Абстрактная чушь - Abstract nonsense
В математике , аннотация нонсенса , общая аннотация нонсенса , обобщенный абстрактный нонсенс , и вообще нонсенс термины , используемые математики для описания абстрактных методов , связанных с теорией категорий и гомологической алгеброй . В более общем смысле, «абстрактная чепуха» может относиться к доказательству, основанному на теоретико-категориальных методах, или даже к изучению самой теории категорий.
Фон
Грубо говоря, теория категорий - это изучение общей формы, то есть категорий математических теорий, независимо от их содержания. В результате математические доказательства , основанные на теоретико-категориальных идеях, часто кажутся вырванными из контекста, чем-то вроде non sequitur . Авторы иногда называют эти доказательства «абстрактной чепухой», чтобы беззаботно обратить внимание читателей на их абстрактную природу. Обозначение аргумента «абстрактной бессмыслицей» обычно не является уничижительным, а вместо этого используется в шутку, самоуничижительно , нежно или даже в качестве комплимента к общности аргумента.
Определенные идеи и конструкции в математике имеют единообразие во многих областях, объединенные теорией категорий. Типичные методы включают использование классифицирующих пространств и универсальных свойств , использование леммы Йонеды , естественные преобразования между функторами и поиск диаграмм .
Когда можно предположить, что аудитория знакома с общей формой таких аргументов, математики будут использовать выражение «То-то и то-то истинно, исходя из абстрактной бессмыслицы », вместо того, чтобы давать подробное объяснение частностей. Например, можно сказать, что «по абстрактной чепухе продукты уникальны с точностью до изоморфизма, когда они существуют » , вместо того, чтобы спорить о том, как эти изоморфизмы могут быть выведены из универсального свойства, которое определяет продукт. Это позволяет пропустить детали доказательства, которые можно считать тривиальными или не обеспечивающими особого понимания, вместо этого сосредоточившись на действительно новаторских частях более крупного доказательства.
История
Этот термин предшествует основанию теории категорий как самого предмета. Ссылаясь на совместную работу с Сэмюэлем Эйленбергом , в которой в 1942 году было введено понятие « категории », Сондерс Мак Лейн написал, что эта тема «тогда называлась« общей абстрактной чепухой »». Этот термин часто используется для описания применения теории категорий и ее методов к менее абстрактным областям.
Считается, что этот термин был введен математиком Норманом Стинродом , который сам был одним из разработчиков категориальной точки зрения.
Примеры
Рассмотрим пример, показывающий, что 3-многообразие M допускает отображение на 2-сферу , которое нетривиально (т. Е. Негомотопно постоянному отображению), когда 2-е число Бетти для M положительно. Это означает, что вторая группа когомологий имеет положительный ранг (по теореме об универсальных коэффициентах для когомологий ), поэтому она имеет ненулевой элемент. В свойства пространствах Эйленберга-Маклейна затем дать соответствующее нетривиального отображение п от М к бесконечномерным комплексное проективное пространство CP ∞ , так как она является К ( Z , 2) пространство Эйленберга-Маклейна . Пространство CP ∞ может быть реализовано как комплекс CW с ровно одной ячейкой в каждом четном измерении и без ячеек в нечетном измерении, в то время как M может быть реализован без ячеек в размерностях выше 3, поэтому по теореме клеточной аппроксимации существует отображение гомотопного в f, который отображает M в 3-остов CP ∞ , который является 2-сферой.
Хотя это доказательство устанавливает истинность рассматриваемого утверждения, техника доказательства имеет мало общего с топологией или геометрией 2-сферы, не говоря уже о 3-многообразиях, поскольку она опирается на более общие категориальные принципы. Из-за опоры на эти абстрактные принципы результат не зависит от более тонких геометрических деталей, поэтому дает мало геометрического понимания природы такой карты. С другой стороны, доказательство на удивление короткое и чистое, и «практический» подход, включающий явное построение такой карты, был бы потенциально трудоемким.