Вейвлет Хаара - Haar wavelet

В математике вейвлет Хаара - это последовательность масштабированных функций «квадратной формы», которые вместе образуют семейство или базис вейвлетов . Вейвлет-анализ похож на анализ Фурье в том, что он позволяет представить целевую функцию на интервале в терминах ортонормированного базиса . Последовательность Хаара теперь признана первой известной основой вейвлетов и широко используется в качестве обучающего примера.

Последовательность Хаара была предложена в 1909 году Альфредом Хааром . Хаар использовал эти функции, чтобы дать пример ортонормированной системы для пространства интегрируемых с квадратом функций на единичном интервале  [0, 1]. Изучение вейвлетов и даже термина «вейвлет» появилось гораздо позже. Как частный случай вейвлета Добеши, вейвлет Хаара также известен как Db1 .

Вейвлет Хаара также является самым простым из возможных вейвлетов. Технический недостаток вейвлета Хаара заключается в том, что он не является непрерывным и, следовательно, не дифференцируемым . Однако это свойство может быть преимуществом для анализа сигналов с внезапными переходами ( дискретные сигналы ), таких как мониторинг отказа инструмента в станках.

Материнскую вейвлет-функцию вейвлета Хаара можно описать как ${\ Displaystyle \ psi (т)}$

${\ displaystyle \ psi (t) = {\ begin {cases} 1 \ quad & 0 \ leq t <{\ frac {1} {2}}, \\ - 1 & {\ frac {1} {2}} \ leq t <1, \\ 0 & {\ mbox {в противном случае.}} \ end {case}}}$

Его функцию масштабирования можно описать как ${\ Displaystyle \ varphi (т)}$

${\ displaystyle \ varphi (t) = {\ begin {cases} 1 \ quad & 0 \ leq t <1, \\ 0 & {\ mbox {в противном случае.}} \ end {cases}}}$

Функции Хаара и система Хаара

Для каждой пары п , к целым числам в , в функции , Хаара i | _{п , к} определен на вещественную ось по формуле ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ psi _ {n, k} (t) = 2 ^ {n / 2} \ psi (2 ^ {n} tk), \ quad t \ in \ mathbb {R}.}$

Эта функция поддерживается на правооткрытом интервале I _{n , k} = [ k 2 ^{- n} , ( k +1) 2 ^{- n} ) , то есть вне этого интервала она обращается в нуль . Он имеет интеграл 0 и норму 1 в гильбертовом пространстве L ² ( ) ,  ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} \ psi _ {n, k} (t) \, dt = 0, \ quad \ | \ psi _ {n, k} \ | _ {L ^ {2 } (\ mathbb {R})} ^ {2} = \ int _ {\ mathbb {R}} \ psi _ {n, k} (t) ^ {2} \, dt = 1.}$

Функции Хаара попарно ортогональны ,

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} \ psi _ {n_ {1}, k_ {1}} (t) \ psi _ {n_ {2}, k_ {2}} (t) \, dt = \ delta _ {n_ {1} n_ {2}} \ delta _ {k_ {1} k_ {2}},}$

где представляет собой дельту Кронекера . Вот причина ортогональности: когда два опорных интервала и не равны, то они либо не пересекаются, либо меньшая из двух опор, скажем , содержится в нижней или верхней половине другого интервала, на при этом функция остается постоянной. В этом случае следует, что произведение этих двух функций Хаара кратно первой функции Хаара, следовательно, произведение имеет интеграл 0. ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle I_ {n_ {1}, k_ {1}}}$${\ displaystyle I_ {n_ {2}, k_ {2}}}$${\ displaystyle I_ {n_ {1}, k_ {1}}}$${\ displaystyle \ psi _ {n_ {2}, k_ {2}}}$

Система Хаара на прямой представляет собой набор функций

${\ displaystyle \ {\ psi _ {n, k} (t) \;: \; n \ in \ mathbb {Z}, \; k \ in \ mathbb {Z} \}.}$

Это полно в L ² ( ): Система Хаара на прямой является ортонормированным базисом в L ² ( ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Свойства вейвлетов Хаара

Вейвлет Хаара имеет несколько примечательных свойств:

1. Любая непрерывная вещественная функция с компактным носителем может быть аппроксимирована равномерно линейными комбинациями из и их смещенных функций. Это распространяется на те функциональные пространства, где любую функцию в нем можно аппроксимировать непрерывными функциями.${\ displaystyle \ varphi (t), \ varphi (2t), \ varphi (4t), \ dots, \ varphi (2 ^ {n} t), \ dots}$
2. Любая непрерывная действительная функция на [0, 1] может быть аппроксимирована равномерно на [0, 1] линейными комбинациями функции постоянной  1 , и их сдвинутых функций.${\ Displaystyle \ psi (t), \ psi (2t), \ psi (4t), \ dots, \ psi (2 ^ {n} t), \ dots}$
3. Ортогональность по форме

    ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} 2 ^ {(n + n_ {1}) / 2} \ psi (2 ^ {n} tk) \ psi (2 ^ {n_ {1} } t-k_ {1}) \, dt = \ delta _ {nn_ {1}} \ delta _ {kk_ {1}}.}$

Здесь представлена дельта Кронекера . Двойная функция от ф ( т ) является ψ ( т ) сам по себе. ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

1. Функции вейвлета / масштабирования с различным масштабом n имеют функциональную взаимосвязь: поскольку

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ varphi (t) & = \ varphi (2t) + \ varphi (2t-1) \\ [. 2em] \ psi (t) & = \ varphi (2t) - \ varphi (2t-1), \ end {align}}}$

отсюда следует, что коэффициенты масштаба n можно вычислить с помощью коэффициентов масштаба n + 1 :

Если ${\ displaystyle \ chi _ {w} (к, n) = 2 ^ {n / 2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) \ varphi (2 ^ {n} tk) \ , dt}$

а также ${\ displaystyle \ mathrm {X} _ {w} (k, n) = 2 ^ {n / 2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) \ psi (2 ^ {n} tk) \, dt}$

тогда

${\ displaystyle \ chi _ {w} (k, n) = 2 ^ {- 1/2} {\ bigl (} \ chi _ {w} (2k, n + 1) + \ chi _ {w} (2k + 1, n + 1) {\ bigr)}}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} _ {w} (k, n) = 2 ^ {- 1/2} {\ bigl (} \ chi _ {w} (2k, n + 1) - \ chi _ {w } (2k + 1, n + 1) {\ bigr)}.}$

Система Хаара на единичном интервале и родственные системы

В этом разделе обсуждение ограничивается единичным интервалом [0, 1] и функциями Хаара, которые поддерживаются на [0, 1]. Система функций, рассмотренная Хааром в 1910 году и названная в этой статье системой Хаара на [0, 1] , состоит из подмножества всплесков Хаара, определяемых как

${\ Displaystyle \ {т \ ин [0,1] \ mapsto \ psi _ {n, k} (t) \;: \; п \ in \ mathbb {N} \ чашка \ {0 \}, \; 0 \ leq k <2 ^ {n} \},}$

с добавлением постоянной функции 1 на [0, 1].

В пространстве Гильберта терминов, эта система Хаара на [0, 1] является полной ортонормированной системой , то есть , ортонормированный базис , для пространства L ² ([0, 1]) квадратичны интегрируемых функций на единичном интервале.

Система Хаара на [0, 1] - с постоянной функцией 1 в качестве первого элемента, за которой следуют функции Хаара, упорядоченные в соответствии с лексикографическим порядком пар ( n , k ), - также является монотонным базисом Шаудера для пространства L ^p ( [0, 1]), когда 1 ≤ p <∞ . Этот базис безусловен при 1 < p <∞ .

Есть родственная система Радемахера, состоящая из сумм функций Хаара:

${\ displaystyle r_ {n} (t) = 2 ^ {- n / 2} \ sum _ {k = 0} ^ {2 ^ {n} -1} \ psi _ {n, k} (t), \ quad t \ in [0,1], \ n \ geq 0.}$

Обратите внимание, что | r _n ( t ) | = 1 на [0, 1). Это ортонормированная система, но не полная. На языке теории вероятностей последовательность Радемахера является примером последовательности независимых случайных величин Бернулли со средним  0. Неравенство Хинчина выражает тот факт, что во всех пространствах L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ последовательность Радемахера эквивалентна базису единичных векторов в ℓ ² . В частности, замкнутая линейная оболочка последовательности Радемахера в L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p <∞ , изоморфна ℓ ² .

Система Фабера – Шаудера

Система Фабера – Шаудера - это семейство непрерывных функций на [0, 1], состоящее из постоянной функции  1 и кратных неопределенных интегралов функций в системе Хаара на [0, 1], выбранных с нормой 1 в максимальная норма . Эта система начинается с s ₀  =  1 , затем s ₁ ( t ) = t - неопределенный интеграл, равный нулю в 0 функции  1 , первого элемента системы Хаара на [0, 1]. Далее, для любого целого n ≥ 0 функции s _{n , k} определяются по формуле

${\ Displaystyle s_ {n, k} (t) = 2 ^ {1 + n / 2} \ int _ {0} ^ {t} \ psi _ {n, k} (u) \, du, \ quad t \ in [0,1], \ 0 \ leq k <2 ^ {n}.}$

Эти функции s _{n , k} непрерывны, кусочно-линейны , поддерживаются интервалом I _{n , k,} который также поддерживает ψ _{n , k} . Функция s _{n , k} равна 1 в средней точке x _{n , k} интервала  I _{n , k} , линейной на обеих половинах этого интервала. Он везде принимает значения от 0 до 1.

Система Фабера – Шаудера является базисом Шаудера для пространства C ([0, 1]) непрерывных функций на [0, 1]. Для любого  f из C ([0, 1]) частичная сумма

${\ displaystyle f_ {n + 1} = a_ {0} s_ {0} + a_ {1} s_ {1} + \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} {\ Bigl (} \ sum _ {k = 0} ^ {2 ^ {m} -1} a_ {m, k} s_ {m, k} {\ Bigr)} \ in C ([0,1])}$

из разложения в ряд по е в системе Фабера-Шаудера является непрерывной кусочно - линейной функции , которая совпадает с  F на 2 ^п + 1 точек K 2 ^{- п} , где 0 ≤ K ≤ 2 ^н . Далее формула

${\ displaystyle f_ {n + 2} -f_ {n + 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {2 ^ {n} -1} {\ bigl (} f (x_ {n, k}) - f_ {n + 1} (x_ {n, k}) {\ bigr)} s_ {n, k} = \ sum _ {k = 0} ^ {2 ^ {n} -1} a_ {n, k} s_ {n, k}}$

дает возможность шаг за шагом вычислить расширение f . Так как F является равномерно непрерывным , то последовательность { е _п } равномерно сходится к F . Отсюда следует, что разложение f в ряд Фабера – Шаудера сходится в C ([0, 1]), и сумма этого ряда равна  f .

Система Франклина

Система Франклина получается из системы Фабера – Шаудера с помощью процедуры ортонормировки Грама – Шмидта . Поскольку система Франклина имеет ту же линейную оболочку, что и по системе Фабера-Шаудера, эта оболочка плотно в C ([0, 1]), следовательно , в L ² ([0, 1]). Система Франклина Поэтому ортонормированный базис L ² ([0, 1]), состоящая из непрерывных кусочно - линейной функции. П. Франклин доказал в 1928 г., что эта система является базисом Шаудера для C ([0, 1]). Система Франклина также является безусловным базисом Шаудера для пространства L ^p ([0, 1]), когда 1 < p <∞ . Система Франклина обеспечивает базис Шаудера в дисковой алгебре A ( D ). Это было доказано в 1974 г. Бочкаревым, после того как существование основы дисковой алгебры оставалось открытым более сорока лет.

Бочкарев построил базис Шаудера в A ( D ) следующим образом: пусть  f - комплекснозначная липшицева функция на [0, π]; тогда  f - сумма ряда косинусов с абсолютно суммируемыми коэффициентами. Пусть  T ( f ) - элемент A ( D ), определенный комплексным степенным рядом с теми же коэффициентами,

${\ Displaystyle \ влево \ {е: х \ в [0, \ пи] \ вправо \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} а_ {п} \ соз (пх) \ вправо \} \ longrightarrow \ влево \ {T (f): z \ rightarrow \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}, \ quad | z | \ leq 1 \ right \}.}$

Базис Бочкарева для A ( D ) образуют образы под  T функций из системы Франклина на [0, π]. Эквивалентное описание Бочкарев для отображения  Т начинается путем расширения п к даже липшицевой функции  г ₁ на [-я, π], которые были определены с функцией липшицевом на единичной окружности  Т . Далее, пусть г ₂ будет сопряженная функция из  г ₁ , и определить Т ( ф ) как функция  A ( D ), значение которого на границе Т от  D равна  г ₁ + г г ₂ .

Имея дело с 1-периодическими непрерывными функциями, или, скорее, с непрерывными функциями f на [0, 1] такими, что f (0) = f (1) , из системы Фабера – Шаудера удаляется функция s ₁ ( t ) = t , чтобы получить периодическую систему Фабера – Шаудера . Периодическая система Франклина получается путем ортогонализации от периодической системы Фабера - Шаудер. Можно доказать результат Бочкарева о A ( D ), доказав, что периодическая система Франклина на [0, 2π] является базисом для банахова пространства A _r, изоморфного A ( D ). Пространство A _r состоит из комплексных непрерывных функций на единичной окружности T , сопряженная функция которых также непрерывна.

Матрица Хаара

Матрица Хаара 2 × 2, связанная с вейвлетом Хаара, имеет вид

${\ displaystyle H_ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix}}.}$

Используя дискретное вейвлет-преобразование , можно преобразовать любую последовательность четной длины в последовательность двухкомпонентных векторов . Если умножить каждый вектор на матрицу справа , то получится результат одного этапа быстрого вейвлет-преобразования Хаара. Обычно разделяют последовательности s и d и продолжают преобразовывать последовательность s . Последовательность s часто называют средней частью, а последовательность d - частью деталей . ${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, \ dots, a_ {2n}, a_ {2n + 1})}$${\ displaystyle \ left (\ left (a_ {0}, a_ {1} \ right), \ dots, \ left (a_ {2n}, a_ {2n + 1} \ right) \ right)}$${\ displaystyle H_ {2}}$${\ displaystyle \ left (\ left (s_ {0}, d_ {0} \ right), \ dots, \ left (s_ {n}, d_ {n} \ right) \ right)}$

Если длина последовательности кратна четырем, можно построить блоки из 4 элементов и преобразовать их аналогичным образом с помощью матрицы Хаара 4 × 4.

${\ displaystyle H_ {4} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \ end {bmatrix}},}$

который сочетает в себе две стадии быстрого вейвлет-преобразования Хаара.

Сравните с матрицей Уолша , которая является нелокализованной матрицей 1 / –1.

Как правило, матрица Хаара 2N × 2N может быть получена с помощью следующего уравнения.

${\ Displaystyle H_ {2N} = {\ begin {bmatrix} H_ {N} \ otimes [1,1] \\ I_ {N} \ otimes [1, -1] \ end {bmatrix}}}$

где и - произведение Кронекера .${\ displaystyle I_ {N} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dots & 0 \\ 0 & 1 & \ dots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & 1 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle \ otimes}$

Продукт Кронекера из , где есть т × п матрица и является ар × д матрица, выражается как ${\ displaystyle A \ otimes B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A \ otimes B = {\ begin {bmatrix} a_ {11} B & \ dots & a_ {1n} B \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} B & \ dots & a_ {mn} B \ end {bmatrix}}.}$

Ненормализованная 8-точечная матрица Хаара показана ниже. ${\ displaystyle H_ {8}}$

${\ Displaystyle Н_ {8} = {\ BEGIN {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \ end {bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что указанная выше матрица является ненормализованной матрицей Хаара. Матрица Хаара, требуемая преобразованием Хаара, должна быть нормализована.

Из определения матрицы Хаара можно заметить, что, в отличие от преобразования Фурье, она имеет только действительные элементы (т. Е. 1, -1 или 0) и является несимметричной. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$

В качестве примера возьмем 8-точечную матрицу Хаара . Первая строка измеряет среднее значение, а вторая строка измеряет низкочастотную составляющую входного вектора. Следующие две строки чувствительны к первой и второй половине входного вектора соответственно, что соответствует умеренным частотным компонентам. Остальные четыре строки чувствительны к четырем участкам входного вектора, которые соответствуют высокочастотным компонентам. ${\ displaystyle H_ {8}}$${\ displaystyle H_ {8}}$${\ displaystyle H_ {8}}$

Преобразование Хаара

Преобразование Хаара - простейшее из вейвлет-преобразований . Это преобразование перекрестно умножает функцию на вейвлет Хаара с различными сдвигами и растяжениями, подобно тому, как преобразование Фурье перекрестно умножает функцию на синусоидальную волну с двумя фазами и многими отрезками.

Вступление

Преобразование Хаара - одна из старейших функций преобразования, предложенная в 1910 году венгерским математиком Альфредом Хааром . Он оказался эффективным в таких приложениях, как сжатие сигналов и изображений в электротехнике и вычислительной технике, поскольку обеспечивает простой и эффективный в вычислительном отношении подход к анализу локальных аспектов сигнала.

Преобразование Хаара выводится из матрицы Хаара. Пример матрицы преобразования Хаара 4x4 показан ниже.

${\ displaystyle H_ {4} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ {\ sqrt {2}} & - {\ sqrt {2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ sqrt {2}} & - {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}}}$

Преобразование Хаара можно рассматривать как процесс выборки, в котором строки матрицы преобразования действуют как выборки все более и более высокого разрешения.

Сравните с преобразованием Уолша , которое также равно 1 / –1, но не локализовано.

Имущество

Преобразование Хаара обладает следующими свойствами

1. Нет необходимости в умножении. Для этого требуются только добавления, а в матрице Хаара много элементов с нулевым значением, поэтому время вычислений невелико. Это быстрее, чем преобразование Уолша , матрица которого состоит из +1 и -1.

2. Длина входа и выхода одинакова. Тем не менее, длина должна быть степенью 2, то есть .${\ Displaystyle N = 2 ^ {k}, к \ in \ mathbb {N}}$

3. Его можно использовать для анализа локализованных характеристик сигналов. Благодаря ортогональности функции Хаара можно анализировать частотные составляющие входного сигнала.

Преобразование Хаара и обратное преобразование Хаара

Преобразование Хаара y _n входной функции x _n имеет вид

${\ displaystyle y_ {n} = H_ {n} x_ {n}}$

Матрица преобразования Хаара является действительной и ортогональной. Таким образом, обратное преобразование Хаара может быть получено с помощью следующих уравнений.

${\ displaystyle H = H ^ {*}, H ^ {- 1} = H ^ {T}, {\ text {ie}} HH ^ {T} = I}$

где - единичная матрица. Например, при n = 4${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle H_ {4} ^ {T} H_ {4} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & {\ sqrt {2}} & 0 \\ 1 & 1 & - {\ sqrt {2 }} & 0 \\ 1 & -1 & 0 & {\ sqrt {2}} \\ 1 & -1 & 0 & - {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} \ cdot \; {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ {\ sqrt {2}} & - {\ sqrt {2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ sqrt {2}} & - {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Таким образом, обратное преобразование Хаара имеет вид

${\ displaystyle x_ {n} = H ^ {T} y_ {n}}$

Пример

Коэффициенты преобразования Хаара для 4-точечного сигнала могут быть найдены как ${\ displaystyle x_ {4} = [1,2,3,4] ^ {T}}$

${\ displaystyle y_ {4} = H_ {4} x_ {4} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ {\ sqrt {2}} & - {\ sqrt {2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ sqrt {2}} & - {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 5 \\ - 2 \\ - 1 / {\ sqrt {2}} \\ - 1 / {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}}}$

Входной сигнал может быть полностью восстановлен с помощью обратного преобразования Хаара

${\ displaystyle {\ hat {x_ {4}}} = H_ {4} ^ {T} y_ {4} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & {\ sqrt {2} } & 0 \\ 1 & 1 & - {\ sqrt {2}} & 0 \\ 1 & -1 & 0 & {\ sqrt {2}} \\ 1 & -1 & 0 & - {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } 5 \\ - 2 \\ - 1 / {\ sqrt {2}} \\ - 1 / {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \ end {bmatrix}}}$

Смотрите также

• Уменьшение размеров
• Матрица Уолша
• Преобразование Уолша
• Вейвлет
• Чирплет
• Сигнал
• Хаароподобная особенность
• Вейвлет Стрёмберга
• Диадическая трансформация

Примечания

использованная литература

• Хаара, Alfréd (1910), "Zur Теорье дер orthogonalen Funktionensysteme", Mathematische Annalen , 69 (3): 331-371, DOI : 10.1007 / BF01456326 , ЛВП : 2027 / uc1.b2619563
• Чарльз К. Чуи, Введение в вейвлеты , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN  0-585-47090-1
• Английский перевод основополагающей статьи Хаара: https://www.uni-hohenheim.de/~gzim/Publications/haar.pdf

внешние ссылки

• "Система Хаара" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Бесплатная реализация вейвлет-фильтрации Хаара и интерактивная демонстрация
• Свободное шумоподавление вейвлета Хаара и сжатие сигнала с потерями

Преобразование Хаара

• [1]
• [2]
• [3]
• [4]
• [5] Архивировано 21 августа 2012 года в Wayback Machine.