Евклидово расстояние - Euclidean distance

Использование теоремы Пифагора для вычисления двумерного евклидова расстояния

В математике , то евклидово расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве есть длина отрезка между двумя точками. Его можно вычислить из декартовых координат точек с помощью теоремы Пифагора , поэтому иногда его называют расстоянием Пифагора . Эти имена пришли от древнегреческих математиков Евклида и Пифагора , хотя Евклид не представлял расстояния в виде чисел, и связь теоремы Пифагора с вычислением расстояний не проводилась до 18 века.

Расстояние между двумя объектами, которые не являются точками, обычно определяется как наименьшее расстояние между парами точек от двух объектов. Формулы известны для вычисления расстояний между различными типами объектов, например расстояния от точки до линии . В высшей математике понятие расстояния было обобщено на абстрактные метрические пространства , и изучались другие расстояния, кроме евклидова. В некоторых приложениях статистики и оптимизации вместо самого расстояния используется квадрат евклидова расстояния.

Формулы расстояния

Одно измерение

Расстояние между любыми двумя точками на реальной прямой - это абсолютная величина числовой разности их координат. Таким образом, если и являются двумя точками на реальной прямой, то расстояние между ними определяется по формуле: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

{\ Displaystyle d (p, q) = | pq |.}

Более сложная формула, дающая то же значение, но более легко обобщающая на более высокие измерения:

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(pq) ^ {2}}}.}

В этой формуле возведение в квадрат и извлечение квадратного корня оставляет любое положительное число неизменным, но заменяет любое отрицательное число его абсолютным значением.

Два измерения

На евклидовой плоскости пусть точка имеет декартовы координаты, а точка имеет координаты . Тогда расстояние между и определяется по формуле: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle (q_ {1}, q_ {2})}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(q_ {1} -p_ {1}) ^ {2} + (q_ {2} -p_ {2}) ^ {2}}}.}

Это можно увидеть, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику с горизонтальной и вертикальной сторонами, имеющему отрезок прямой от до в качестве гипотенузы. Две квадратные формулы внутри квадратного корня дают площади квадратов на горизонтальной и вертикальной сторонах, а внешний квадратный корень преобразует площадь квадрата на гипотенузе в длину гипотенузы.

{\ displaystyle p}

{\ displaystyle q}

Также возможно вычислить расстояние для точек, заданных полярными координатами . Если полярные координаты are и полярные координаты are , то расстояние до них определяется законом косинусов : ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle (г, \ тета)}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle (s, \ psi)}$

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {r ^ {2} + s ^ {2} -2rs \ cos (\ theta - \ psi)}}.}

Когда и выражаются как комплексные числа на комплексной плоскости , можно использовать ту же формулу для одномерных точек, выраженных как действительные числа: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

{\ Displaystyle d (p, q) = | pq |.}

Высшие измерения

Вывод формулы -мерного евклидова расстояния путем многократного применения теоремы Пифагора

{\ displaystyle n}

В трех измерениях для точек, заданных их декартовыми координатами, расстояние равно

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2} + (p_ {3 } -q_ {3}) ^ {2}}}.}

В общем, для точек, заданных декартовыми координатами в -мерном евклидовом пространстве, расстояние равно

{\ displaystyle n}

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2} + \ cdots + ( p_ {i} -q_ {i}) ^ {2} + \ cdots + (p_ {n} -q_ {n}) ^ {2}}}.}.

Объекты, отличные от точек

Для пар объектов, которые не являются обеими точками, расстояние проще всего определить как наименьшее расстояние между любыми двумя точками от двух объектов, хотя также обычно используются более сложные обобщения от точек к множествам, такие как расстояние Хаусдорфа . Формулы для вычисления расстояний между разными типами объектов включают:

Расстояние от точки до прямой , в евклидовой плоскости
Расстояние от точки до плоскости в трехмерном евклидовом пространстве
Расстояние между двумя линиями в трехмерном евклидовом пространстве

Характеристики

Евклидово расстояние является прототипом расстояния в метрическом пространстве и подчиняется всем определяющим свойствам метрического пространства:

Это симметричное , а это означает , что для всех точек и , . То есть (в отличие от расстояния по дороге с улицами с односторонним движением) расстояние между двумя точками не зависит от того, какая из двух точек является началом, а какая - пунктом назначения. ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ Displaystyle d (p, q) = d (q, p)}$
Он положительный , что означает, что расстояние между каждыми двумя разными точками является положительным числом , а расстояние от любой точки до самой себя равно нулю.
Он подчиняется неравенству треугольника : на каждые три очка , и , . Интуитивно понятно, что путешествие из пункта в другое не может быть короче, чем путешествие напрямую из пункта назначения . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ Displaystyle d (p, q) + d (q, r) \ geq d (p, r)}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle r}$

Еще одно свойство, неравенство Птолемея , касается евклидовых расстояний между четырьмя точками , , , и . В нем говорится, что ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle s}$

{\ displaystyle d (p, q) \ cdot d (r, s) + d (q, r) \ cdot d (p, s) \ geq d (p, r) \ cdot d (q, s).}

Для точек на плоскости это можно перефразировать как утверждение, что для каждого четырехугольника произведения противоположных сторон четырехугольника в сумме составляют, по крайней мере, такое же большое число, как произведение его диагоналей. Однако неравенство Птолемея в более общем смысле применяется к точкам в евклидовых пространствах любой размерности, независимо от того, как они расположены. Геометрия евклидова расстояния изучает свойства евклидова расстояния, такие как неравенство Птолемея, и их применение при проверке того, исходят ли заданные наборы расстояний из точек в евклидовом пространстве.

Квадратное евклидово расстояние

Конуса , то график евклидова расстояния от начала координат в плоскости

Параболоида , график квадрат евклидова расстояния от начала координат

Во многих приложениях, и в частности при сравнении расстояний, может быть удобнее опускать конечный квадратный корень при вычислении евклидовых расстояний. Значение, полученное в результате этого упущения, является квадратом евклидова расстояния и называется квадратом евклидова расстояния . В виде уравнения это можно выразить в виде суммы квадратов :

{\ displaystyle d ^ {2} (p, q) = (p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2} + \ cdots + ( p_ {i} -q_ {i}) ^ {2} + \ cdots + (p_ {n} -q_ {n}) ^ {2}.}

Помимо применения для сравнения расстояний, квадрат евклидова расстояния имеет центральное значение в статистике , где он используется в методе наименьших квадратов , стандартном методе подбора статистических оценок к данным путем минимизации среднего квадрата расстояний между наблюдаемыми и оценочными значениями. . Сложение квадратов расстояний друг к другу, как это делается при аппроксимации методом наименьших квадратов, соответствует операции с (неквадратными) расстояниями, называемой сложением Пифагора . В кластерном анализе квадраты расстояний можно использовать для усиления эффекта больших расстояний.

Квадрат евклидова расстояния не образует метрическое пространство, так как не удовлетворяет неравенству треугольника. Однако это гладкая, строго выпуклая функция двух точек, в отличие от расстояния, которое не является гладким (около пар равных точек) и выпуклым, но не строго выпуклым. Таким образом, квадрат расстояния является предпочтительным в теории оптимизации , поскольку он позволяет использовать выпуклый анализ . Поскольку возведение в квадрат является монотонной функцией неотрицательных значений, минимизация квадрата расстояния эквивалентна минимизации евклидова расстояния, поэтому задача оптимизации эквивалентна с точки зрения любого из них, но ее легче решить, используя квадрат расстояния.

Совокупность всех квадратов расстояний между парами точек из конечного набора может храниться в матрице евклидовых расстояний и использоваться в этой форме в геометрии расстояний.

Обобщения

В более продвинутых областях математики, когда евклидово пространство рассматривается как векторное пространство , его расстояние связано с нормой, называемой евклидовой нормой , определяемой как расстояние каждого вектора от начала координат . Одно из важных свойств этой нормы по сравнению с другими нормами состоит в том, что она остается неизменной при произвольных поворотах пространства вокруг начала координат. По теореме Дворецкого каждое конечномерное нормированное векторное пространство имеет многомерное подпространство, на котором норма приблизительно евклидова; евклидова норма - единственная норма с этим свойством. Она может быть распространена на бесконечномерные векторные пространства как L ² нормы или L ² расстояние.

Другие распространенные расстояния в евклидовых пространствах и векторных пространствах низкой размерности включают:

Расстояние Чебышева , которое измеряет расстояние с учетом только наиболее значимого измерения.
Манхэттенское расстояние , которое измеряет расстояние только по направлениям, выровненным по осям.
Расстояние Минковского - обобщение, объединяющее евклидово расстояние, манхэттенское расстояние и расстояние Чебышева.

Для точек на поверхности в трех измерениях евклидово расстояние следует отличать от геодезического расстояния, длины кратчайшей кривой, которая принадлежит поверхности. В частности, для измерения расстояний по большому кругу на Земле или других сферических или почти сферических поверхностях, расстояния, которые использовались, включают расстояние гаверсинуса, дающее

расстояния по большому кругу между двумя точками на сфере от их долготы и широты, а также формулы Винсенти. также известное как «расстояние Винсента» для обозначения расстояния на сфероиде.

История

Евклидово расстояние - это расстояние в евклидовом пространстве ; обе концепции названы в честь древнегреческого математика Евклида , элементы которого стали стандартным учебником по геометрии на многие века. Концепции длины и расстояния широко распространены в разных культурах, их можно отнести к самым ранним сохранившимся «протолитографическим» бюрократическим документам из Шумера в четвертом тысячелетии до нашей эры (задолго до Евклида), и было выдвинуто предположение, что они развиваются у детей раньше, чем соответствующие концепции скорости. и время. Но понятие расстояния, как числа, определяемого двумя точками, на самом деле не встречается в « Элементах »

Евклида . Вместо этого Евклид приближается к этой концепции неявно, через конгруэнтность отрезков прямой, через сравнение длин отрезков и через концепцию пропорциональности .

Теорема Пифагора также древний, но это может занять только его центральную роль в измерении расстояний после изобретения декартовых координат по Рене Декарт в 1637 году формула для расстояния сама была впервые опубликована в 1731 Клеро . Из-за этой формулы евклидово расстояние также иногда называют пифагоровым расстоянием. Хотя точные измерения больших расстояний на поверхности Земли, которые не являются евклидовыми, снова изучались во многих культурах с древних времен (см. Историю геодезии ), идея о том, что евклидово расстояние может быть не единственным способом измерения расстояний между точками в математические пространства появились еще позже, с формулировкой неевклидовой геометрии XIX века . Определение евклидовой нормы и евклидова расстояния для геометрий более трех измерений также впервые появилось в 19 веке в работах Огюстена-Луи Коши .

Смотрите также

Евклидова топология - естественная топология, индуцированная евклидовой метрикой

Languages

In other projects