Касательный конус - Tangent cone

В геометрии , то касательный конус является обобщением понятия касательного пространства к многообразию в случае некоторых пространств с особенностями.

Определения в нелинейном анализе

В нелинейном анализе, существует множество определений касательного конуса, в том числе соседнего конуса , Булиган «s условного конуса , и касательный конуса Кларка . Эти три конуса совпадают для выпуклого множества, но могут отличаться на более общих множествах.

Касательный конус Кларка

Пусть - непустое замкнутое подмножество банахова пространства . Касательный конус Кларка к точке at , обозначенный как, состоит из всех векторов , так что для любой последовательности, стремящейся к нулю, и любой последовательности, стремящейся к , существует последовательность, стремящаяся к , такая, что для всех выполняется ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in A}$ ${\ displaystyle {\ widehat {T}} _ {A} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle v \ in X}$ ${\ Displaystyle \ {т_ {п} \} _ {п \ geq 1} \ подмножество \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1} \ подмножество A}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle \ {v_ {n} \} _ {n \ geq 1} \ подмножество X}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ Displaystyle п \ geq 1}$ ${\ displaystyle x_ {n} + t_ {n} v_ {n} \ in A}$

Касательный конус Кларка всегда является подмножеством соответствующего условного конуса (и совпадает с ним, когда рассматриваемое множество выпукло). Он имеет важное свойство быть замкнутым выпуклым конусом.

Определение в выпуклой геометрии

Пусть K будет замкнутое выпуклое подмножество вещественного векторного пространства V и ∂ K является границей из K . Твердый касательный конус к K в точке х ∈ ∂ K является замыканием конуса , образованного всех полупрямых (или лучами) , вытекающим из й и пересекающей K , по крайней мере в одной точке у отличны от й . Это выпуклый конус в V , а также может быть определена как пересечение замкнутых полупространств из V , содержащего K , и ограничена опорными гиперплоскостями из К при х . Граница T _K твердого касательного конуса - это касательный конус к K и ∂ K в точке x . Если это аффинное подпространство в V , то точка х называется гладкую точку из ∂ K и ∂ K называется дифференцируемой по х и Т _К является обычным касательным пространством к ∂ K на х .

Определение в алгебраической геометрии

y ² = x ³ + x ² (красный) с касательным конусом (синий)

Пусть X - аффинное алгебраическое многообразие, вложенное в аффинное пространство , с определяющим идеалом . Для любого полинома F , Пусть однородная составляющая F в наименьшей степени, то первоначальный срок от е , и пусть ${\ Displaystyle к ^ {п}}$ ${\ Displaystyle I \ подмножество к [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {in} (f)}$

{\ Displaystyle \ OperatorName {in} (I) \ subset k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}

однородный идеал , который формируется начальными условиями для всех , в начальный идеал из I . Касательный конус к X в нуле Зарискому замкнутое подмножество определяется идеалом . Путем сдвига системы координат это определение распространяется на произвольную точку вместо начала координат. Касательный конус служит расширение понятия касательного пространства к X в регулярной точке, где X наиболее близко напоминает дифференцируемое многообразие , для всех X . (Касательный конус в точке , не содержащейся в X , пуст.) ${\ displaystyle \ operatorname {in} (f)}$ ${\ displaystyle f \ in I}$ ${\ Displaystyle к ^ {п}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {in} (I)}$ ${\ Displaystyle к ^ {п}}$ ${\ Displaystyle к ^ {п}}$

Например, узловая кривая

{\ displaystyle C: y ^ {2} = x ^ {3} + x ^ {2}}

сингулярна в начале координат, поскольку обе частные производные функции f ( x , y ) = y ² - x ³ - x ² обращаются в нуль в точке (0, 0). Таким образом, касательное пространство Зариского к C в начале координат является всей плоскостью и имеет более высокую размерность, чем сама кривая (два против одного). С другой стороны, касательный конус - это объединение касательных прямых к двум ветвям C в начале координат,

{\ displaystyle x = y, \ quad x = -y.}

Его определяющий идеал - это главный идеал k [ x ], порожденный начальным членом f , а именно y ² - x ² = 0.

Определение касательного конуса может быть расширено на абстрактные алгебраические многообразия и даже на общие нётеровы схемы . Пусть Х быть алгебраическое многообразие , х точку X , и ( О _{Х , х} , м ) будет локальное кольцо из X в х . Тогда касательный конус к X в й является спектром от ассоциированного градуированного кольца из O _{X , х} относительно м -адической фильтрации :