Сплайн вейвлет - Spline wavelet

В математической теории о вейвлетов , сплайн вейвлет является вейвлет построен с использованием функции сплайна . Существуют разные типы сплайн-вейвлетов. Вейвлеты интерполяционного сплайна, представленные CK Chui и JZ Wang, основаны на определенной формуле интерполяции сплайна . Хотя эти вейвлеты ортогональны , у них нет компактных носителей . Существует определенный класс вейвлетов, в некотором смысле уникальных, построенных с помощью B-сплайнов и имеющих компактные носители. Несмотря на то, что эти вейвлеты не ортогональны, они обладают некоторыми особыми свойствами, которые сделали их довольно популярными. Терминология сплайн-вейвлет иногда используется для обозначения вейвлетов в этом классе сплайн-вейвлетов. Эти специальные вейвлеты также называются вейвлетами B-сплайнов и кардинальными вейвлетами B-сплайнов . Вейвлеты Батл-Лемари также являются вейвлетами, построенными с использованием сплайн-функций.

Кардинальные B-шлицы

Пусть n - фиксированное неотрицательное целое число . Пусть С ^п обозначим множество всех вещественных функций , определенных на множестве действительных чисел , таких , что каждая функция в наборе, а его первые п производные являются непрерывными всюду. Би-бесконечная последовательность . . . x ₋₂ , x ₋₁ , x ₀ , x ₁ , x ₂ ,. . . такое, что x _r < x _{r +1} для всех r и такой, что x _r стремится к ± ∞, когда r приближается к ± ∞, называется набором узлов. Сплайном порядка п с множеством узлов { х _г } является функцией S ( х ) в С ^п такое , что для каждого г , сужение S ( х ) на отрезке [ х _г , х _{г + 1} ) совпадает с многочленом с действительными коэффициентами степени не выше n по x .

Если расстояние x _{r +1} - x _r , где r - любое целое число, между последовательными узлами в наборе узлов является постоянным, сплайн называется кардинальным сплайном . Множество целых чисел Z = {. . ., -2, -1, 0, 1, 2,. . .} - стандартный выбор для набора узлов кардинального сплайна. Если не указано иное, обычно предполагается, что набор узлов - это набор целых чисел.

Кардинальный B-сплайн - это особый тип кардинального сплайна. Для любого натурального числа m кардинальный B-сплайн порядка m , обозначаемый N _m ( x ), определяется рекурсивно следующим образом.

${\ displaystyle N_ {1} (x) = {\ begin {cases} 1 & 0 \ leq x <1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

${\ Displaystyle N_ {m} (x) = \ int _ {0} ^ {1} N_ {m-1} (xt) dt}$ , для . ${\ displaystyle m> 1}$

Конкретные выражения для кардинальных B-сплайнов всех порядков до 5 и их графики приведены ниже в этой статье.

Свойства кардинальных B-сплайнов

Элементарные свойства

1. Поддержка из является отрезком . ${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ displaystyle [0, м]}$
2. Функция неотрицательна, то есть для . ${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ displaystyle N_ {m} (x)> 0}$${\ Displaystyle 0 <х <м}$
3. ${\ Displaystyle \ сумма _ {к = - \ infty} ^ {\ infty} N_ {m} (xk) = 1}$ для всех . ${\ displaystyle x}$
4. Кардинальные B-сплайнов заказов м и м-1 связаны идентичности: . ${\ Displaystyle N_ {m} (x) = {\ frac {x} {m-1}} N_ {m-1} (x) + {\ frac {mx} {m-1}} N_ {m-1 } (х-1)}$
5. Функция симметрична относительно , то есть . ${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ displaystyle x = {\ frac {m} {2}}}$${\ displaystyle N_ {m} \ left ({\ frac {m} {2}} - x \ right) = N_ {m} \ left ({\ frac {m} {2}} + x \ right)}$
6. Производная от дается выражением . ${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ Displaystyle N_ {m} ^ {\ prime} (x) = N_ {m-1} (x) -N_ {m-1} (x-1)}$
7. ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} N_ {m} (x) \, dx = 1}$

Двухмасштабное отношение

Кардинальный B-сплайн порядка m удовлетворяет следующему двухмасштабному соотношению:

${\ Displaystyle N_ {m} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {m} 2 ^ {- m + 1} {m \ choose k} N_ {m} (2x-k)}$ .

Рисс собственность

Кардинальный B-сплайн порядка m удовлетворяет следующему свойству, известному как свойство Рисса: существует два положительных действительных числа и такие, что для любой суммируемой с квадратом двусторонней последовательности и для любого x , ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ {c_ {k} \} _ {k = - \ infty} ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle A \ left \ Vert \ {c_ {k} \} \ right \ Vert ^ {2} \ leq \ left \ Vert \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {k} N_ {m} (xk) \ right \ Vert ^ {2} \ leq B \ left \ Vert \ {c_ {k} \} \ right \ Vert ^ {2}}$

где - норма в ℓ ² -пространстве. ${\ Displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert}$

Кардинальные B-шлицы малых заказов

Кардинальные B-сплайны определяются рекурсивно, начиная с B-сплайна порядка 1, а именно , который принимает значение 1 в интервале [0, 1) и 0 в другом месте. Для получения конкретных выражений для кардинальных B-сплайнов более высокого порядка, возможно, придется использовать системы компьютерной алгебры. Ниже приведены конкретные выражения для кардинальных B-сплайнов всех порядков до 6. Также представлены графики кардинальных B-сплайнов порядков до 4. На изображениях также показаны графики членов соответствующих двухмасштабных отношений. Две точки на каждом изображении указывают границы интервала, поддерживающего B-сплайн. ${\ Displaystyle N_ {1} (х)}$

Постоянный B-сплайн

B-сплайн первого порядка, а именно постоянный B-сплайн. Это определяется ${\ Displaystyle N_ {1} (х)}$

${\ displaystyle N_ {1} (x) = {\ begin {cases} 1 & 0 \ leq x <1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

Двухмасштабное соотношение для этого B-сплайна имеет вид

${\ Displaystyle N_ {1} (х) = N_ {1} (2x) + N_ {1} (2x-1)}$

Постоянный B-сплайн ${\ Displaystyle N_ {1} (х)}$

Линейный B-шлиц

B-сплайн 2-го порядка, а именно линейный B-сплайн. Это дается ${\ Displaystyle N_ {2} (х)}$

${\ displaystyle N_ {2} (x) = {\ begin {cases} x & 0 \ leq x <1 \\ - x + 2 & 1 \ leq x <2 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}} }$

Двухмасштабное соотношение для этого вейвлета:

${\ displaystyle N_ {2} (x) = {\ frac {1} {2}} N_ {2} (2x) + N_ {2} (2x-1) + {\ frac {1} {2}} N_ {2} (2х-2)}$

Линейный B-шлиц ${\ Displaystyle N_ {2} (х)}$

Квадратичный B-сплайн

B-сплайн 3-го порядка, а именно квадратичный B-сплайн. Это дается ${\ Displaystyle N_ {3} (х)}$

${\ displaystyle N_ {3} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {2}} x ^ {2} & 0 \ leq x <1 \\ - x ^ {2} + 3x- { \ frac {3} {2}} & 1 \ leq x <2 \\ {\ frac {1} {2}} x ^ {2} -3x + {\ frac {9} {2}} & 2 \ leq x <3 \\ 0 & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

Двухмасштабное соотношение для этого вейвлета:

${\ displaystyle N_ {3} (x) = {\ frac {1} {4}} N_ {3} (2x) + {\ frac {3} {4}} N_ {3} (2x-1) + { \ frac {3} {4}} N_ {3} (2x-2) + {\ frac {1} {4}} N_ {3} (2x-3)}$

Квадратичный B-сплайн ${\ Displaystyle N_ {3} (х)}$

Кубический B-сплайн

Кубический B-сплайн - это кардинальный B-сплайн порядка 4, обозначаемый . Он задается следующими выражениями: ${\ Displaystyle N_ {4} (х)}$

${\ displaystyle N_ {4} (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {6}} x ^ {3} & 0 \ leq x <1 \\ - {\ frac {1} {2} } x ^ {3} + 2x ^ {2} -2x + {\ frac {2} {3}} & 1 \ leq x <2 \\ {\ frac {1} {2}} x ^ {3} -4x ^ {2} + 10x - {\ frac {22} {3}} & 2 \ leq x <3 \\ - {\ frac {1} {6}} x ^ {3} + 2x ^ {2} -8x + {\ frac {32} {3}} & 3 \ leq x <4 \\ 0 & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

Двухмасштабное соотношение для кубического B-сплайна имеет вид

${\ displaystyle N_ {4} (x) = {\ frac {1} {8}} N_ {4} (2x) + {\ frac {1} {2}} N_ {4} (2x-1) + { \ frac {3} {4}} N_ {4} (2x-2) + {\ frac {1} {2}} N_ {4} (2x-3) + {\ frac {1} {8}} N_ {4} (2х-4)}$

Кубический B-сплайн ${\ Displaystyle N_ {4} (х)}$

Примечание : условные обозначения желтого графика должны быть ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} N_ {4} (2x-4)}$

Биквадратичный B-сплайн

Биквадратичный B-сплайн - это кардинальный B-сплайн порядка 5, который обозначается через . Это дается ${\ Displaystyle N_ {5} (х)}$

${\ displaystyle N_ {5} (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {24}} x ^ {4} & 0 \ leq x <1 \\ - {\ frac {1} {6} } x ^ {4} + {\ frac {5} {6}} x ^ {3} - {\ frac {5} {4}} x ^ {2} + {\ frac {5} {6}} x - {\ frac {5} {24}} & 1 \ leq x <2 \\ {\ frac {1} {4}} x ^ {4} - {\ frac {5} {2}} x ^ {3} + {\ frac {35} {4}} x ^ {2} - {\ frac {25} {2}} x + {\ frac {155} {24}} & 2 \ leq x <3 \\ - {\ frac {1} {6}} x ^ {4} + {\ frac {5} {2}} x ^ {3} - {\ frac {55} {4}} x ^ {2} + {\ frac {65 } {2}} x - {\ frac {655} {24}} & 3 \ leq x <4 \\ {\ frac {1} {24}} x ^ {4} - {\ frac {5} {6} } x ^ {3} + {\ frac {25} {4}} x ^ {2} - {\ frac {125} {6}} x + {\ frac {625} {24}} & 4 \ leq x <5 \\ 0 & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

Двухмасштабное соотношение:

${\ displaystyle N_ {5} (x) = {\ frac {1} {16}} N_ {5} (2x) + {\ frac {5} {16}} N_ {5} (2x-1) + { \ frac {10} {16}} N_ {5} (2x-2) + {\ frac {10} {16}} N_ {5} (2x-3) + {\ frac {5} {16}} N_ {5} (2x-4) + {\ frac {1} {16}} N_ {5} (2x-5)}$

Квинтик B-сплайн

Пятый B-сплайн - это кардинальный B-сплайн порядка 6, который обозначается через . Это дается ${\ Displaystyle N_ {6} (х)}$

${\ displaystyle N_ {6} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {120}} x ^ {5} & 0 \ leq x <1 \\ - {\ frac {1} {24} } x ^ {5} + {\ frac {1} {4}} x ^ {4} - {\ frac {1} {2}} x ^ {3} + {\ frac {1} {2}} x ^ {2} - {\ frac {1} {4}} x + {\ frac {1} {20}} & 1 \ leq x <2 \\ {\ frac {1} {12}} x ^ {5} - x ^ {4} + {\ frac {9} {2}} x ^ {3} - {\ frac {19} {2}} x ^ {2} + {\ frac {39} {4}} x- {\ frac {79} {20}} & 2 \ leq x <3 \\ - {\ frac {1} {12}} x ^ {5} + {\ frac {3} {2}} x ^ {4} - {\ frac {21} {2}} x ^ {3} + {\ frac {71} {2}} x ^ {2} - {\ frac {231} {4}} x + {\ frac {731} {20}} & 3 \ leq x <4 \\ {\ frac {1} {24}} x ^ {5} -x ^ {4} + {\ frac {19} {2}} x ^ {3} - {\ frac {89} {2}} x ^ {2} + {\ frac {409} {4}} x - {\ frac {1829} {20}} & 4 \ leq x <5 \\ - {\ frac {1} {120}} x ^ {5} + {\ frac {1} {4}} x ^ {4} -3x ^ {3} + 18x ^ {2} -54x + {\ frac {324} {5 }} & 5 \ leq x <6 \\ 0 & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

Анализ с несколькими разрешениями, генерируемый кардинальными B-сплайнами

Кардинальный B-сплайн порядка m генерирует анализ с несколькими разрешениями . В самом деле, из элементарных свойств этих функций , изложенных выше, следует , что функция является интегрируемым квадратом и является элементом пространства квадратично интегрируемых функций. Для настройки анализа с несколькими разрешениями используются следующие обозначения. ${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ Displaystyle L ^ {2} (R)}$

• Для любых целых чисел определите функцию . ${\ displaystyle k, j}$${\ Displaystyle N_ {m, kj} (x) = N_ {m} (2 ^ {k} xj)}$
• Для каждого целого числа , определяет подпространство в качестве закрытия из линейной оболочки множества . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle V_ {k}}$${\ Displaystyle L ^ {2} (R)}$${\ Displaystyle \ {N_ {м, kj} (х): j = \ cdots, -2, -1,0,1,2, \ cdots \}}$

То, что они определяют анализ с несколькими разрешениями, следует из следующего:

1. Пространства удовлетворяют свойство: . ${\ displaystyle V_ {k}}$${\ displaystyle \ cdots \ subset V _ {- 2} \ subset V _ {- 1} \ subset V_ {0} \ subset V_ {1} \ subset V_ {2} \ subset \ cdots}$
2. Замыкание объединения всех подпространств есть все пространство . ${\ Displaystyle L ^ {2} (R)}$${\ displaystyle V_ {k}}$${\ Displaystyle L ^ {2} (R)}$
3. Пересечение всех подпространств представляет собой одноэлементное множество, содержащее только нулевую функцию. ${\ displaystyle V_ {k}}$
4. Для каждого целого числа набор является безусловным основанием . (Последовательность { x _n } в банаховом пространстве X является безусловным базисом для пространства X, если каждая перестановка последовательности { x _n } также является базой для того же пространства X. ) ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ {N_ {м, kj} (х): j = \ cdots, -2, -1,0,1,2, \ cdots \}}$${\ displaystyle V_ {k}}$

Вейвлеты из кардинальных B-сплайнов

Пусть m - фиксированное натуральное число и - кардинальный B-сплайн порядка m . Функция в является одним из основного вейвлета по отношению к функции В-сплайне кардинальной , если замыкание в линейной оболочке множества (это замыкание обозначается ) является ортогональным дополнением из в . Нижний индекс m in используется, чтобы указать, что это базовый вейвлет относительно кардинального B-сплайна порядка m . Не существует уникального базового вейвлета относительно кардинального B-сплайна . Некоторые из них обсуждаются в следующих разделах. ${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ Displaystyle \ psi _ {м} (х)}$${\ Displaystyle L ^ {2} (R)}$${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ Displaystyle L ^ {2} (R)}$${\ displaystyle \ {\ psi _ {m} (xj): j = \ cdots, -2, -1,0,1,2, \ cdots \}}$${\ displaystyle W_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ Displaystyle \ psi _ {м} (х)}$${\ Displaystyle \ psi _ {м} (х)}$${\ Displaystyle \ psi _ {м} (х)}$${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$

Вейвлеты относительно кардинальных B-сплайнов с использованием основных интерполяционных сплайнов

Фундаментальный интерполяционный сплайн

Определения

Пусть m - фиксированное натуральное число и пусть - кардинальный B-сплайн порядка m . Для данной последовательности действительных чисел проблема поиска такой последовательности действительных чисел, что ${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ displaystyle \ {f_ {j}: j = \ cdots, -2, -1,0,1,2, \ cdots \}}$${\ displaystyle \ {c_ {m, k}: k = \ cdots, -2, -1,0,1,2, \ cdots \}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {m, k} N_ {m} \ left (j + {\ frac {m} {2}} - k \ right) = f_ { j}}$ для всех , ${\ displaystyle j}$

известна как проблема кардинальной сплайновой интерполяции . Частный случай этой проблемы, когда последовательность - это последовательность , где - дельта-функция Кронекера, определенная формулой ${\ displaystyle \ {f_ {j} \}}$${\ displaystyle \ delta _ {0j}}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

${\ displaystyle \ delta _ {ij} = {\ begin {cases} 1, & {\ text {if}} i = j \\ 0, & {\ text {if}} i \ neq j \ end {cases} }}$ ,

является основной задачей кардинальной интерполяции сплайнов . Решение задачи дает фундаментальный кардинальный интерполяционный сплайн порядка m . Этот сплайн обозначается и задается ${\ Displaystyle L_ {m} (х)}$

${\ displaystyle L_ {m} (x) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {m, k} N_ {m} \ left (x + {\ frac {m} {2}} -k \ right)}$

где последовательность теперь является решением следующей системы уравнений: ${\ displaystyle \ {c_ {m, k} \}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {m, k} N_ {m} \ left (j + {\ frac {m} {2}} - k \ right) = \ delta _ {0j}}$

Процедура нахождения основного кардинального интерполяционного сплайна

Основной кардинальный интерполяционный сплайн можно определить с помощью Z-преобразований . Используя следующие обозначения ${\ Displaystyle L_ {m} (х)}$

${\ Displaystyle A (z) = \ сумма _ {к = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta _ {k0} z ^ {k} = 1,}$

${\ displaystyle B_ {m} (z) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} N_ {m} \ left (k + {\ frac {m} {2}} \ right) z ^ { k},}$

${\ Displaystyle C_ {m} (z) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {m, k} z ^ {k},}$

из уравнений, определяющих последовательность , видно, что ${\ displaystyle c_ {m, k}}$

${\ Displaystyle В_ {м} (г) С_ {м} (г) = А (г)}$

откуда мы получаем

${\ Displaystyle C_ {m} (z) = {\ frac {1} {B_ {m} (z)}}}$ .

Это можно использовать для получения конкретных выражений для . ${\ displaystyle c_ {m, k}}$

Пример

В качестве конкретного примера дело может быть расследовано. Из определения следует, что ${\ Displaystyle L_ {4} (х)}$${\ displaystyle B_ {m} (z)}$

${\ displaystyle B_ {4} (x) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} N_ {4} (2 + k) z ^ {k}}$

Единственные ненулевые значения даются, а соответствующие значения равны ${\ Displaystyle N_ {4} (к + 2)}$${\ displaystyle k = -1,0,1}$

${\ displaystyle N_ {4} (1) = {\ frac {1} {6}}, N_ {4} (2) = {\ frac {4} {6}}, N_ {4} (3) = { \ frac {1} {6}}.}$

Таким образом сводится к ${\ Displaystyle B_ {4} (г)}$

${\ displaystyle B_ {4} (z) = {\ frac {1} {6}} z ^ {- 1} + {\ frac {4} {6}} z ^ {0} + {\ frac {1} {6}} z ^ {1} = {\ frac {1 + 4z + z ^ {2}} {6z}}}$

Это дает следующее выражение для . ${\ Displaystyle C_ {4} (г)}$

${\ displaystyle C_ {4} (z) = {\ frac {6z} {1 + 4z + z ^ {2}}}}$

Разделив это выражение на частичные дроби и разложив каждый член по степеням z в кольцевой области, можно вычислить значения. Затем эти значения подставляются в выражение для получения ${\ displaystyle c_ {4, k}}$${\ Displaystyle L_ {4} (х)}$

${\ displaystyle L_ {4} (x) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ sqrt {3}} (2 - {\ sqrt {3} }) ^ {| k |} N_ {4} (x + 2-k)}$

Вейвлет с использованием основного интерполяционного сплайна

Для положительного целого числа m функция, определенная формулой ${\ Displaystyle \ psi _ {м} (х)}$

${\ displaystyle \ psi _ {I, m} (x) = {\ frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}}} L_ {2m} (2x-1)}$

является основным вейвлетом относительно кардинального B-сплайна порядка . Нижний индекс I в используется, чтобы указать, что он основан на формуле интерполяционного сплайна. Этот базовый вейвлет не поддерживается компактно. ${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ displaystyle \ psi _ {я, м}}$

Пример

Вейвлет порядка 2, использующий интерполяционный сплайн, имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {I, 2} (x) = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} L_ {4} (2x-1)}$

Выражение для now дает следующую формулу: ${\ Displaystyle L_ {4} (х)}$

${\ displaystyle \ psi _ {I, 2} (x) = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ sqrt {3}} (2 - {\ sqrt {3}}) ^ {| k |} N_ {4} (2x + 1-k)}$

Теперь, используя выражение для производной в терминах функции можно положить в следующем виде: ${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ Displaystyle N_ {м-1} (х)}$${\ Displaystyle \ psi _ {2} (х)}$

${\ displaystyle \ psi _ {I, 2} (x) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} 4 {\ sqrt {3}} (2- { \ sqrt {3}}) ^ {| k |} {\ Big (} (N_ {2} (2x + k-1) -2N_ {2} (2x + k-2) + N_ {2} (2x + k-3) {\ Big)}}$

Следующая кусочно-линейная функция является приближением к, полученным путем суммирования членов, соответствующих в выражении бесконечного ряда для . ${\ Displaystyle \ psi _ {2} (х)}$${\ Displaystyle к = -3, \ ldots, 3}$${\ Displaystyle \ psi _ {2} (х)}$

${\ displaystyle \ psi _ {I, 2} (x) \ приблизительно {\ begin {cases} 0,07142668x + 0,17856670 & -2,5 <x \ leq -2 \\ - 0,48084803x-0,92598272 & -2 <x \ leq - 1,5 \\ 2,0088293x + 2,8085333 & -1,5 <x \ leq -1 \\ - 7,5684795x-6,7687755 & -1 <x \ leq -0,5 \\ 28,245949x + 11,138439 & -0,5 <x \ leq 0 \\ - 57,415316 x + 11.138439 & 0 <x \ leq 0.5 \\ 57.415316x-46.276878 & 0.5 <x \ leq 1 \\ - 28.245949x + 39.384388 & 1 <x \ leq 1.5 \\ 7.5684795x-14.337255 & 1.5 <x \ leq 2 \\ - 2,0088293x + 4,8173625 & 2 <x \ leq 2,5 \\ 0,48084803x-1,4068308 & 2,5 <x \ leq 3 \\ - 0,07142668x + 0,24999338 & 3 <x \ leq 3,5 \\ 0 & {иначе} \ end {случаи }}}$

Двухмасштабное отношение

Двухмасштабное соотношение для вейвлет-функции дается выражением ${\ Displaystyle \ psi _ {м} (х)}$

${\ displaystyle \ psi _ {I, m} (x) = \ sum _ {- \ infty} ^ {\ infty} q_ {n} N_ {m} (2x-n)}$ где ${\ displaystyle q_ {n} = \ sum _ {j = 0} ^ {m} (- 1) ^ {j} {m \ choose j} c_ {m + nj-1}.}$

B-сплайн-вейвлеты с компактной опорой

Сплайн-вейвлеты, сгенерированные с помощью интерполяционных вейвлетов, не поддерживаются компактно. Вейвлеты B-сплайна с компактным носителем были открыты Чарльзом К. Чуи и Цзян-чжун Вангом и опубликованы в 1991 году. Вейвлет B-сплайна с компактным носителем относительно кардинального B-сплайна порядка m, обнаруженный Чуй и Вонг и обозначенный как в качестве поддержки интервал . Эти вейвлеты по сути уникальны в определенном смысле, который будет объяснен ниже. ${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ displaystyle \ psi _ {C, m} (x)}$${\ displaystyle [0,2m-1]}$

Определение

B-сплайн-вейвлет порядка m с компактным носителем имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {C, m} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {2m-1}}} \ sum _ {j = 0} ^ {2m-2} (- 1) ^ {j} N_ {2m} (j + 1) {\ frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}}} N_ {2m} (2x-j)}$

Это сплайн m-го порядка. Как частный случай, B-сплайн-вейвлет порядка 1 с компактным носителем имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {C, 1} (x) = {\ frac {1} {2}} N_ {2} (1) {\ frac {d} {dx}} N_ {2} (2x) = {\ begin {cases} 1 & 0 \ leq x <{\ frac {1} {2}} \\ - 1 & {\ frac {1} {2}} \ leq x <1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {case}}}$

который является хорошо известным вейвлетом Хаара .

Характеристики

1. Опора - закрытый интервал . ${\ displaystyle \ psi _ {C, m} (x)}$${\ displaystyle [0,2m-1]}$
2. Вейвлет - это уникальный вейвлет с минимальной поддержкой в ​​следующем смысле: если генерирует и имеет поддержку, не превышающую по длине, то для некоторой ненулевой константы и для некоторого целого числа . ${\ displaystyle \ psi _ {C, m} (x)}$${\ displaystyle \ eta (x) \ in W_ {0}}$${\ displaystyle W_ {0}}$${\ displaystyle 2m-1}$${\ displaystyle \ eta (x) = c_ {0} \ psi _ {C, m} (x-n_ {0})}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle n_ {0}}$
3. ${\ displaystyle \ psi _ {C, m} (x)}$ симметричен для четного m и антисимметричен для нечетного m .

Двухмасштабное отношение

${\ Displaystyle \ psi _ {м} (х)}$ удовлетворяет двухмасштабному соотношению:

${\ Displaystyle \ psi _ {C, m} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {3m-2} q_ {n} N_ {m} (2x-n)}$ где . ${\ displaystyle q_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {m-1}}} \ sum _ {j = 0} ^ {m} {m \ choose j} N_ {2m} (n-j + 1)}$

Отношение разложения

Соотношение разложения для B-сплайн-вейвлета с компактным носителем имеет следующий вид:

${\ Displaystyle N_ {m} (2x-l) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [a_ {m, l-2k} N_ {m} (xk) + b_ {m , l-2k} \ psi _ {C, m} (xk) \ right]}$

где коэффициенты и равны ${\ displaystyle a_ {m, j}}$${\ displaystyle b_ {m, j}}$

${\ displaystyle a_ {m, j} = - {\ frac {(-1) ^ {j}} {2}} \ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} q _ {- j + 2m- 2l + 1} c_ {2m, l},}$

${\ displaystyle b_ {m, j} = {\ frac {(-1) ^ {j}} {2}} \ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} p _ {- j + 2m-2l +1} c_ {2m, l}.}$

Здесь последовательность - это последовательность коэффициентов в основном интерполятном кардинальном сплайн-вейвлете порядка m . ${\ displaystyle c_ {2m, l}}$

B-сплайновые вейвлеты малых порядков с компактной опорой

B-сплайн-вейвлет порядка 1 с компактной опорой

Двухмасштабное соотношение для B-сплайн-всплеска порядка 1 с компактным носителем имеет вид

${\ Displaystyle \ psi _ {C, 1} (х) = N_ {1} (2x) -N_ {1} (2x-1)}$

Выражение в замкнутой форме для B-сплайн-всплеска порядка 1 с компактным носителем имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {C, 1} (x) = {\ begin {cases} 1 & 0 \ leq x <{\ frac {1} {2}} \\ - 1 & {\ frac {1} {2}} \ leq x <1 \\ 0 & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

B-сплайн-вейвлет порядка 2 с компактной опорой

Двухмасштабное соотношение для B-сплайн-вейвлета порядка 2 с компактным носителем имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {C, 2} (x) = {\ frac {1} {12}} \ left (N_ {2} (2x) -6N_ {2} (2x-1) + 10N_ {2} (2x-2) -6N_ {2} (2x-3) + N_ {2} (2x-4) \ right)}$

Выражение в замкнутой форме для B-сплайн-вейвлета порядка 2 с компактным носителем имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {C, 2} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {6}} x & 0 \ leq x <{\ frac {1} {2}} \\ - { \ frac {7} {6}} x + {\ frac {2} {3}} & {\ frac {1} {2}} \ leq x <1 \\ {\ frac {8} {3}} x- {\ frac {19} {6}} & 1 \ leq x <{\ frac {3} {2}} \\ - {\ frac {8} {3}} x + {\ frac {29} {6}} & {\ frac {3} {2}} \ leq x <2 \\ {\ frac {7} {6}} x - {\ frac {17} {6}} & 2 \ leq x <{\ frac {5} {2}} \\ - {\ frac {1} {6}} x + {\ frac {1} {2}} & {\ frac {5} {2}} \ leq x <3 \\ 0 & {\ text {в противном случае}} \ end {case}}}$

B-сплайн-вейвлет порядка 3 с компактной опорой

Двухмасштабное соотношение для B-сплайн-вейвлета порядка 3 с компактным носителем имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {C, 3} (x) = {\ frac {1} {480}} {\ Big [} (N_ {3} (2x) -29N_ {3} (2x-1) + 147N_ {3} (2x-2) -303N_ {3} (2x-3) +}$

${\ displaystyle 303N_ {3} (2x-4) -147N_ {3} (2x-5) + 29N_ {3} (2x-6) -N_ {3} (2x-7) {\ Big]}}$

Выражение в замкнутой форме для B-сплайн-всплеска порядка 3 с компактным носителем имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {C, 3} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {240}} x ^ {2} & 0 \ leq x <{\ frac {1} {2} } \\ - {\ frac {31} {240}} x ^ {2} + {\ frac {2} {15}} x - {\ frac {1} {30}} & {\ frac {1} { 2}} \ leq x <1 \\ {\ frac {103} {120}} x ^ {2} - {\ frac {221} {120}} x + {\ frac {229} {240}} & 1 \ leq x <{\ frac {3} {2}} \\ - {\ frac {313} {120}} x ^ {2} + {\ frac {1027} {120}} x - {\ frac {1643} { 240}} & {\ frac {3} {2}} \ leq x <2 \\ {\ frac {22} {5}} x ^ {2} - {\ frac {779} {40}} x + {\ frac {339} {16}} & 2 \ leq x <{\ frac {5} {2}} \\ - {\ frac {22} {5}} x ^ {2} + {\ frac {981} {40 }} x - {\ frac {541} {16}} & {\ frac {5} {2}} \ leq x <3 \\ {\ frac {313} {120}} x ^ {2} - {\ frac {701} {40}} x + {\ frac {2341} {80}} & 3 \ leq x <{\ frac {7} {2}} \\ - {\ frac {103} {120}} x ^ { 2} + {\ frac {809} {120}} x - {\ frac {3169} {240}} & {\ frac {7} {2}} \ leq x <4 \\ {\ frac {31} { 240}} x ^ {2} - {\ frac {139} {120}} x + {\ frac {623} {240}} & 4 \ leq x <{\ frac {9} {2}} \\ - {\ frac {1} {240}} x ^ {2} + {\ frac {1} {24}} x - {\ frac {5} {48}} & {\ frac {9} {2}} \ leq x <5 \\ 0 & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

B-сплайн-вейвлет порядка 4 с компактной опорой

Двухмасштабное соотношение для B-сплайн-вейвлета порядка 4 с компактным носителем имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {C, 4} (x) = {\ frac {1} {40320}} {\ Big [} N_ {4} (2x) -124N_ {4} (2x-1) + 1677N_ { 4} (2x-2) -7904N_ {4} (2x-3) + 18482N_ {4} (2x-4) -}$

${\ displaystyle 24264N_ {4} (2x-5) + 18482N_ {4} (2x-6) -7904N_ {4} (2x-7) + 1677N_ {4} (2x-8) -124N_ {4} (2x- 9) + N_ {4} (2x-10) {\ Big]}}$

Выражение в замкнутой форме для B-сплайн-вейвлета порядка 4 с компактным носителем имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {C, 4} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {30240}} x ^ {3} & 0 \ leq x <{\ frac {1} {2} } \\ - {\ frac {127} {30240}} x ^ {3} + {\ frac {2} {315}} x ^ {2} - {\ frac {1} {315}} x + {\ frac {1} {1890}} & {\ frac {1} {2}} \ leq x <1 \\ {\ frac {19} {280}} x ^ {3} - {\ frac {47} {224} } x ^ {2} + {\ frac {2147} {10080}} x - {\ frac {103} {1440}} & 1 \ leq x <{\ frac {3} {2}} \\ - {\ frac {1109} {2520}} x ^ {3} + {\ frac {465} {224}} x ^ {2} - {\ frac {32413} {10080}} x + {\ frac {16559} {10080}} & {\ frac {3} {2}} \ leq x <2 \\ {\ frac {5261} {3360}} x ^ {3} - {\ frac {33463} {3360}} x ^ {2} + {\ frac {42043} {2016}} x - {\ frac {145193} {10080}} & 2 \ leq x <{\ frac {5} {2}} \\ - {\ frac {35033} {10080}} x ^ {3} + {\ frac {93577} {3360}} x ^ {2} - {\ frac {148517} {2016}} x + {\ frac {216269} {3360}} & {\ frac {5} {2}} \ leq x <3 \\ {\ frac {4832} {945}} x ^ {3} - {\ frac {27691} {560}} x ^ {2} + {\ frac {113923} { 720}} x - {\ frac {28145} {168}} & 3 \ leq x <{\ frac {7} {2}} \\ - {\ frac {4832} {945}} x ^ {3} + { \ frac {58393} {1008}} x ^ {2} - {\ frac {52223} {240}} x + {\ frac {2048227} {7560}} & {\ frac {7} {2}} \ leq x <4 \\ {\ frac {35033} {10080}} x ^ {3} - {\ frac {75827} {1680}} x ^ {2} + {\ frac {981101} { 5040}} x - {\ frac {234149} {840}} & 4 \ leq x <{\ frac {9} {2}} \\ - {\ frac {5261} {3360}} x ^ {3} + { \ frac {38509} {1680}} x ^ {2} - {\ frac {112487} {1008}} x + {\ frac {30347} {168}} & {\ frac {9} {2}} \ leq x <5 \\ {\ frac {1109} {2520}} x ^ {3} - {\ frac {24077} {3360}} x ^ {2} + {\ frac {78311} {2016}} x - {\ frac {141311} {2016}} & 5 \ leq x <{\ frac {11} {2}} \\ - {\ frac {19} {280}} x ^ {3} + {\ frac {1361} {1120 }} x ^ {2} - {\ frac {14617} {2016}} x + {\ frac {4151} {288}} & {\ frac {11} {2}} \ leq x <6 \\ {\ frac {127} {30240}} x ^ {3} - {\ frac {55} {672}} x ^ {2} + {\ frac {5359} {10080}} x - {\ frac {11603} {10080} } & 6 \ leq x <{\ frac {13} {2}} \\ - {\ frac {1} {30240}} x ^ {3} + {\ frac {1} {1440}} x ^ {2} - {\ frac {7} {1440}} x + {\ frac {49} {4320}} & {\ frac {13} {2}} \ leq x <7 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {случаи}}}$

B-сплайн-вейвлет порядка 5 с компактной опорой

Двухмасштабное соотношение для B-сплайн-вейвлета порядка 5 с компактным носителем имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {C, 5} (x) = {\ frac {1} {5806080}} {\ Big [} N_ {5} (2x) -507N_ {5} (2x-1) + 17128N_ { 5} (2x-2) -166304N_ {5} (2x-3) + 748465N_ {5} (2x-4)}$

${\ displaystyle -1900115N_ {5} (2x-5) + 2973560N_ {5} (2x-6) -2973560N_ {5} (2x-7) + 1900115N_ {5} (2x-8)}$

${\ displaystyle -748465N_ {5} (2x-9) + 166304N_ {5} (2x-10) -17128N_ {5} (2x-11) + 507N_ {5} (2x-12) -N_ {5} (2x -13) {\ Big]}}$

Выражение в замкнутой форме для B-сплайн-вейвлета порядка 5 с компактным носителем имеет вид

${\ displaystyle \ psi _ {C, 5} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {8709120}} x ^ {4} & 0 \ leq x <{\ frac {1} {2} } \\ - {\ frac {73} {1244160}} x ^ {4} + {\ frac {1} {8505}} x ^ {3} - {\ frac {1} {11340}} x ^ {2 } + {\ frac {1} {34020}} x - {\ frac {1} {272160}} & {\ frac {1} {2}} \ leq x <1 \\ {\ frac {9581} {4354560 }} x ^ {4} - {\ frac {19417} {2177280}} x ^ {3} + {\ frac {1303} {96768}} x ^ {2} - {\ frac {19609} {2177280}} x + {\ frac {6547} {2903040}} & 1 \ leq x <{\ frac {3} {2}} \\ - {\ frac {118931} {4354560}} x ^ {4} + {\ frac {366119 } {2177280}} x ^ {3} - {\ frac {186253} {483840}} x ^ {2} + {\ frac {121121} {311040}} x - {\ frac {427181} {2903040}} & {\ frac {3} {2}} \ leq x <2 \\ {\ frac {759239} {4354560}} x ^ {4} - {\ frac {3146561} {2177280}} x ^ {3} + { \ frac {6466601} {1451520}} x ^ {2} - {\ frac {13202873} {2177280}} x + {\ frac {26819897} {8709120}} & 2 \ leq x <{\ frac {5} {2} } \\ - {\ frac {2980409} {4354560}} x ^ {4} + {\ frac {5183893} {725760}} x ^ {3} - {\ frac {13426333} {483840}} x ^ {2 } + {\ frac {426589} {8960}} x - {\ frac {12635243} {414720}} & {\ frac {5} {2}} \ leq x <3 \\ {\ frac {7873577} {4354560 }} x ^ {4} - {\ frac {16524079} {725760}} x ^ {3} + {\ frac {7385369} {69120}} x ^ { 2} - {\ frac {17868671} {80640}} x + {\ frac {497668543} {290304}} & 3 \ leq x <{\ frac {7} {2}} \\ - {\ frac {14714327} {4354560 }} x ^ {4} + {\ frac {108543091} {2177280}} x ^ {3} - {\ frac {56901557} {207360}} x ^ {2} + {\ frac {1454458651} {2177280}} x - {\ frac {5286189059} {8709120}} & {\ frac {7} {2}} \ leq x <4 \\ {\ frac {15619} {3402}} x ^ {4} - {\ frac { 33822017} {435456}} x ^ {3} + {\ frac {15828929} {32256}} x ^ {2} - {\ frac {597598433} {435456}} x + {\ frac {277413649} {193536}} и 4 \ leq x <{\ frac {9} {2}} \\ - {\ frac {15619} {3402}} x ^ {4} + {\ frac {38150335} {435456}} x ^ {3} - { \ frac {20157247} {32256}} x ^ {2} + {\ frac {859841695} {435456}} x - {\ frac {64472345} {27648}} & {\ frac {9} {2}} \ leq x <5 \\ {\ frac {14714327} {4354560}} x ^ {4} - {\ frac {4466137} {62208}} x ^ {3} + {\ frac {165651247} {290304}} x ^ { 2} - {\ frac {875490655} {435456}} x + {\ frac {4614904015} {1741824}} & 5 \ leq x <{\ frac {11} {2}} \\ - {\ frac {7873577} {4354560 }} x ^ {4} + {\ frac {30717383} {725760}} x ^ {3} - {\ frac {179437319} {483840}} x ^ {2} + {\ frac {16606729} {11520}} x - {\ frac {869722273} {414720}} & {\ frac {11} {2}} \ leq x <6 \\ {\ frac {2980409} {4354560}} x ^ {4} - {\ frac {12698561} {725760}} x ^ {3} + {\ frac {16211669} {96768}} x ^ {2} - {\ frac {19138891} {26880}} x + {\ frac {3289787993} {2903040} } & 6 \ leq x <{\ frac {13} {2}} \\ - {\ frac {759239} {4354560}} x ^ {4} + {\ frac {10519741} {2177280}} x ^ {3} - {\ frac {10403603} {207360}} x ^ {2} + {\ frac {71964499} {311040}} x - {\ frac {3481646837} {8709120}} & {\ frac {13} {2}} \ leq x <7 \\ {\ frac {118931} {4354560}} x ^ {4} - {\ frac {1774639} {2177280}} x ^ {3} + {\ frac {630259} {69120}} x ^ {2} - {\ frac {14096161} {311040}} x + {\ frac {245108501} {2903040}} & 7 \ leq x <{\ frac {15} {2}} \\ - {\ frac {9581} {4354560}} x ^ {4} + {\ frac {21863} {311040}} x ^ {3} - {\ frac {407387} {483840}} x ^ {2} + {\ frac {9758873} {2177280 }} x - {\ frac {25971499} {2903040}} & {\ frac {15} {2}} \ leq x <8 \\ {\ frac {73} {1244160}} x ^ {4} - {\ гидроразрыв {4343} {2177280}} x ^ {3} + {\ frac {5273} {207360}} x ^ {2} - {\ frac {313703} {2177280}} x + {\ frac {380873} {1244160} } & 8 \ leq x <{\ frac {17} {2}} \\ - {\ frac {1} {8709120}} x ^ {4} + {\ frac {1} {241920}} x ^ {3} - {\ frac {1} {17920}} x ^ {2} + {\ frac {3} {8960}} x - {\ frac {27} {35840}} & {\ frac {17} {2}} \ leq x <9 \\ 0 & {\ text {иначе}} \ end {case} }}$

Изображения B-сплайновых вейвлетов с компактным носителем

B-сплайн вейвлет порядка 1	B-сплайн вейвлет порядка 2
B-сплайн вейвлет порядка 3	B-сплайн вейвлет порядка 4	B-сплайн вейвлет порядка 5

Вейвлеты Battle-Lemarie

Вейвлеты Батл-Лемари образуют класс ортонормированных вейвлетов, построенных с использованием класса кардинальных B-сплайнов. Выражения для этих вейвлетов даны в частотной области; то есть они определяются путем указания своих преобразований Фурье. Преобразование Фурье функции от t , скажем, обозначается через . ${\ Displaystyle F (т)}$${\ displaystyle {\ hat {F}} (\ omega)}$

Определение

Пусть m - натуральное число, и пусть - кардинальный B-сплайн порядка m . Преобразование Фурье равно . Функция масштабирования для вейвлета Батл-Лемари m-го порядка - это та функция, преобразование Фурье которой имеет вид ${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ Displaystyle N_ {m} (х)}$${\ displaystyle {\ hat {N}} _ {m} (\ omega)}$${\ Displaystyle \ phi _ {м} (т)}$

${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {m} (\ omega) = {\ frac {{\ hat {N}} _ {m} (\ omega)} {\ left (\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ vert {\ hat {N}} _ {m} (\ omega +2 \ pi k) \ vert ^ {2} \ right) ^ {1/2}}}.}$

М -го порядка Battle-Lemarie вейвлет - функция , преобразование Фурье ${\ displaystyle \ psi _ {BL, m} (t)}$

${\ displaystyle {\ hat {\ psi}} _ {BL, m} (\ omega) = - {\ frac {e ^ {- i \ omega / 2} \, \, {\ overline {{\ hat {\ phi}} _ {m} (\ omega +2 \ pi)}} \, \, {\ hat {\ phi}} _ {m} \ left ({\ frac {\ omega} {2}} \ right) } {\ overline {{\ hat {\ phi}} _ {m} \ left ({\ frac {\ omega} {2}} + \ pi \ right)}}}}$

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Амир З. Авербух и Валерий А. Желудев (2007). «Вейвлет-преобразования, генерируемые сплайнами» (PDF) . Международный журнал вейвлетов, множественного разрешения и обработки информации . 257 (5) . Проверено 21 декабря 2014 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Амир З. Авербух, Пекка Нейттаанмаки и Валерий А. Желудев (2014). Сплайна и сплайна Методы вейвлетов с приложениями к обработки сигналов и изображений , Том I . Springer. ISBN   978-94-017-8925-7 . CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )