Конус - Cone


Из Википедии, свободной энциклопедии
Прямой круговой конус и наклонный круговой конус
Двойной конус (не показан бесконечно расширенный)

Конуса представляет собой трехмерную геометрическую форму , что сужается плавно от плоского основания (часто, хотя и не обязательно, круговой) до точки , называемой вершиной или вершиной .

Конус образован множеством сегментов линии , полупрямыми или линий , соединяющих общую точку, вершину, ко всем точкам на базе , которая находится в плоскости , которая не содержит вершину. В зависимости от автора, основание может быть ограниченно , чтобы быть кругом , любая одномерная квадратичная форма в плоскости, любая замкнутой одномерную фигуру , или любая из указанных выше плюс всех прилагаемых точек. Если приложенные точки включены в базе, конус является твердым объектом ; в противном случае это двумерный объект в трехмерном пространстве. В случае твердого объекта, граница , образованная этими линиями или частичных линий называется боковой поверхности ; если боковая поверхность не ограничена, она является конической поверхностью .

В случае отрезков, конус не выходит за пределы базы, в то время как в случае полупрямыми, она простирается бесконечно далеко. В случае линий, конус простирается бесконечно далеко в обе стороны от вершины, и в этом случае иногда называют двойным конусом . Либо половина двойного конуса на одной стороне вершины называется ПОКРОВНО .

Ось конуса представляет собой прямую линию (если таковые имеются), проходя через вершину, о которой основание (и весь конус) имеет круговую симметрию .

В общем использовании в элементарной геометрии , конусы предполагаются прямой круговой , где круглое означает , что основание представляет собой круг , а правая означает , что ось проходит через центр основания под прямым углом к его плоскости. Если конус является прямым круговым пересечением плоскости с боковой поверхностью является коническим сечением . В целом, однако, основание может быть любой формы и вершина может лежать в любом месте (хотя это, как правило , предполагается , что базовая ограничена и , следовательно , имеет конечную площадь , и что вершина лежит вне плоскости основания). Контрастируют с правыми конусами косыми конуса, в которой ось проходит через центр основания не перпендикулярна.

Конус с многоугольной базой называется пирамидой .

В зависимости от контекста, «конус» может также означать , в частности , на выпуклый конус или проективный конус .

Конуса также могут быть обобщены на более высокие измерения .

Дополнительная терминология

Периметр основания конуса называется «директрисы», и каждый из отрезков между директрисы и вершиной является «образующая» или «образующая» боковой поверхности. (Для связи между этим смысле термина «директрисы» и директрисы конического сечения, см шары данделена .)

«Базовый радиус» кругового конуса является радиус его основания; часто это просто называется радиусом конуса. Диафрагма прямого кругового конуса максимальный угол между двумя линиями образующей; если образующая составляет угол θ к оси, диафрагма 2 θ .

Иллюстрация из Проблемата Mathematica ... опубликованные в Acta Eruditorum , 1734

Конус с областью , включая ее вершины отрезаны плоскостью называется « усеченный конус»; если усечение плоскость параллельна основанию конуса, она называется усеченной . «Эллиптическая конус» представляет собой конус с эллиптическим основанием. «Обобщенный конус» является поверхностью , созданное множеством линий , проходящих через вершину и каждую точку на границе (также см визуальной оболочки ).

Измерения и уравнение

объем

Объем любого коническая твердого вещества составляет одну треть от произведения площади основания и высоты

В современной математике, эта формула может быть легко вычислена , используя исчисление - это, до масштабирования, интеграл без использования исчисления, формула может быть доказана путем сравнения конуса с пирамидой и применяя принцип Кавальери - в частности, сравнивая конус к (вертикально масштабируется) правая квадратная пирамида, которая образует одну треть куба. Эта формула не может быть доказана без использования таких бесконечно малых аргументов - в отличии от 2-мерных формул для многогранной области, хотя похожи на площадь круга - и , следовательно , признал менее строгие доказательства до появления исчисления, с древними греками , используя метод истощение . Это, по существу, содержание третьей проблемы Гильберта - точнее, не все многогранные пирамиды ножниц конгруэнтны (можно разрезать на конечные части и переставить в другую), и , таким образом , объем не может быть вычислен чисто с помощью аргумента разложения.

Центр массы

Центр масс коники твердого вещества с равномерной плотностью лежит одной четверти пути от центра основания до вершины, на прямой линии , соединяющей два.

Прямой круговой конус

объем

Для кругового конуса с радиусом г и высотой ч , основание представляет собой круг из области , и поэтому формула для объема становится

Наклонная высота

Наклонная высота в прямом круговом конусе расстояние от любой точки на окружности ее основание к вершине через отрезок линии вдоль поверхности конуса. Она задается , где это радиус основания и высота. Это может быть доказано теоремой Пифагора .

Площадь поверхности

Боковая поверхность площадь прямого кругового конуса , где радиус окружности в нижней части конуса и является наклонной высотой конуса. Площадь поверхности нижней окружности конуса такой же , как и для любого круга, . Таким образом, общая площадь поверхности прямого кругового конуса может быть выражена как каждая из следующих действий :

  • Радиус и высота
(площадь основания плюс площади боковой поверхности; этот термин является наклонной высотой)
где радиус и высота.
  • Радиус и наклонная высота
где радиус и высота наклонной.
  • Окружность и наклонная высота
где это окружность , и это наклонная высота.
  • Угол Apex и высота
где находится угол при вершине и высота.

круговой сектор

Круговой сектор , полученный путем разворачивания поверхности одного покрова конуса имеет:

  • радиус R
  • длина дуги L
  • центральный угол φ в радианах

форма уравнения

Правый твердой круговой конус с высотой и отверстием , ось которого является осью координат и вершиной которого является происхождение, описывается параметрически

где пробегают , и , соответственно.

В неявном виде, то же самое твердое вещество определяются неравенства

где

В более общем смысле , прямой круговой конус с вершиной в начале координат, оси , параллельной вектору , и диафрагмы , дается неявной вектор уравнения где

  или же  

где и обозначает скалярное произведение .

Эллиптический конус

В декартовой системе координат , эллиптический конус представляет собой геометрическое место уравнения вида

Это аффинное изображение в правой круговой блок конуса с уравнением Из того, что аффинное образ конического сечения представляет собой коническое сечение одного и того же типа (эллипс, парабола, ...) один получает:

  • Любая плоскость сечения эллиптического конуса является коническим сечением.

Очевидно, что любой прямой круговой конус содержит круги. Это также верно, но менее очевидно, в общем случае (см круглого сечения ).

Проективная геометрия

В проективной геометрии , А цилиндр просто конус, вершина которого на бесконечности, что соответствует визуально цилиндру в перспективе , появляющейся конус по направлению к небу.

В проективной геометрии , А цилиндр просто конус, вершина которого на бесконечности. Интуитивно, если один держит базу фиксированной и принимает предел , как вершина стремится к бесконечности, то получит цилиндр, угол наклона бокового увеличения , как арктангенс , в пределе , образующей прямого угла . Это полезно в определении вырожденного коника , который потребует изучений цилиндрических коников .

Более высокие размеры

Определение конуса может быть увеличено до более высоких размеров (см выпуклых конусов ). В этом случае говорят , что выпуклое множество С в режиме реального векторного пространства R п является конусом (с вершиной в начале координат) , если для каждого вектора х в С и каждого неотрицательного действительного числа в вектор ах в C . В связи с этим, аналоги круговых конусов, обычно не специальные; на самом деле один часто интересует многогранных конусов .

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

  • Проттера, Мюррей Н .; Морри, младший, Чарльз Б. (1970), Колледж Исчисление с аналитической геометрии (2 - е изд.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042

внешняя ссылка