Z-преобразование - Z-transform

В математике и обработке сигналов , то Z-преобразование преобразует дискретно-сигнал времени , который представляет собой последовательность из реальных или комплексных чисел , в комплексное частотной области представления.

Его можно рассматривать как эквивалент преобразования Лапласа в дискретном времени . Это сходство исследуется в теории исчисления шкалы времени .

История

Основная идея, теперь известная как Z-преобразование, была известна Лапласу , и в 1947 году она была повторно представлена В. Гуревичем и другими как способ обработки систем управления выборками данных, используемых с радаром. Это дает удобный способ решения линейных разностных уравнений с постоянным коэффициентом . Позже это было названо «z-преобразованием» Рагаццини и Заде в группе контроля выборки данных в Колумбийском университете в 1952 году.

Модифицированное или усовершенствованное Z-преобразование было позже разработано и популяризировано EI Jury .

Идея, содержащаяся в Z-преобразовании, также известна в математической литературе как метод производящих функций, который можно проследить еще в 1730 году, когда он был введен де Муавром в сочетании с теорией вероятностей. С математической точки зрения Z-преобразование можно также рассматривать как ряд Лорана, в котором рассматриваемая последовательность чисел рассматривается как разложение (Лорана) аналитической функции.

Определение

Z-преобразование может быть определено как одностороннее или двустороннее преобразование.

Двустороннее Z-преобразование

Двусторонний или двусторонний Z-преобразование дискретного сигнала времени является формальным степенным рядом , определенный как ${\ Displaystyle х [п]}$ ${\ displaystyle X (z)}$

где - целое число и , как правило, комплексное число : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle z = Ae ^ {j \ phi} = A \ cdot (\ cos {\ phi} + j \ sin {\ phi})}$

где - величина , - мнимая единица , - комплексный аргумент (также называемый углом или фазой ) в радианах . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ phi}$

Одностороннее Z-преобразование

В качестве альтернативы, в случаях, когда определено только для , одностороннее или одностороннее Z-преобразование определяется как ${\ Displaystyle х [п]}$${\ displaystyle n \ geq 0}$

При обработке сигналов это определение может использоваться для оценки Z-преобразования единичной импульсной характеристики причинной системы с дискретным временем .

Важным примером одностороннего Z-преобразования является функция , генерирующая вероятность , где компонент - это вероятность того, что дискретная случайная величина примет значение , а функция обычно записывается как в терминах . Свойства Z-преобразований (см. Ниже) имеют полезные интерпретации в контексте теории вероятностей. ${\ Displaystyle х [п]}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X (z)}$${\ Displaystyle X (s)}$${\ displaystyle s = z ^ {- 1}}$

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование

где C - замкнутый путь против часовой стрелки, охватывающий начало координат и полностью находящийся в области конвергенции (ROC). В случае, когда ROC является причинным (см. Пример 2 ), это означает, что путь C должен охватывать все полюса . ${\ displaystyle X (z)}$

Частный случай этого контурного интеграла возникает, когда C - единичная окружность. Этот контур можно использовать, когда ROC включает единичную окружность, что всегда гарантируется, когда она устойчива, то есть когда все полюса находятся внутри единичной окружности. С этим контуром обратное Z-преобразование упрощается до обратного дискретного преобразования Фурье или ряда Фурье периодических значений Z-преобразования по единичной окружности: ${\ displaystyle X (z)}$

${\ displaystyle x [n] = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {+ \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega.}$

Z-преобразование с конечным диапазоном значений n и конечным числом равномерно распределенных значений z может быть эффективно вычислено с помощью алгоритма БПФ Блустейна . Дискретным временем преобразования Фурье (ДВПФ) -не следует путать с дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) -это частный случай такой Z-преобразования , получаемого путем ограничения г лежать на единичной окружности.

Область конвергенции

Область сходимости (ROC) - это набор точек на комплексной плоскости, для которых суммирование Z-преобразования сходится.

${\ Displaystyle \ mathrm {ROC} = \ left \ {z: \ left | \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] z ^ {- n} \ right | <\ infty \ Правильно\}}$

Пример 1 (без ROC)

Пусть x [n] = (0,5) ⁿ . Разложив x [n] на интервал (−∞, ∞), получим

${\ displaystyle x [n] = \ left \ {\ cdots, 0,5 ^ {- 3}, 0,5 ^ {- 2}, 0,5 ^ {- 1}, 1,0,5,0,5 ^ {2}, 0,5 ^ {3 }, \ cdots \ right \} = \ left \ {\ cdots, 2 ^ {3}, 2 ^ {2}, 2,1,0.5,0.5 ^ {2}, 0.5 ^ {3}, \ cdots \ right \}.}$

Глядя на сумму

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] z ^ {- n} \ to \ infty.}$

Следовательно, не существует значений z , удовлетворяющих этому условию.

Пример 2 (причинный ROC)

Пусть (где u - ступенчатая функция Хевисайда ). Разложив x [n] на интервал (−∞, ∞), получим ${\ Displaystyle х [п] = 0,5 ^ {п} и [п] \}$

${\ displaystyle x [n] = \ left \ {\ cdots, 0,0,0,1,0.5,0.5 ^ {2}, 0,5 ^ {3}, \ cdots \ right \}.}$

Глядя на сумму

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] z ^ {- n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 0,5 ^ {n} z ^ { -n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {0.5} {z}} \ right) ^ {n} = {\ frac {1} {1-0.5z ^ {-1}}}.}$

Последнее равенство возникает из бесконечного геометрического ряда, и равенство выполняется только в том случае, если | 0.5 z ⁻¹ | <1, который можно переписать через z как | z | > 0,5. Таким образом, ОКР | z | > 0,5. В этом случае ROC представляет собой комплексную плоскость с «пробитым» диском радиуса 0,5 в начале координат.

Пример 3 (антикаузальный ROC)

Пусть (где u - ступенчатая функция Хевисайда ). Разложив x [n] на интервал (−∞, ∞), получим ${\ Displaystyle х [п] = - (0,5) ^ {п} и [-n-1] \}$

${\ displaystyle x [n] = \ left \ {\ cdots, - (0,5) ^ {- 3}, - (0,5) ^ {- 2}, - (0,5) ^ {- 1}, 0,0,0 , 0, \ cdots \ right \}.}$

Глядя на сумму

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] z ^ {- n} = - \ sum _ {n = - \ infty} ^ {- 1} 0,5 ^ {n} z ^ {- n} = - \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {z} {0.5}} \ right) ^ {m} = - {\ frac {0.5 ^ { -1} z} {1-0.5 ^ {- 1} z}} = - {\ frac {1} {0.5z ^ {- 1} -1}} = {\ frac {1} {1-0.5z ^ {-1}}}.}$

Опять же, используя бесконечный геометрический ряд , равенство выполняется только в том случае, если | 0.5 ⁻¹ z | <1, который можно переписать через z как | z | <0,5. Таким образом, ОКР | z | <0,5. В этом случае ROC представляет собой диск с центром в начале координат и радиусом 0,5.

Что отличает этот пример от предыдущего, так это только ROC. Это сделано намеренно, чтобы продемонстрировать, что одного результата преобразования недостаточно.

Вывод из примеров

Примеры 2 и 3 ясно показывают, что Z-преобразование X (z) для x [n] уникально тогда и только тогда, когда задается ROC. Создание графика полюс-ноль для причинно-следственного и антикаузального случая показывает, что ROC для любого случая не включает полюс, находящийся на 0,5. Это распространяется на случаи с несколькими полюсами: ROC никогда не будет содержать полюсов.

В примере 2 причинная система дает ROC, который включает | z | = ∞, в то время как антикаузальная система в примере 3 дает ROC, который включает | z | = 0.

В системах с несколькими полюсами возможно наличие ROC, не содержащего ни | z | = ∞ ни | z | = 0. ROC создает круговую полосу. Например,

${\ Displaystyle х [п] = 0,5 ^ {п} и [п] -0,75 ^ {п} и [-n-1]}$

имеет полюса 0,5 и 0,75. ROC будет 0,5 <| z | <0,75, что не включает ни начало координат, ни бесконечность. Такая система называется системой смешанной причинности, поскольку она содержит причинный член (0.5) ⁿ u [ n ] и антикаузальный член - (0.75) ⁿ u [- n −1].

Стабильность системы также можно определить, зная РПЦ в одиночку. Если ROC содержит единичную окружность (т. Е. | Z | = 1), то система устойчива. В приведенных выше системах причинная система (Пример 2) устойчива, поскольку | z | > 0,5 содержит единичный круг.

Предположим, нам предоставлено Z-преобразование системы без ROC (т.е. неоднозначное x [n] ). Мы можем определить уникальный x [n], если нам нужно следующее:

• Стабильность
• Причинно-следственная связь

Для устойчивости ROC должен содержать единичный круг. Если нам нужна причинная система, тогда ROC должен содержать бесконечность, а функция системы будет правосторонней последовательностью. Если нам нужна антикаузальная система, тогда ROC должен содержать начало координат, а функция системы будет левосторонней последовательностью. Если нам нужна как стабильность, так и причинность, все полюса системной функции должны находиться внутри единичного круга.

Затем можно найти уникальный x [n] .

Характеристики

Свойства z-преобразования

	Область времени	Z-домен	Доказательство	ROC
Обозначение	${\ Displaystyle х [п] = {\ mathcal {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \}}$	${\ Displaystyle Х (г) = {\ mathcal {Z}} \ {х [п] \}}$		${\ Displaystyle r_ {2} <| z | <r_ {1}}$
Линейность	${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} [n] + a_ {2} x_ {2} [n]}$	${\ displaystyle a_ {1} X_ {1} (z) + a_ {2} X_ {2} (z)}$	${\ displaystyle {\ begin {align} X (z) & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (a_ {1} x_ {1} (n) + a_ {2} x_ {2 } (n)) z ^ {- n} \\ & = a_ {1} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (n) z ^ {- n} + a_ { 2} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {2} (n) z ^ {- n} \\ & = a_ {1} X_ {1} (z) + a_ {2} X_ {2} (z) \ конец {выровнено}}}$	Содержит ROC 1 ∩ ROC 2
Расширение времени	${\ displaystyle x_ {K} [n] = {\ begin {case} x [r], & n = Kr \\ 0, & n \ notin K \ mathbb {Z} \ end {cases}}}$ с участием ${\ Displaystyle К \ mathbb {Z}: = \ {Kr: r \ in \ mathbb {Z} \}}$	${\ displaystyle X (z ^ {K})}$	${\ displaystyle {\ begin {align} X_ {K} (z) & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {K} (n) z ^ {- n} \\ & = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} x (r) z ^ {- rK} \\ & = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} x (r) (z ^ {K}) ^ {- r} \\ & = X (z ^ {K}) \ end {align}}}$	${\ displaystyle R ^ {\ frac {1} {K}}}$
Децимация	${\ displaystyle x [Kn]}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {K}} \ sum _ {p = 0} ^ {K-1} X \ left (z ^ {\ tfrac {1} {K}} \ cdot e ^ {- я {\ tfrac {2 \ pi} {K}} p} \ right)}$	ohio-state.edu   или   ee.ic.ac.uk
Временная задержка	${\ Displaystyle х [нк]}$ с и${\ displaystyle k> 0}$${\ displaystyle x: x [n] = 0 \ \ forall n <0}$	${\ Displaystyle г ^ {- к} Х (г)}$	${\ displaystyle {\ begin {align} Z \ {x [nk] \} & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x [nk] z ^ {- n} \\ & = \ sum _ {j = -k} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- (j + k)} && j = nk \\ & = \ sum _ {j = -k} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- j} z ^ {- k} \\ & = z ^ {- k} \ sum _ {j = -k} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- j} \\ & = z ^ {- k} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} x [j] z ^ {- j} && x [\ beta] = 0, \ beta <0 \\ & = z ^ {- k } X (z) \ end {выровнено}}}$	ROC, кроме z = 0, если k > 0, и z = ∞, если k <0
Время вперед	${\ Displaystyle х [п + к]}$ с участием ${\ displaystyle k> 0}$	Двустороннее Z-преобразование: $${\ Displaystyle г ^ {к} Х (г)}$$ Одностороннее Z-преобразование: $${\ displaystyle z ^ {k} X (z) -z ^ {k} \ sum _ {n = 0} ^ {k-1} x [n] z ^ {- n}}$$
Первое отличие назад	${\ Displaystyle х [п] -х [п-1]}$ с x [ n ] = 0 для n <0	${\ displaystyle (1-z ^ {- 1}) X (z)}$		Содержит пересечение ROC X 1 (z) и z ≠ 0
Первая разница вперед	${\ Displaystyle х [n + 1] -x [n]}$	${\ Displaystyle (г-1) Икс (г) -zx [0]}$
Обратное время	${\ Displaystyle х [-n]}$	${\ Displaystyle X (г ^ {- 1})}$	${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {Z}} \ {x (-n) \} & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (-n) z ^ { -n} \\ & = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x (m) z ^ {m} \\ & = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x (m) {(z ^ {- 1})} ^ {- m} \\ & = X (z ^ {- 1}) \\\ конец {выровнено}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {r_ {1}}} <| z | <{\ tfrac {1} {r_ {2}}}}$
Масштабирование в z-области	${\ Displaystyle а ^ {п} х [п]}$	${\ Displaystyle X (а ^ {- 1} г)}$	${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {Z}} \ left \ {a ^ {n} x [n] \ right \} & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a ^ {n} x (n) z ^ {- n} \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) (a ^ {- 1} z) ^ {- n} \\ & = X (a ^ {- 1} z) \ end {выровнено}}}$	${\ Displaystyle | а | r_ {2} <| z | <| a | r_ {1}}$
Комплексное сопряжение	${\ Displaystyle х ^ {*} [п]}$	${\ Displaystyle X ^ {*} (г ^ {*})}$	${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {Z}} \ {x ^ {*} (n) \} & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (n) z ^ {- n} \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [x (n) (z ^ {*}) ^ {- n} \ right] ^ {*} \\ & = \ left [\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) (z ^ {*}) ^ {- n} \ right] ^ {*} \ \ & = X ^ {*} (z ^ {*}) \ конец {выровнено}}}$
Реальная часть	${\ Displaystyle \ OperatorName {Re} \ {х [п] \}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left [X (z) + X ^ {*} (z ^ {*}) \ right]}$
Мнимая часть	${\ Displaystyle \ OperatorName {Im} \ {х [п] \}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2j}} \ left [X (z) -X ^ {*} (z ^ {*}) \ right]}$
Дифференциация	${\ displaystyle nx [n]}$	${\ displaystyle -z {\ frac {dX (z)} {dz}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {Z}} \ {nx (n) \} & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} nx (n) z ^ {- n } \\ & = z \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} nx (n) z ^ {- n-1} \\ & = - z \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) (- nz ^ {- n-1}) \\ & = - z \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) {\ frac {d} {dz}} (z ^ {- n}) \\ & = - z {\ frac {dX (z)} {dz}} \ end {выравнивается}}}$	ОКР, если рационально; ${\ displaystyle X (z)}$ ROC возможно без границы, если иррационально ${\ displaystyle X (z)}$
Свертка	${\ Displaystyle х_ {1} [п] * х_ {2} [п]}$	${\ Displaystyle X_ {1} (г) X_ {2} (г)}$	${\ Displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {1} (n) * x_ {2} (n) \} & = {\ mathcal {Z}} \ left \ {\ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (l) x_ {2} (nl) \ right \} \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (l) x_ {2} (nl) \ right] z ^ {- n} \\ & = \ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (l) \ left [\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {2} (nl) z ^ {- n} \ right ] \\ & = \ left [\ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (l) z ^ {- l} \ right] \! \! \ left [\ sum _ { n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {2} (n) z ^ {- n} \ right] \\ & = X_ {1} (z) X_ {2} (z) \ end {выровнено} }}$	Содержит ROC 1 ∩ ROC 2
Взаимная корреляция	${\ displaystyle r_ {x_ {1}, x_ {2}} = x_ {1} ^ {*} [- n] * x_ {2} [n]}$	${\ Displaystyle R_ {x_ {1}, x_ {2}} (z) = X_ {1} ^ {*} ({\ tfrac {1} {z ^ {*}}}) X_ {2} (z) }$		Содержит пересечение ОКР и${\ Displaystyle X_ {1} ({\ tfrac {1} {z ^ {*}}})}$${\ Displaystyle X_ {2} (г)}$
Накопление	${\ Displaystyle \ сумма _ {к = - \ infty} ^ {п} х [к]}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}} X (z)}$	${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {n} x [k] z ^ {- n} & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (x [n] + \ cdots + x [- \ infty]) z ^ {- n} \\ & = X (z) \ left (1+ z ^ {- 1} + z ^ {- 2} + \ cdots \ right) \\ & = X (z) \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} z ^ {- j} \\ & = X (z) {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}} \ конец {выровнено}}}$
Умножение	${\ Displaystyle х_ {1} [п] х_ {2} [п]}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {j2 \ pi}} \ oint _ {C} X_ {1} (v) X_ {2} ({\ tfrac {z} {v}}) v ^ {- 1} \ mathrm {d} v}$		-

Теорема Парсеваля

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} [n] x_ {2} ^ {*} [n] \ quad = \ quad {\ frac {1} {j2 \ pi}} \ oint _ {C} X_ {1} (v) X_ {2} ^ {*} ({\ tfrac {1} {v ^ {*}}}) v ^ {- 1} \ mathrm {d } v}$

Теорема о начальном значении : если x [ n ] причинно, то

${\ displaystyle x [0] = \ lim _ {z \ to \ infty} X (z).}$

Теорема об окончательном значении : если полюса ( z −1) X ( z ) находятся внутри единичной окружности, то

${\ Displaystyle х [\ infty] = \ lim _ {z \ to 1} (z-1) X (z).}$

Таблица общих пар Z-преобразований

Здесь:

${\ displaystyle u: n \ mapsto u [n] = {\ begin {cases} 1, & n \ geq 0 \\ 0, & n <0 \ end {cases}}}$

- ступенчатая функция единицы (или Хевисайда) и

${\ displaystyle \ delta: n \ mapsto \ delta [n] = {\ begin {case} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ neq 0 \ end {cases}}}$

представляет собой единичную импульсную функцию с дискретным временем (см. дельта-функцию Дирака, которая является версией с непрерывным временем). Две функции выбираются вместе, так что функция единичного шага представляет собой накопление (промежуточный итог) единичной импульсной функции.

	Сигнал, ${\ Displaystyle х [п]}$	Z-преобразование, ${\ displaystyle X (z)}$	ROC
1	${\ Displaystyle \ дельта [п]}$	1	все z
2	${\ displaystyle \ delta [п-п_ {0}]}$	${\ displaystyle z ^ {- n_ {0}}}$	${\ Displaystyle г \ neq 0}$
3	${\ Displaystyle и [п] \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}$	${\ displaystyle | z |> 1}$
4	${\ displaystyle -u [-n-1]}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}$	${\ Displaystyle | г | <1}$
5	${\ Displaystyle ню [п]}$	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {z ^ {- 1}} {(1-z ^ {- 1}) ^ {2}}}}$	${\ displaystyle | z |> 1}$
6	${\ Displaystyle -nu [-n-1] \,}$	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {z ^ {- 1}} {(1-z ^ {- 1}) ^ {2}}}}$	${\ Displaystyle | г | <1}$
7	${\ Displaystyle п ^ {2} н [п]}$	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {z ^ {- 1} (1 + z ^ {- 1})} {(1-z ^ {- 1}) ^ {3}}}}$	${\ Displaystyle | г |> 1 \,}$
8	${\ Displaystyle -n ^ {2} и [-n-1] \,}$	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {z ^ {- 1} (1 + z ^ {- 1})} {(1-z ^ {- 1}) ^ {3}}}}$	${\ Displaystyle | г | <1 \,}$
9	${\ Displaystyle п ^ {3} н [п]}$	${\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} (1 + 4z ^ {- 1} + z ^ {- 2})} {(1-z ^ {- 1}) ^ {4}}}}$	${\ Displaystyle | г |> 1 \,}$
10	${\ Displaystyle -n ^ {3} н [-n-1]}$	${\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} (1 + 4z ^ {- 1} + z ^ {- 2})} {(1-z ^ {- 1}) ^ {4}}}}$	${\ Displaystyle | г | <1 \,}$
11	${\ Displaystyle а ^ {п} и [п]}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}$	${\ Displaystyle | г |> | а |}$
12	${\ displaystyle -a ^ {n} и [-n-1]}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}$	${\ Displaystyle | г | <| а |}$
13	${\ displaystyle na ^ {n} u [n]}$	${\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}$	${\ Displaystyle | г |> | а |}$
14	${\ displaystyle -na ^ {n} и [-n-1]}$	${\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}$	${\ Displaystyle | г | <| а |}$
15	${\ Displaystyle п ^ {2} а ^ {п} и [п]}$	${\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} (1 + az ^ {- 1})} {(1-az ^ {- 1}) ^ {3}}}}$	${\ Displaystyle | г |> | а |}$
16	${\ Displaystyle -n ^ {2} а ^ {п} и [-n-1]}$	${\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} (1 + az ^ {- 1})} {(1-az ^ {- 1}) ^ {3}}}}$	${\ Displaystyle | г | <| а |}$
17	${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} n + m-1 \\ m-1 \ end {array}} \ right) a ^ {n} u [n]}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {(1-az ^ {- 1}) ^ {m}}}}$, для положительного целого числа ${\ displaystyle m}$	${\ Displaystyle | г |> | а |}$
18	${\ displaystyle (-1) ^ {m} \ left ({\ begin {array} {c} -n-1 \\ m-1 \ end {array}} \ right) a ^ {n} u [-nm ]}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {(1-az ^ {- 1}) ^ {m}}}}$, для положительного целого числа ${\ displaystyle m}$	${\ Displaystyle | г | <| а |}$
19	${\ Displaystyle \ соз (\ омега _ {0} п) и [п]}$	${\ displaystyle {\ frac {1-z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2}}}}$	${\ displaystyle | z |> 1}$
20	${\ Displaystyle \ грех (\ омега _ {0} п) и [п]}$	${\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2} }}}$	${\ displaystyle | z |> 1}$
21 год	${\ Displaystyle а ^ {п} \ соз (\ омега _ {0} п) и [п]}$	${\ displaystyle {\ frac {1-az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2 } z ^ {- 2}}}}$	${\ Displaystyle | г |> | а |}$
22	${\ Displaystyle а ^ {п} \ грех (\ омега _ {0} п) и [п]}$	${\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2} z ^ {- 2}}}}$	${\ Displaystyle | г |> | а |}$

Связь с рядами Фурье и преобразованием Фурье

Для значений в области , известной как единичный круг , мы можем выразить преобразование как функцию единственной действительной переменной ω путем определения . А двустороннее преобразование сводится к ряду Фурье : ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle | z | = 1}$${\ displaystyle z = e ^ {j \ omega}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ z ^ {- n} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ e ^ {- j \ omega n},}$

( Уравнение 4 )

которое также известно как преобразование Фурье с дискретным временем (ДВПФ) последовательности. Этот 2 π -периодической функция является периодическим суммированием из преобразования Фурье , что делает его широко используемым инструментом анализа. Чтобы понять это, позвольте быть преобразованием Фурье любой функции, выборки которой на некотором интервале T равны последовательности x [ n ]. Тогда ДВПФ последовательности x [ n ] можно записать следующим образом. ${\ Displaystyle х [п]}$${\ Displaystyle X (е)}$${\ Displaystyle х (т)}$

${\ displaystyle \ underbrace {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ overbrace {x (nT)} ^ {x [n]} \ e ^ {- j2 \ pi fnT}} _ {\ текст {DTFT}} = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X (fk / T).}$

( Уравнение 5 )

Когда T имеет единицы секунд, имеет единицы герц . Сравнение двух серий показывает, что     это нормализованная частота с единицами радиан на выборку . Значение ω = 2 π соответствует Гц. А теперь с заменой   уравнение 4 можно выразить через преобразование Фурье, X (•) :${\ displaystyle \ scriptstyle f}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega = 2 \ pi fT}$${\ displaystyle \ scriptstyle f = {\ frac {1} {T}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle f = {\ frac {\ omega} {2 \ pi T}},}$ 

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ e ^ {- j \ omega n} = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ underbrace {X \ left ({\ tfrac {\ omega} {2 \ pi T}} - {\ tfrac {k} {T}} \ right)} _ {X \ left ( {\ frac {\ omega -2 \ pi k} {2 \ pi T}} \ right)}.}$

( Уравнение 6 )

При изменении параметра T отдельные члены уравнения (5) перемещаются дальше друг от друга или сближаются вдоль оси f. Однако в уравнении 6 центры остаются на расстоянии 2 π друг от друга, а их ширина расширяется или сжимается. Когда последовательность x ( nT ) представляет собой импульсную характеристику системы LTI , эти функции также известны как ее частотная характеристика . Когда последовательность является периодической, ее ДВПФ расходится на одной или нескольких гармонических частотах и ​​ноль на всех остальных частотах. Это часто выражается в использовании дельта- функций Дирака, зависящих от амплитуды, на частотах гармоник. Из-за периодичности существует только конечное число уникальных амплитуд, которые легко вычисляются с помощью гораздо более простого дискретного преобразования Фурье (ДПФ). (См. DTFT § Периодические данные .) ${\ Displaystyle х (нТ)}$

Связь с преобразованием Лапласа

Билинейное преобразование

Билинейное преобразование может быть использованы для преобразования непрерывного времени фильтров (представленные в области Лапласа) в дискретное время фильтров (представленных в Z-домене), и наоборот. Используется следующая замена:

${\ displaystyle s = {\ frac {2} {T}} {\ frac {(z-1)} {(z + 1)}}}$

преобразовать некоторую функцию в области Лапласа в функцию в Z-области ( преобразование Тастина ), или ${\ Displaystyle H (s)}$${\ displaystyle H (z)}$

${\ displaystyle z = e ^ {sT} \ приблизительно {\ frac {1 + sT / 2} {1-sT / 2}}}$

из Z-области в область Лапласа. Посредством билинейного преобразования комплексная s-плоскость (преобразования Лапласа) отображается в комплексную z-плоскость (z-преобразования). Хотя это отображение (обязательно) является нелинейным, оно полезно тем, что отображает всю ось s-плоскости на единичный круг в z-плоскости. Таким образом, преобразование Фурье (которое является преобразованием Лапласа, вычисляемым на оси) становится преобразованием Фурье с дискретным временем. Это предполагает, что преобразование Фурье существует; то есть ось находится в области сходимости преобразования Лапласа. ${\ displaystyle j \ omega}$${\ displaystyle j \ omega}$${\ displaystyle j \ omega}$

Помеченное преобразование

Учитывая одностороннее Z-преобразование, X (z), функции с временной дискретизацией, соответствующее преобразование, помеченное звездочкой, производит преобразование Лапласа и восстанавливает зависимость от параметра дискретизации, T :

${\ displaystyle {\ bigg.} X ^ {*} (s) = X (z) {\ bigg |} _ {\ displaystyle z = e ^ {sT}}}$

Обратное преобразование Лапласа - это математическая абстракция, известная как функция с импульсной выборкой .

Линейное разностное уравнение с постоянным коэффициентом

Уравнение линейной разности постоянных коэффициентов (LCCD) представляет собой представление линейной системы, основанной на уравнении авторегрессионного скользящего среднего .

${\ displaystyle \ sum _ {p = 0} ^ {N} y [np] \ alpha _ {p} = \ sum _ {q = 0} ^ {M} x [nq] \ beta _ {q}}$

Обе части приведенного выше уравнения можно разделить на α ₀ , если оно не равно нулю, нормализуя α ₀ = 1, и уравнение LCCD можно записать

${\ displaystyle y [n] = \ sum _ {q = 0} ^ {M} x [nq] \ beta _ {q} - \ sum _ {p = 1} ^ {N} y [np] \ alpha _ {п}.}$

Эта форма уравнения LCCD позволяет сделать более явным, что «текущий» выход y [n] является функцией прошлых выходов y [n − p] , текущего входа x [n] и предыдущих входов x [n− q] .

Функция передачи

Принятие Z-преобразования приведенного выше уравнения (с использованием законов линейности и сдвига во времени) дает

${\ Displaystyle Y (z) \ сумма _ {p = 0} ^ {N} z ^ {- p} \ alpha _ {p} = X (z) \ sum _ {q = 0} ^ {M} z ^ {-q} \ beta _ {q}}$

и переставляя результаты в

${\ displaystyle H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {\ sum _ {q = 0} ^ {M} z ^ {- q} \ beta _ {q}} {\ sum _ {p = 0} ^ {N} z ^ {- p} \ alpha _ {p}}} = {\ frac {\ beta _ {0} + z ^ {- 1} \ beta _ {1} + z ^ {- 2} \ beta _ {2} + \ cdots + z ^ {- M} \ beta _ {M}} {\ alpha _ {0} + z ^ {- 1} \ alpha _ {1} + z ^ {- 2} \ alpha _ {2} + \ cdots + z ^ {- N} \ alpha _ {N}}}.}.$

Нули и полюсы

Из основной теоремы алгебры числителя имеет M корни ( что соответствует нулям H) , а знаменатель имеет N корни ( что соответствует полюсам). Переписываем передаточную функцию в терминах нулей и полюсов

${\ displaystyle H (z) = {\ frac {(1-q_ {1} z ^ {- 1}) (1-q_ {2} z ^ {- 1}) \ cdots (1-q_ {M} z ^ {- 1})} {(1-p_ {1} z ^ {- 1}) (1-p_ {2} z ^ {- 1}) \ cdots (1-p_ {N} z ^ {- 1 })}}}$

где q _k - k -й нуль, а p _k - k-й полюс. Нули и полюсы обычно являются сложными, и когда они нанесены на комплексную плоскость (z-плоскость), это называется графиком полюс – ноль .

Кроме того, могут существовать нули и полюсы в точках z = 0 и z = ∞. Если мы примем во внимание эти полюса и нули, а также нули и полюсы нескольких порядков, количество нулей и полюсов всегда будет одинаковым.

Разложив знаменатель на множители, можно использовать частичное дробное разложение, которое затем можно преобразовать обратно во временную область. Это приведет к появлению импульсной характеристики и линейного уравнения разности постоянных коэффициентов системы.

Выходной ответ

Если такая система H (z) управляется сигналом X (z), то на выходе будет Y (z) = H (z) X (z) . Выполняя частичное дробное разложение на Y (z) и затем выполняя обратное Z-преобразование, можно найти выход y [n] . На практике часто бывает полезно дробно разложить перед умножением этой величины на z, чтобы сгенерировать форму Y (z), которая имеет члены с легко вычисляемыми обратными Z-преобразованиями. ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {Y (z)} {z}}}$

Смотрите также

• Расширенное Z-преобразование
• Билинейное преобразование
• Разностное уравнение (рекуррентное соотношение)
• Дискретная свертка
• Дискретное преобразование Фурье
• Конечный импульсный отклик
• Формальный степенной ряд
• Производящая функция
• Преобразование производящей функции
• Преобразование Лапласа
• Серия Laurent
• Вероятностно-производящая функция
• Звездное преобразование
• Зак преобразовать
• Регуляризация дзета-функции

использованная литература

дальнейшее чтение

• Рефаат Эль Аттар, Конспекты лекций по Z-преобразованию , Lulu Press, Моррисвилл, Северная Каролина, 2005. ISBN  1-4116-1979-X .
• Огата, Кацухико, Системы управления дискретным временем, 2-е изд. , Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN  0-13-034281-5 .
• Алан В. Оппенгейм и Рональд В. Шафер (1999). Обработка сигналов в дискретном времени, 2-е издание, Серия Prentice Hall Signal Processing. ISBN  0-13-754920-2 .

внешние ссылки

• "Z-преобразование" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Численное обращение Z-преобразования
• Таблица Z-преобразований некоторых распространенных преобразований Лапласа
• Запись Mathworld о Z-преобразовании
• Потоки Z-преобразования в Comp.DSP
• График взаимосвязи между s-плоскостью преобразования Лапласа и Z-плоскостью преобразования Z
• Видеообъяснение Z-Transform для инженеров
• Что такое z-преобразование?