Теорема вложения Нэша - Nash embedding theorem

Нэш теоремы вложения (или теоремы вложения ), названный в честь Нэш , утверждают , что каждое риманово многообразие может быть изометрически вложено в некоторое евклидово пространство . Изометрические означает сохранение длины каждого пути . Например, сгибание, но ни растяжение, ни разрыв страницы бумаги дает изометрическое вложение страницы в евклидово пространство, потому что кривые, нарисованные на странице, сохраняют ту же длину дуги, как бы ни была изогнута страница.

Первая теорема предназначена для непрерывно дифференцируемых ( C 1 ) вложений, а вторая - для аналитических вложений или вложений, гладких класса C k , 3 ≤ k ≤ ∞. Эти две теоремы сильно отличаются друг от друга. Первая теорема имеет очень простое доказательство, но приводит к некоторым парадоксальным выводам, тогда как вторая теорема имеет техническое и противоречащее интуиции доказательство, но приводит к менее удивительному результату.

Теорема C 1 была опубликована в 1954 г., C k -теорема - в 1956. Действительная аналитическая теорема впервые была рассмотрена Нэшем в 1966 г .; его аргумент был значительно упрощен Грином и Якобовицем (1971) . (Локальная версия этого результата была доказана Эли Картаном и Морисом Жане в 1920-х годах.) В вещественно-аналитическом случае сглаживающие операторы (см. Ниже) в аргументе обратной функции Нэша могут быть заменены оценками Коши. Доказательство Нэша случая C k было позже экстраполировано в h-принцип и теорему Нэша – Мозера о неявной функции . Более простое доказательство второй теоремы вложения Нэша было получено Гюнтером (1989), который свел множество нелинейных уравнений в частных производных к эллиптической системе, к которой могла быть применена теорема сжимающего отображения .

Теорема Нэша-Койпер ( С 1 теорема вложения)

Теорема. Пусть ( M , g ) - риманово многообразие и ƒ: M mR n - короткое C -вложение (или погружение ) в евклидово пространство R n , где nm +1. Тогда для произвольного ε> 0 существует вложение (или погружение) ε : M mR n, которое

  1. в классе C 1 ,
  2. изометрический: для любых двух векторов v , w  ∈  T x ( M ) в касательном пространстве в точке xM ,
    ,
  3. ε-близко к ƒ:
    .

В частности, как следует из теоремы вложения Уитни , любое m -мерное риманово многообразие допускает изометрическое C 1 -вложение в сколь угодно малую окрестность в 2 m -мерном евклидовом пространстве.

Теорема была первоначально доказана Джоном Нэшем с условием nm +2 вместо nm +1 и обобщена Николаасом Койпером с помощью относительно простой уловки.

Теорема имеет много противоречивых выводов. Например, отсюда следует, что любая замкнутая ориентированная риманова поверхность может быть C 1 изометрически вложена в произвольно малый ε-шар в евклидовом 3-пространстве (для малых не существует такого C 2 -вложения, поскольку из формулы для кривизны Гаусса экстремальная точка такого вложения имела бы кривизну ≥ ε −2 ). И существует C 1 изометрических вложений гиперболической плоскости в R 3 .

C k теорема вложения

Техническое утверждение, содержащееся в оригинальной статье Нэша, выглядит следующим образом: если M - данное m -мерное риманово многообразие (аналитическое или класса C k , 3 ≤ k ≤ ∞), то существует число n (при nm (3 m +11) / 2, если M - компактное многообразие, или nm ( m +1) (3 m +11) / 2, если M - некомпактное многообразие) и изометрическое вложение ƒ: MR n ( также аналитический или класса C k ). То есть ƒ является вложением из C K многообразия и для каждой точку р из М , то производнаяр является линейным отображением из касательного пространства Т р М к R п , который совместит с данным скалярным произведением на Т р М а стандартное скалярное произведение из R п в следующем смысле:

для всех векторов U , V в Т р М . Это неопределенная система дифференциальных уравнений в частных производных (PDE).

В более позднем разговоре с Робертом М. Соловеем Нэш упомянул об ошибке в исходном аргументе при выводе достаточного значения размерности пространства вложения для случая некомпактных многообразий.

Теорема вложения Нэша является глобальной теоремой в том смысле, что все многообразие вложено в R n . Локальная теорема вложения намного проще и может быть доказана с помощью теоремы о неявной функции расширенного исчисления в координатной окрестности многообразия. Доказательство глобальной теоремы вложения опирается на далеко идущее обобщение теоремы Нэша о неявной функции, теорему Нэша – Мозера и метод Ньютона с посткондиционированием. Основная идея решения Нэша проблемы погружения заключается в использовании метода Ньютона для доказательства существования решения указанной выше системы уравнений в частных производных. Стандартный метод Ньютона не может сходиться при применении к системе; Нэш использует операторы сглаживания, определенные сверткой, чтобы сделать итерацию Ньютона сходящейся: это метод Ньютона с посткондиционированием. Тот факт, что этот метод дает решение, сам по себе является теоремой существования и представляет самостоятельный интерес. Существует также более старый метод, называемый итерацией Канторовича, который напрямую использует метод Ньютона (без введения операторов сглаживания).

использованная литература