$${\ displaystyle>}$${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle <}$

Свойства равенства

По определению, равенство является отношением эквивалентности , что означает, что оно обладает свойствами (а) рефлексивным (т. Е. ), (Б) симметричным (т. Е. Если, то ) (в) транзитивным (т. Е. Если и тогда ). Он также удовлетворяет важному свойству: если два символа используются для одинаковых вещей, то один символ может быть заменен другим в любом истинном утверждении о первом, и это утверждение останется истинным. Это подразумевает следующие свойства: ${\ displaystyle b = b}$${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle b = a}$${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle b = c}$${\ displaystyle a = c}$

• если, а затем и ;${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle c = d}$${\ displaystyle a + c = b + d}$${\ displaystyle ac = bd}$
• если тогда и ;${\ displaystyle a = b}$${\ Displaystyle а + с = Ь + с}$${\ displaystyle ac = bc}$
• в более общем смысле, для любой функции f , если то .${\ displaystyle a = b}$${\ Displaystyle е (а) = е (Ь)}$

Свойства неравенства

Отношения меньше и больше чем обладают свойством транзитивности: ${\ displaystyle <}$${\ displaystyle>}$

• Если     и     тогда   ;${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle b <c}$${\ displaystyle a <c}$
• Если     и     тогда   ;${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle c <d}$${\ displaystyle a + c <b + d}$
• Если     и     тогда   ;${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle ac <bc}$
• Если     и     тогда   .${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle c <0}$${\ displaystyle bc <ac}$

Изменив неравенство, и можно поменять местами, например: ${\ displaystyle <}$${\ displaystyle>}$

• ${\ displaystyle a <b}$ эквивалентно ${\ displaystyle b> a}$

Замена

Подстановка заменяет термины в выражении для создания нового выражения. Замена 3 на a в выражении a * 5 дает новое выражение 3 * 5 со значением 15 . Подстановка условий утверждения делает новое утверждение. Когда исходное утверждение истинно независимо от значений терминов, утверждение, созданное подстановками, также истинно. Следовательно, определения могут быть сделаны в символических терминах и интерпретироваться через замену: if подразумевается как определение как продукта a с самим собой, замена 3 на a информирует читателя об этом утверждении, что означает 3 × 3 = 9 . Часто неизвестно, верно ли утверждение, независимо от значений терминов. И подстановка позволяет вывести ограничения на возможные значения или показать, при каких условиях выполняется утверждение. Например, взяв утверждение x + 1 = 0 , если x заменяется на 1 , это означает, что 1 + 1 = 2 = 0 , что неверно, что означает, что если x + 1 = 0, то x не может быть 1 . ${\ Displaystyle а ^ {2}: = а \ раз а}$${\ displaystyle a ^ {2},}$${\ displaystyle 3 ^ {2}}$

Если x и y являются целыми , рациональными или действительными числами , то xy = 0 означает, что x = 0 или y = 0 . Рассмотрим abc = 0 . Тогда, подставляя для й и Ьса для у , мы узнаем , а = 0 или Ьс = 0 . Затем мы можем произвести замену снова, положив x = b и y = c , чтобы показать, что если bc = 0, то b = 0 или c = 0 . Следовательно, если abc = 0 , то a = 0 или ( b = 0 или c = 0 ), поэтому abc = 0 влечет a = 0 или b = 0 или c = 0 .

Если бы исходный факт был заявлен как « ab = 0 подразумевает a = 0 или b = 0 », то, говоря «рассмотрите abc = 0 », мы бы столкнулись с конфликтом терминов при замене. Тем не менее, приведенная выше логика все еще верна, чтобы показать, что если abc = 0, то a = 0 или b = 0 или c = 0, если вместо того, чтобы позволить a = a и b = bc , заменить a на a и b на bc (и с Ьсом = 0 , подставляя Ь для и с для б ). Это показывает, что замена терминов в утверждении - не всегда то же самое, что приравнивание терминов из утверждения к заменяемым терминам. В этой ситуации ясно, что если мы подставим выражение a в член a исходного уравнения, подставляемое a не будет относиться к a в утверждении « ab = 0 подразумевает a = 0 или b = 0 ».

Решение алгебраических уравнений

В следующих разделах приведены примеры некоторых типов алгебраических уравнений, которые могут встретиться.

Линейные уравнения с одной переменной

Линейные уравнения называются так называемыми, потому что, когда они построены, они описывают прямую линию. Простейшие уравнения для решения - это линейные уравнения , в которых есть только одна переменная. Они содержат только постоянные числа и одну переменную без показателя степени. В качестве примера рассмотрим:

Задача на словах: если вы удвоите возраст ребенка и прибавите 4, получится 12. Сколько лет ребенку?

Эквивалентное уравнение: где x обозначает возраст ребенка${\ displaystyle 2x + 4 = 12}$

Для решения такого рода уравнения используется метод сложения, вычитания, умножения или деления обеих сторон уравнения на одно и то же число, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. Когда переменная изолирована, другая сторона уравнения - это значение переменной. Эта проблема и ее решение следующие:

1. Уравнение для решения:	${\ displaystyle 2x + 4 = 12}$
2. Вычтите 4 с обеих сторон:	${\ displaystyle 2x + 4-4 = 12-4}$
3. Это упрощает:	${\ displaystyle 2x = 8}$
4. Разделите обе части на 2:	${\ displaystyle {\ frac {2x} {2}} = {\ frac {8} {2}}}$
5. Это упрощает решение:	${\ displaystyle x = 4}$

На словах: ребенку 4 года.

Общий вид линейного уравнения с одной переменной может быть записан как: ${\ displaystyle ax + b = c}$

Следуя той же процедуре (т.е. вычтите b с обеих сторон, а затем разделите на a ), общее решение дается формулой${\ displaystyle x = {\ frac {cb} {a}}}$

Линейные уравнения с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными имеет множество (т. Е. Бесконечное число) решений. Например:

Проблема на словах: отец на 22 года старше сына. Сколько им лет?

Эквивалентное уравнение: где y - возраст отца, x - возраст сына.${\ Displaystyle у = х + 22}$

Это не может быть решено само по себе. Если бы возраст сына был известен, то больше не было бы двух неизвестных (переменных). Тогда проблема становится линейным уравнением только с одной переменной, которую можно решить, как описано выше.

Чтобы решить линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными), требуются два связанных уравнения. Например, если также было обнаружено, что:

Проблема на словах

Через 10 лет отец будет вдвое старше сына.

Эквивалентное уравнение

${\ displaystyle {\ begin {align} y + 10 & = 2 \ times (x + 10) \\ y & = 2 \ times (x + 10) -10 && {\ text {Вычесть 10 с обеих сторон}} \\ y & = 2x + 20-10 && {\ text {Несколько квадратных скобок}} \\ y & = 2x + 10 && {\ text {Упростить}} \ end {выровнено}}}$

Теперь есть два связанных линейных уравнения, каждое с двумя неизвестными, что позволяет получить линейное уравнение только с одной переменной путем вычитания одного из другого (так называемый метод исключения):

${\ displaystyle {\ begin {cases} y = x + 22 & {\ text {Первое уравнение}} \\ y = 2x + 10 & {\ text {Второе уравнение}} \ end {cases}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} &&& {\ text {Вычтите первое уравнение из}} \\ (yy) & = (2x-x) + 10-22 && {\ text {второе, чтобы удалить}} y \\ 0 & = x-12 && {\ text {Simplify}} \\ 12 & = x && {\ text {Добавить 12 с обеих сторон}} \\ x & = 12 && {\ text {Переупорядочить}} \ end {выровнено}}}$

Другими словами, сыну 12 лет, а так как отец на 22 года старше, ему должно быть 34. Через 10 лет сыну будет 22, а отцу будет вдвое больше, чем 44. Эта проблема проиллюстрирована на рисунке связанный график уравнений.

О других способах решения такого рода уравнений см. Ниже, Система линейных уравнений .

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение - это уравнение, которое включает член с показателем степени 2, например,, и не содержит члена с более высоким показателем. Название происходит от латинского quadrus , что означает квадрат. В общем, квадратное уравнение может быть выражено в форме , где а не равно нулю (если бы оно было нулем, то уравнение было бы не квадратичным, а линейным). По этой причине квадратное уравнение должно содержать член , известный как квадратный член. Следовательно , и поэтому мы можем разделить на a и преобразовать уравнение в стандартную форму ${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$${\ displaystyle ax ^ {2}}$${\ Displaystyle а \ neq 0}$

${\ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}$

где и . Решение этой проблемы с помощью процесса, известного как завершение квадрата , приводит к квадратной формуле${\ displaystyle p = {\ frac {b} {a}}}$${\ displaystyle q = {\ frac {c} {a}}}$

${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}},}$

где символ "±" означает, что оба

${\ displaystyle x = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} \ quad {\ text {and}} \ quad x = {\ frac {-b- { \ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

являются решениями квадратного уравнения.

Квадратные уравнения также могут быть решены с использованием факторизации (обратный процесс - разложение , но для двух линейных членов иногда обозначается фольгированием ). В качестве примера факторинга:

${\ displaystyle x ^ {2} + 3x-10 = 0,}$

что то же самое, что и

${\ Displaystyle (х + 5) (х-2) = 0.}$

Из свойства нулевого произведения следует, что решениями или являются либо , поскольку ровно один из множителей должен быть равен нулю . Все квадратные уравнения будут иметь два решения в комплексной системе счисления, но не обязательно в действительной системе счисления. Например, ${\ displaystyle x = 2}$${\ displaystyle x = -5}$

${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$

не имеет решения в виде действительного числа, поскольку ни один квадрат действительного числа не равен -1. Иногда квадратное уравнение имеет корень кратности 2, например:

${\ displaystyle (x + 1) ^ {2} = 0.}$

Для этого уравнения −1 является корнем из кратности 2. Это означает, что −1 появляется дважды, поскольку уравнение может быть переписано в факторизованной форме как

${\ Displaystyle [х - (- 1)] [х - (- 1)] = 0.}$

Комплексные числа

Все квадратные уравнения имеют ровно два решения в комплексных числах (но они могут быть равны друг другу), категория, которая включает действительные числа , мнимые числа и суммы действительных и мнимых чисел. Комплексные числа впервые возникают при обучении квадратным уравнениям и квадратным формулам. Например, квадратное уравнение

${\ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 0}$

есть решения

${\ displaystyle x = {\ frac {-1 + {\ sqrt {-3}}} {2}} \ quad \ quad {\ text {и}} \ quad \ quad x = {\ frac {-1- { \ sqrt {-3}}} {2}}.}$

Поскольку не является действительным числом, оба этих решения для x являются комплексными числами. ${\ displaystyle {\ sqrt {-3}}}$

Экспоненциальные и логарифмические уравнения

Экспоненциальное уравнение - это уравнение, имеющее форму для , имеющее решение ${\ displaystyle a ^ {x} = b}$${\ displaystyle a> 0}$

${\ displaystyle X = \ log _ {a} b = {\ frac {\ ln b} {\ ln a}}}$

когда . Элементарные алгебраические методы используются, чтобы переписать данное уравнение указанным выше способом, прежде чем прийти к решению. Например, если ${\ displaystyle b> 0}$

${\ Displaystyle 3 \ cdot 2 ^ {х-1} + 1 = 10}$

затем, вычитая 1 из обеих частей уравнения, а затем разделив обе части на 3, получим

${\ displaystyle 2 ^ {x-1} = 3}$

откуда

${\ Displaystyle х-1 = \ журнал _ {2} 3}$

или

${\ displaystyle x = \ log _ {2} 3 + 1.}$

Логарифмическое уравнение - это уравнение вида для , имеющее решение ${\ displaystyle log_ {a} (x) = b}$${\ displaystyle a> 0}$

${\ displaystyle X = a ^ {b}.}$

Например, если

${\ Displaystyle 4 \ журнал _ {5} (х-3) -2 = 6}$

затем, добавив 2 к обеим частям уравнения, а затем разделив обе части на 4, мы получим

${\ Displaystyle \ журнал _ {5} (х-3) = 2}$

откуда

${\ displaystyle x-3 = 5 ^ {2} = 25}$

откуда получаем

${\ displaystyle x = 28.}$

Радикальные уравнения

Радикальное уравнение является тот , который включает в себя радикальный знак, который включает в себя квадратные корни , кубические корни , и п - е корней , . Напомним, что корень n- й степени можно переписать в экспоненциальном формате, так что это эквивалентно . В сочетании с регулярными показателями (степенями), тогда (квадратный корень из x в кубе) можно переписать как . Таким образом, обычная форма радикального уравнения (эквивалент ) где m и n - целые числа . У него есть реальное решение (я): ${\ displaystyle {\ sqrt {x}},}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{п}] {х}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{п}] {х}}}$${\ Displaystyle х ^ {\ гидроразрыва {1} {п}}}$${\ displaystyle {\ sqrt [{2}] {х ^ {3}}}}$${\ displaystyle x ^ {\ frac {3} {2}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{п}] {х ^ {m}}} = а}$${\ Displaystyle х ^ {\ гидроразрыва {м} {п}} = а}$

n нечетное	n четное и${\ displaystyle a \ geq 0}$	п и т являются даже и ${\ displaystyle a <0}$	п четно, т нечетно , и ${\ displaystyle a <0}$
${\ displaystyle x = {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}$ эквивалентно ${\ displaystyle x = \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {m}}$	${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}$ эквивалентно ${\ displaystyle x = \ pm \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {m}}$	${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}$	нет реального решения

Например, если:

${\ Displaystyle (х + 5) ^ {2/3} = 4}$

потом

${\ displaystyle {\ begin {align} x + 5 & = \ pm ({\ sqrt {4}}) ^ {3}, \\ x + 5 & = \ pm 8, \\ x & = - 5 \ pm 8, \ конец {выровнен}}}$

и поэтому

${\ displaystyle x = 3 \ quad {\ text {или}} \ quad x = -13}$

Система линейных уравнений

Существуют разные методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

Метод устранения

Пример решения системы линейных уравнений - использование метода исключения:

${\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = 14 \\ 2x-y & = 1. \ end {cases}}}$

Умножая члены во втором уравнении на 2:

${\ displaystyle 4x + 2y = 14}$

${\ displaystyle 4x-2y = 2.}$

Сложив два уравнения вместе, мы получим:

${\ displaystyle 8x = 16}$

что упрощает

${\ displaystyle x = 2.}$

Поскольку этот факт известен, то можно вывести, что с помощью любого из двух исходных уравнений (используя 2 вместо x ). Полное решение этой проблемы тогда ${\ displaystyle x = 2}$${\ displaystyle y = 3}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} x = 2 \\ y = 3. \ end {cases}}}$

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; y мог быть разрешен до x .

Метод подстановки

Другой способ решения той же системы линейных уравнений - подстановка.

${\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = 14 \\ 2x-y & = 1. \ end {cases}}}$

Эквивалент для y можно вывести с помощью одного из двух уравнений. Используя второе уравнение:

${\ displaystyle 2x-y = 1}$

Вычитая из каждой части уравнения: ${\ displaystyle 2x}$

${\ displaystyle {\ begin {align} 2x-2x-y & = 1-2x \\ - y & = 1-2x \ end {align}}}$

и умножив на -1:

${\ displaystyle y = 2x-1.}$

Используя это значение y в первом уравнении исходной системы:

${\ displaystyle {\ begin {align} 4x + 2 (2x-1) & = 14 \\ 4x + 4x-2 & = 14 \\ 8x-2 & = 14 \ end {align}}}$

Добавляем по 2 с каждой стороны уравнения:

${\ displaystyle {\ begin {align} 8x-2 + 2 & = 14 + 2 \\ 8x & = 16 \ end {align}}}$

что упрощает

${\ displaystyle x = 2}$

Используя это значение в одном из уравнений, получается то же решение, что и в предыдущем методе.

${\ displaystyle {\ begin {cases} x = 2 \\ y = 3. \ end {cases}}}$

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; и в этом случае y могло быть решено до x .

Другие типы систем линейных уравнений

Несогласованные системы

В приведенном выше примере решение существует. Однако есть и системы уравнений, не имеющие решения. Такая система называется противоречивой . Очевидный пример:

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} x + y & = 1 \\ 0x + 0y & = 2 \,. \ end {align}} \ end {cases}}}$

При 0 ≠ 2 второе уравнение системы не имеет решения. Следовательно, у системы нет решения. Однако не все несовместимые системы распознаются с первого взгляда. В качестве примера рассмотрим систему

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} 4x + 2y & = 12 \\ - 2x-y & = - 4 \,. \ end {align}} \ end {cases}}}$

Умножение на 2 обеих частей второго уравнения и прибавление его к первому дает

${\ Displaystyle 0x + 0y = 4 \ ,,}$

который явно не имеет решения.

Неопределенные системы

Существуют также системы, которые имеют бесконечно много решений, в отличие от системы с уникальным решением (то есть уникальной парой значений для x и y ). Например:

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} 4x + 2y & = 12 \\ - 2x-y & = - 6 \ end {align}} \ end {cases}}}$

Выделение y во втором уравнении:

${\ displaystyle y = -2x + 6}$

И используя это значение в первом уравнении системы:

${\ displaystyle {\ begin {align} 4x + 2 (-2x + 6) = 12 \\ 4x-4x + 12 = 12 \ 12 = 12 \ end {align}}}$

Равенство верно, но оно не дает значения для x . В самом деле, можно легко проверить (просто подставив некоторые значения x ), что для любого x существует решение до тех пор, пока . Для этой системы существует бесконечное множество решений. ${\ displaystyle y = -2x + 6}$

Сверх- и недоопределенные системы

Системы с большим количеством переменных, чем количество линейных уравнений, называются недоопределенными . Такая система, если у нее есть какие-то решения, не однозначна, а бесконечна. Пример такой системы:

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} x + 2y & = 10 \\ yz & = 2. \ end {align}} \ end {cases}}}$

Пытаясь решить эту проблему, один вынужден выразить некоторые переменные как функции других, если какие-либо решения существуют, но не может выразить все решения численно, потому что их бесконечное количество, если они есть.

Система с большим числом уравнений, чем количество переменных, называется переопределенной . Если переопределенная система имеет какие-либо решения, обязательно некоторые уравнения являются линейными комбинациями других.

Смотрите также

• История элементарной алгебры
• Бинарная операция
• Гауссово исключение
• Математическое образование
• Числовая строка
• Полиномиальный
• Отмена
• Проблема алгебры средней школы Тарского

использованная литература

• Леонард Эйлер , Элементы алгебры , 1770. Английский перевод Tarquin Press , 2007, ISBN 978-1-899618-79-8 , также онлайн-оцифрованные издания 2006, 1822.  
• Чарльз Смит, Трактат по алгебре , в исторических математических монографиях библиотеки Корнельского университета .
• Редден, Джон. Элементарная алгебра . Знание о плоском мире, 2011

внешние ссылки

• СМИ, связанные с элементарной алгеброй на Викискладе?