Второе счетное пространство - Second-countable space

В топологии пространство со счетом до второго , также называемое полностью сепарабельным пространством , является топологическим пространством , топология которого имеет счетную базу . Более точно, топологическое пространство занимает второе счетное , если существует некоторый счетный набор из открытых подмножеств таким образом, что любое открытое подмножество может быть записано в виде объединения элементов некоторого подсемейства . Говорят, что пространство, имеющее счетность до второго, удовлетворяет второй аксиоме счетности . Как и другие аксиомы счетности , свойство быть счетным по секундам ограничивает количество открытых множеств, которые может иметь пространство. ${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {я} \} _ {я = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Многие « хорошие » пространства в математике подсчитываются до секунды. Например, евклидово пространство ( R ⁿ ) с его обычной топологией счетно до секунды. Хотя обычная база открытых шаров является несчетной , можно ограничиться сбором всех открытых шаров с рациональными радиусами и центры которых имеют рациональные координаты. Этот ограниченный набор исчисляем и по-прежнему составляет основу.

Характеристики

Счетность до второго - более сильное понятие, чем счётность до первого . Пространство считается первым счетным, если каждая точка имеет счетную локальную базу . Учитывая базу для топологии и точку x , множество всех базисных наборов, содержащих x, образует локальную базу в x . Таким образом, если у кого-то есть счетная база для топологии, то у него есть счетная локальная база в каждой точке, и, следовательно, каждое пространство, учитываемое вторым, также является пространством, учитывающим первую. Однако любое неисчислимое дискретное пространство считается первым, но не вторым.

Счетность до второй влечет некоторые другие топологические свойства. В частности, каждое счетное пространство сепарабельно (имеет счетное плотное подмножество) и Линделёфа (каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие). Обратные выводы неверны. Например, топология нижнего предела на вещественной прямой является подсчетом первого, сепарабельным и линделёфским, но не подсчитываемым вторым. Для метрических пространств , однако, свойства счетчика второй, сепарабельности и линделёфа эквивалентны. Следовательно, топология нижнего предела на вещественной прямой не является метризуемой.

В пространствах с подсчетом секунд , как и в метрических пространствах, компактность , секвенциальная компактность и счетная компактность являются эквивалентными свойствами.

Теорема метризационной Урысона утверждает , что каждый второй-счетным Хаусдорф регулярного пространство является метризуемым . Отсюда следует, что любое такое пространство вполне нормально и паракомпактно . Таким образом, вторая счетность является довольно ограничивающим свойством топологического пространства, требующим только аксиомы отделимости, чтобы подразумевать метризуемость.

Прочие свойства

• Непрерывное открытое изображение пространства с подсчетом секунд является подсчетом секунд.
• Каждое подпространство в пространстве с подсчетом секунд счетно до секунды.
• Факторы пространств с подсчетом секунд не обязательно должны подсчитывать секунды; однако открытые частные всегда есть.
• Любое исчисляемое произведение пространства с подсчетом секунд является подсчетом секунд, хотя несчетные произведения не обязательно.
• Топология пространства с подсчетом секунд имеет мощность меньше или равную c ( мощность континуума ).${\ displaystyle T_ {1}}$
• Любая база для второго счетного пространства имеет счетное подсемейство, которое все еще является базой.
• Всякая совокупность непересекающихся открытых множеств в пространстве с подсчетом секунд счетна.

Примеры и контрпримеры

• Рассмотрим непересекающееся счетное объединение . Определите отношение эквивалентности и фактор-топологию , идентифицируя левые концы интервалов, то есть идентифицируя 0 ~ 2 ~ 4 ~… ~ 2k и так далее. X является счетным до второго, как счетное объединение пространств, имеющих счет до второго. Однако X / ~ не имеет первого счета в смежном классе отождествленных точек и, следовательно, также не является вторым счетом.${\ Displaystyle X = [0,1] \ чашка [2,3] \ чашка [4,5] \ чашка \ точки \ чашка [2k, 2k + 1] \ чашка \ dotsb}$
• Вышеупомянутое пространство не гомеоморфно тому же набору классов эквивалентности, наделенному очевидной метрикой: то есть регулярным евклидовым расстоянием для двух точек в одном интервале и суммой расстояний до левой точки для точек не в одном интервале - - давая строго более слабую топологию, чем указанное выше пространство. Это сепарабельное метрическое пространство (рассмотрим множество рациональных точек), и, следовательно, оно имеет счетность до секунд.
• Длинная линия не второй счетная, но это первый счетное.

Примечания

использованная литература

• Стивен Уиллард, Общая топология , (1970) издательство Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• Джон Г. Хокинг и Гейл С. Янг (1961). Топология. Исправленная перепечатка, Дувр, 1988. ISBN  0-486-65676-4