Конус - Cone

Правый круговой конус и косой круговой конус

Двойной конус (бесконечно вытянутый не показан)

3D модель конуса

Конус представляет собой трехмерная геометрическая форма , что сужается плавно от плоского основания (часто, хотя и не обязательно, кругового) до точки называется вершина или вершина .

Конус образован набором отрезков , полуосей или линий, соединяющих общую точку, вершину, со всеми точками на основании, которое находится в плоскости , не содержащей вершины. В зависимости от автора, основание может быть ограничено кругом , любой одномерной квадратичной формой на плоскости, любой замкнутой одномерной фигурой или любым из вышеперечисленных, а также всеми замкнутыми точками. Если замкнутые точки включены в основание, конус является твердым объектом ; в противном случае это двухмерный объект в трехмерном пространстве. В случае твердого объекта граница, образованная этими линиями или частичными линиями, называется боковой поверхностью ; если боковая поверхность не ограничена, это коническая поверхность .

В случае отрезков прямой конус не выходит за пределы основания, а в случае полупрямой - бесконечно далеко. В случае линий конус простирается бесконечно далеко в обоих направлениях от вершины, и в этом случае его иногда называют двойным конусом.. Любая половина двойного конуса на одной стороне вершины называется покровом .

Ось конуса представляет собой прямую линию (если таковые имеются), проходя через вершину, о которой основание (и весь конус) имеет круговую симметрию .

В обычном использовании в элементарной геометрии конусы считаются правильными круговыми , где круг означает, что основание является кругом, а право означает, что ось проходит через центр основания под прямым углом к его плоскости. Если конус прямоугольный, то пересечение плоскости с боковой поверхностью является коническим сечением . В общем, однако, основание может иметь любую форму, а вершина может лежать где угодно (хотя обычно предполагается, что основание ограничено и, следовательно, имеет конечную площадь , а вершина лежит вне плоскости основания). В отличие от правых конусов, это косые конусы, в которых ось проходит через центр основания неперпендикулярно.

Конус с многоугольным основанием называется пирамидой .

В зависимости от контекста, «конус» может также означать, в частности, выпуклый конус или проективный конус .

Конусы также могут быть обобщены на более высокие измерения .

Дополнительная терминология

Периметр основания конуса называется «направляющей», а каждый из отрезков прямой между направляющей и вершиной является «образующей» или «образующей» боковой поверхности. (О связи между этим смыслом термина «директриса» и директрисой конического сечения см. Сферы Данделина .)

«Радиус основания» кругового конуса - это радиус его основания; часто это просто называют радиусом конуса. Диафрагма прямого кругового конуса максимальный угол между двумя линиями образующей; если образующая составляет угол θ к оси, апертура равна 2 θ .

Иллюстрация из Problemata mathematica ... опубликована в Acta Eruditorum , 1734 г.

Конус с отрезанной плоскостью участком, включая его вершину, называется « усеченным конусом»; если плоскость усечения параллельна основанию конуса, она называется усеченной . «Эллиптический конус» - это конус с эллиптическим основанием. «Обобщенный конус» - это поверхность, созданная набором линий, проходящих через вершину и каждую точку на границе (также см. Визуальную оболочку ).

Измерения и уравнения

Объем

Объем любого коническая твердого вещества составляет одну треть от произведения площади основания и высоты${\ displaystyle V}$${\ displaystyle A_ {B}}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} A_ {B} h.}$

В современной математике эту формулу можно легко вычислить с помощью исчисления - это интеграл с точностью до масштабирования Без использования исчисления формулу можно доказать, сравнив конус с пирамидой и применив принцип Кавальери, в частности, сравнив конус с пирамидой. (масштабированная по вертикали) правая квадратная пирамида, составляющая треть куба. Эта формула не может быть доказана без использования таких бесконечно малых аргументов - в отличие от двумерных формул для площади многогранника, хотя и аналогичной площади круга - и, следовательно, допускала менее строгие доказательства до появления исчисления, когда древние греки использовали метод истощение . Это, по сути, содержание третьей проблемы Гильберта - точнее, не все многогранные пирамиды являются конгруэнтными ножницами (могут быть разрезаны на конечные части и переставлены в другие), и, таким образом, объем не может быть вычислен только с помощью аргумента разложения -. ${\ displaystyle \ int x ^ {2} dx = {\ tfrac {1} {3}} x ^ {3}.}$

Центр массы

Центр масс коники твердого вещества с равномерной плотностью лежит одной четверти пути от центра основания до вершины, на прямой линии , соединяющей два.

Правый круговой конус

Объем

Для круглого конуса с радиусом r и высотой h основание представляет собой круг площади, поэтому формула для объема принимает вид ${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h.}$

Наклонная высота

Наклонная высота правого кругового конуса - это расстояние от любой точки на окружности его основания до вершины через линейный сегмент на поверхности конуса. Он определяется выражением , где - радиус основания, а - высота. Это можно доказать с помощью теоремы Пифагора . ${\ displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle h}$

Площадь поверхности

Боковая поверхность площадь прямого кругового конуса , где радиус окружности в нижней части конуса и является наклонной высотой конуса. Площадь поверхности нижней окружности конуса такой же , как и для любого круга, . Таким образом, общая площадь правильного кругового конуса может быть выражена следующим образом: ${\ displaystyle LSA = \ pi rl}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$

• Радиус и высота

${\ displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi r {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

(площадь основания плюс площадь боковой поверхности; термин - наклонная высота)${\ displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

${\ displaystyle \ pi r \ left (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right)}$

где - радиус, а - высота.${\ displaystyle r}$${\ displaystyle h}$

• Радиус и наклонная высота

${\ displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi rl}$

${\ Displaystyle \ пи р (г + л)}$

где - радиус, а - наклонная высота.${\ displaystyle r}$${\ displaystyle l}$

• Окружность и наклонная высота

${\ displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {4 \ pi}} + {\ frac {cl} {2}}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {c} {2}} \ right) \ left ({\ frac {c} {2 \ pi}} + l \ right)}$

где - окружность, - наклонная высота.${\ displaystyle c}$${\ displaystyle l}$

• Угол и высота при вершине

${\ displaystyle \ pi h ^ {2} \ tan {\ frac {\ Theta} {2}} \ left (\ tan {\ frac {\ Theta} {2}} + \ sec {\ frac {\ Theta} { 2}} \ right)}$

где - угол при вершине, а - высота.${\ Displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle h}$

Круговой сектор

Круговой сектор , полученный путем разворачивания поверхности одного покрова конуса имеет:

• радиус R

${\ displaystyle R = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

• длина дуги L

${\ Displaystyle L = с = 2 \ пи г}$

• центральный угол φ в радианах

${\ displaystyle \ phi = {\ frac {L} {R}} = {\ frac {2 \ pi r} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}}$

Форма уравнения

Поверхность конуса можно параметризовать как

${\ Displaystyle е (\ тета, ч) = (ч \ соз \ тета, ч \ грех \ тета, ч),}$

где - угол «вокруг» конуса, а - «высота» вдоль конуса. ${\ displaystyle \ theta \ in [0,2 \ pi)}$${\ displaystyle h \ in \ mathbb {R}}$

Правый сплошной круговой конус с высотой и отверстием , ось которого является координатной осью, а вершина - начало координат, параметрически описывается как ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle 2 \ theta}$${\ displaystyle z}$

${\ Displaystyle F (s, t, и) = \ влево (и \ загар s \ соз т, и \ загар s \ грех т, и \ вправо)}$

где пробегают , и , соответственно. ${\ displaystyle s, t, u}$${\ displaystyle [0, \ theta)}$${\ displaystyle [0,2 \ pi)}$${\ displaystyle [0, h]}$

В неявной форме то же твердое тело определяется неравенствами

${\ Displaystyle \ {F (Икс, Y, Z) \ Leq 0, Z \ GEQ 0, Z \ Leq H \},}$

куда

${\ Displaystyle F (Икс, Y, Z) = (Икс ^ {2} + Y ^ {2}) (\ соз \ theta) ^ {2} -z ^ {2} (\ sin \ theta) ^ {2 }. \,}$

В более общем смысле, прямой круговой конус с вершиной в начале координат, осью, параллельной вектору , и апертурой задается неявным векторным уравнением, где ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle 2 \ theta}$${\ Displaystyle F (u) = 0}$

${\ Displaystyle F (U) = (и \ cdot d) ^ {2} - (d \ cdot d) (и \ cdot u) (\ соз \ theta) ^ {2}}$   или   ${\ Displaystyle F (и) = и \ cdot d- | d || и | \ соз \ тета}$

где , и обозначает скалярное произведение . ${\ Displaystyle и = (х, у, г)}$${\ displaystyle u \ cdot d}$

Эллиптический конус

Квадратичная поверхность эллиптического конуса

В системе декартовых координат , эллиптический конус представляет собой геометрическое место уравнения вида

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = z ^ {2}.}$

Это аффинный образ прямоугольного единичного конуса с уравнением. Из того факта, что аффинный образ конического сечения является коническим сечением того же типа (эллипс, парабола, ...), получаем: ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \.}$

• Любое плоское сечение эллиптического конуса является коническим сечением.

Очевидно, что любой правильный круговой конус содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. Круглый раздел ).

Пересечение эллиптического конуса с концентрической сферой представляет собой сферическую конику .

Проективная геометрия

В проективной геометрии , А цилиндр просто конус, вершина которого на бесконечности, что соответствует визуально цилиндру в перспективе , появляющейся конус по направлению к небу.

В проективной геометрии , А цилиндр просто конус, вершина которого на бесконечности. Интуитивно, если оставить основание фиксированным и принять предел, когда вершина уходит в бесконечность, можно получить цилиндр, угол стороны которого увеличивается как arctan , в пределе, образующем прямой угол . Это полезно при определении вырожденных коник , которые требуют рассмотрения цилиндрических коник .

Согласно Г.Б. Холстеду , конус генерируется аналогично конике Штейнера только с проективным и осевым пучками (не в перспективе), а не с проективными диапазонами, используемыми для коники Штейнера:

«Если два копунктуальных непрямых осевых карандаша являются проекционными, но не перспективными, точки пересечения коррелированных плоскостей образуют« коническую поверхность второго порядка »или« конус »».

Высшие измерения

Определение конуса может быть расширено до более высоких измерений (см. Выпуклые конусы ). В этом случае говорят , что выпуклое множество С в режиме реального векторного пространства R ^п является конусом (с вершиной в начале координат) , если для каждого вектора х в С и каждого неотрицательного действительного числа а , вектор ах в C . В этом контексте аналоги круглых конусов обычно не являются чем-то особенным; на самом деле многие интересуются многогранными конусами .

Смотрите также

• Биконусы
• Конус (линейная алгебра)
• Конус (топология)
• Цилиндр (геометрия)
• Демокрит
• Обобщенная коническая
• Гиперболоид
• Список фигур
• Пирометрический конус
• Квадрик
• Вращение осей
• Линейчатая поверхность
• Перевод осей

Примечания

использованная литература

• Protter, Murray H .; Морри, младший, Чарльз Б. (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , LCCN  76087042

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Конус» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Двойной конус» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенный конус» . MathWorld .
• Интерактивный вращающийся конус от Maths Is Fun
• Конус для бумажной модели
• Площадь боковой поверхности косого конуса
• Cut a Cone Интерактивная демонстрация пересечения конуса с плоскостью.